含時(shí)線性諧振子系統(tǒng)密度算符的研究

范開敏，唐 婧

(1.四川文理學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川達(dá)州635000;2.四川文理學(xué)院化學(xué)化工學(xué)院，四川達(dá)州635000)

含時(shí)線性諧振子系統(tǒng)密度算符的研究

范開敏1，唐 婧2

(1.四川文理學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川達(dá)州635000;2.四川文理學(xué)院化學(xué)化工學(xué)院，四川達(dá)州635000)

主要是研究含時(shí)線性諧振子系統(tǒng)的量子解問(wèn)題.首先運(yùn)用李代數(shù)方法得到含時(shí)線性諧振子系統(tǒng)的密度算符隨時(shí)間演化的量子精確解，然后對(duì)得到的解析式進(jìn)行了驗(yàn)證和分析.結(jié)果顯示，我們得到的含時(shí)諧振子系統(tǒng)密度算符的解析解能準(zhǔn)確的描述含時(shí)諧振子系統(tǒng)密度算符隨時(shí)間的演化.

含時(shí)諧振子；密度算符；量子解

0 引言

在量子力學(xué)中，含時(shí)哈密頓量系統(tǒng)隨時(shí)間演變問(wèn)題,一直是人們感興趣的一個(gè)研究課題，人們對(duì)含時(shí)系統(tǒng)提出了各種處理方法，如正則變化法、李代數(shù)方法、假設(shè)波函數(shù)法等．[1-3]諧振子是量子力學(xué)研究中的一個(gè)典型的模型，研究者們對(duì)諧振子的研究也比較廣泛．[4-6]事實(shí)上阻尼諧振子的量子力學(xué)處理問(wèn)題，早在1980年，彭桓武曾較為詳細(xì)的討論過(guò)阻尼諧振子的量子力學(xué)處理問(wèn)題.[5]隨后，朱如曾研究了允許阻尼常數(shù)顯含時(shí)間的阻尼諧振子系統(tǒng)．[6]2002年，F(xiàn)erreira與他的合作者討論了諧振子系統(tǒng)處在電磁場(chǎng)中的相關(guān)問(wèn)題，[7]2004年，Liang等人利用假定波函數(shù)的方法詳細(xì)研究過(guò)含時(shí)線性勢(shì)系統(tǒng).[8]作為一個(gè)經(jīng)典的物理模型，諧振子哈密頓量形式表示為：

(1)

(1)式是不顯含時(shí)間的諧振子的哈密頓量形式.含時(shí)線性諧振子系統(tǒng)的哈密頓量的表達(dá)式可以寫為：

(2)

1 理論方法

(3)

含時(shí)諧振子系統(tǒng)的哈密頓量算符可以寫為如下形式:

(4)

(5)

J+,J-,J0構(gòu)成三維簡(jiǎn)單代數(shù),即構(gòu)成封閉的三維代數(shù)空間{J+,J-,J0} ,Jr(r=-,+,0)之間滿足如下對(duì)易關(guān)系:

(6)

由于J+,J-,J0構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)空間，所以該哈密頓系統(tǒng)時(shí)間演化算符可以寫為：[2]

(7)

其中，系數(shù)gr(t)是含有時(shí)間的拉格朗日參數(shù).

2密度算符的精確解

含時(shí)諧振子系統(tǒng)，在任意時(shí)刻t的密度算符記為ρ(t)，我們?nèi)=0為初始時(shí)刻時(shí)，該系統(tǒng)密度算符為，[9]

(8)

其中β0=β(t=0)，λ0=λ(t=0).

(10)

(11)

可以將(8)式用J+,J-,Jo來(lái)表示為：

(12)

(13)

這樣由(7)式和(13)式可以給出，含時(shí)諧振子系統(tǒng)任意時(shí)刻t密度算符ρ(t)的表達(dá)式：

(14)

(15)

就可以得到ρ(t)的形式表達(dá)式:

(16)

其中：

(17)

把(5)式和(17)式帶入(16)式可以得出，在任意時(shí)刻密度算符的形式解：

(18)

其中，拉格朗日參數(shù)gr(t)滿足一組微分方程，[2]且滿足初始條件：gr(t=0)=0,(r=-,+,0).以積分的形式表現(xiàn)出來(lái)：

(19)

這樣就得到含時(shí)線性諧振子系統(tǒng)密度算符隨時(shí)間演化的一個(gè)形式解.如果Ar(t)有確定的解析式，由方程(19)式能夠解出gr(t)的解析式，然后通過(guò)(18)式可以得到任意時(shí)刻密度算符的精確解.

(20)

這時(shí)求得哈密頓量不顯含時(shí)間t時(shí)密度算符的解析式：

(21)

進(jìn)一步，當(dāng)我們?nèi)=0時(shí)，即初態(tài)，(21)式退回初態(tài)ρ(0)的表達(dá)式.

2 結(jié)論

[1] 凌瑞良．含時(shí)阻尼線性諧振子的量子不變量處理[J]．大學(xué)物理，2007(12)：12-15．

[2] Fan K M, Zheng Y J, Ren W Y and Ding S L.Exactquantumsolutionsofgeneraldriventime-dependentquantumquadraticsystem[J]. Int.J.Quant.Chem., 2006(107):1355-1366．

[3] 梁麥林，孫宇晶．一般含時(shí)線性勢(shì)的量子解及有關(guān)問(wèn)題[J]．物理學(xué)報(bào)，2004(11)：3663-3667．

[4] 閻新云，安吉慶．諧振子的傳播子[J]．新疆大學(xué)學(xué)報(bào)，1995(1)：58-61．

[5] 彭桓武．阻尼諧振子的量子力學(xué)處理[J]．物理學(xué)報(bào)，1980(8)：1084-1089．

[6] 朱如曾．關(guān)于阻尼諧振子的量子力學(xué)處理[J]．物理學(xué)報(bào)，1981(10)：1410-1414．

[7] Ferreira C A S, Alencar P T S, and Bassalo J M F.Wavefunctionsofatime-dependentharmonicoscillatorinastaticmagneticfield[J]. Phys. Rev. A, 2002(66):024103.

[8] Liang M L, Zhang W L.Forcedtime-dependentharmonicoscillatorinastaticmagneticfield:exactquantumandclassicalsolutions[J]. Int. J. Theor. Phys. 2003(42):2881-2889.

[9] Alhassid Y and Levine R D.Connectionbetweenthemaximalentropyandthescatteringtheoreticanalysesofcollisionprocesses[J]. Phys. Rev. A, 1978(18):89-116.

[10]曾瑾言．量子力學(xué)卷Ⅰ[M]．北京：科技出版社，2000：255-256．

[責(zé)任編輯 鄧 杰]

A Study of Density Operator of Time-dependent Linear Harmonic Oscillator System

FAN Kai-min1, TANG Jin2

(1. Physics and Engineering Technology Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000;2. Chemistry and Chemical Engineering Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

In the paper, the time-dependent linear harmonic oscillator system has been studied. Firstly, the exact quantum solution of density operator of the time-dependent linear harmonic oscillator system has been obtained by using Lie algebra method. Secondly, the analytic expression has been tested and discussed and it shows that the analytic expression of density operator can well describe the process for time evolution of density operator.

Time-dependent armonica oscillator; density operator; quantum solution

2013-12-11

四川省教育廳科研基金(11ZB141)；四川文理學(xué)院校級(jí)科研基金(2012Z008Y)

范開敏(1978—)，男，山東日照人.講師，博士，主要從事材料結(jié)構(gòu)與性能、理論物理研究.

O413.1

A

1674-5248(2014)02-0038-03