(2+1)維五次非線性薛定諤方程的無窮序列新解

阿如娜,套格圖桑

(內(nèi)蒙古師范大學數(shù)學科學學院,呼和浩特 010022)

(2+1)維五次非線性薛定諤方程的無窮序列新解

阿如娜,套格圖桑

(內(nèi)蒙古師范大學數(shù)學科學學院,呼和浩特 010022)

利用第二種橢圓方程的解和B¨acklund變換,獲得了(2+1)維五次非線性薛定諤方程的新解.這些解是由Jacobi橢圓函數(shù)、三角函數(shù)、Riemann theta函數(shù)和指數(shù)函數(shù)組成的無窮序列新解.

第二種橢圓方程;B¨acklund變換;無窮序列新解

1 引言

許多文獻研究不同設置下自聚焦和自散焦非線性時空效應[13].如鎖模激光器[4],光纖和波導的脈沖傳播[5],激光等離子體相互作用[67].物理學中許多現(xiàn)象是由非線性偏微分方程(NPDES)描述的.尋找非線性偏微分方程的解是解釋其描述的自然現(xiàn)象的最有效方法之一.

(2+1)維五次非線性薛定諤方程[8](CQNLSE):

這里x和z是橫向和傳播坐標,t是所謂的減少時間.(2+1)維五次非線性薛定諤方程,是描述多種物理系統(tǒng)的數(shù)學模型.文獻[8-9]給出了CQNLSE方程的一些固定解.

本文對(2+1)維五次非線性薛定諤方程進行了行波變換后,利用第二種橢圓方程的已知解和B¨acklund變換,獲得了(2+1)維五次非線性薛定諤方程的無窮序列解,這些解包括Jacobi橢圓函數(shù)、三角函數(shù)、Riemann theta函數(shù)和指數(shù)函數(shù)解.

2 (2+1)維五次非線性薛定諤方程的解

對(2+1)維五次非線性薛定諤方程(1)作變換:

這里m,n,p,q和c是待定常數(shù).

將(2)式代入方程(1),化簡后得到如下常微分方程:

用?′(ξ)乘方程(4)的兩邊,并對ξ積分一次后得到下列方程:

這里k是積分常數(shù).

利用函數(shù)變換φ(ξ)=?2(ξ),把方程(5)轉化為下列常微分方程:

在方程(6)中取

這里g1,g2,g3,g4和g5是任意常數(shù),其中z(ξ)滿足下列第二種橢圓方程:

將(7)和(8)式一起代入(6)式,并令zi(ξ)(i=0,1,2,···,7)的系數(shù)為零后得到下列非線性代數(shù)方程組

用符號計算系統(tǒng)Mathematica求出該方程組的下列解:

其中,A,B,C,e和g3為不全為零的任意常數(shù),A,B和C是方程(8)的系數(shù).

將(10)式代入(7)式后,得到方程(6)的下列形式解:

其中e為任意常數(shù),A和C是方程(8)的系數(shù),z(ξ)滿足方程(8).

由形式解(11)和φ(ξ)=?2(ξ)得到方程(4)的下列解:這里e為任意常數(shù),A和C是方程(8)的系數(shù),z(ξ)滿足方程(8).

2.1 第二種橢圓方程的解

2.1.1 第二種橢圓方程 (8)的Jacobi橢圓函數(shù)解

文獻[10]中獲得了方程(8)的如下解:

當A=4,B=?4(1+k2),C=4k2時,(13)式是第二種橢圓方程(8)的解:

當A=4(1?k2),B=4(2k2?1),C=?4k2時,獲得第二種橢圓方程(8)的如下解:

2.1.2 第二種橢圓方程(8)的Riemann theta函數(shù)新解

(15)式為 Riemann theta函數(shù)的定義,文獻 [10]中獲得了第二種橢圓方程 (8)的如下Riemann theta函數(shù):

2.1.3 第二種橢圓方程 (8)的三角函數(shù)型解

由文獻[10]可得到第二種橢圓方程(8)的如下三角函數(shù)解.

當C=0時,得到第二種橢圓方程(8)的下列解:

2.1.4 第二種橢圓方程 (8)的指數(shù)函數(shù)型解

文獻[11]給出了方程(8)的下列解.

當B2?4AC=0時,可得到第二種橢圓方程(8)的下列解:

當A=C=0時,經(jīng)計算獲得第二種橢圓方程(8)的如下解:

當A=0時,可得到第二種橢圓方程(8)的如下解:

2.2 第二種橢圓方程的B¨acklund變換

由文獻[11]可知,如果zr?1(ξ)是第二種橢圓方程(8)的解,則下列zr(ξ)也是第二種橢圓方程(8)的解.

其中

A,B和C是第二種橢圓方程(8)的系數(shù).

情形 1(2+1)維五次非線性薛定諤方程的Jacobi橢圓函數(shù)型無窮序列解

將(13)式(或(14)),(12)式和(29)式代入(2)式,可得到(2+1)維五次非線性薛定諤方程的Jacobi橢圓函數(shù)型無窮序列解.

其中

情形 2(2+1)維五次非線性薛定諤方程的三角函數(shù)型無窮序列解

通過下列疊加公式,可獲得(2+1)維五次非線性薛定諤方程的三角函數(shù)型無窮序列解.

情形 3(2+1)維五次非線性薛定諤方程的指數(shù)函數(shù)型無窮序列解

由以下迭代公式,可構造(2+1)維五次非線性薛定諤方程的指數(shù)函數(shù)型無窮序列解.

情形 4(2+1)維五次非線性薛定諤方程的Riemann theta函數(shù)型無窮序列解

通過以下公式,可獲得(2+1)維五次非線性薛定諤方程的Riemann theta函數(shù)型無窮序列解.

在以上的(34)-(37)式中,n,m,p,q是滿足方程(3)的任意常數(shù),A,B和C是方程(8)的系數(shù).

3 結論

文獻[12]獲得了(2+1)維五次非線性薛定諤方程的雙曲函數(shù)型和Jacobi橢圓函數(shù)型有限多個新解.本文利用行波變換、第二種橢圓方程的解和B¨acklund變換,構造了(2+1)維五次非線性薛定諤方程的由Jacobi橢圓函數(shù)、三角函數(shù)、Riemann theta函數(shù)和指數(shù)函數(shù)組成的無窮序列新解,所獲得的解包括文獻[12]所獲得解.例如:文獻[12]得到了方程(1)的下列形式解:

在迭代公式(34)中,當k→1時,sn(ξ,k)→tanh(ξ),便可得到方程(1)形如u1(x,t,z)的解.

參考文獻

[1] Towers I N,Malomed B A,Wise F W.Light bullets in quadratic media with normal dispersion at the second harmonic[J].Phys.Rev.Lett.,2003,90:123902.

[2] Mihalache D,Mazilu D,Towers I,et al.Stable spinning optical solitons in three dimensions[J].Phys.Rev. Lett.,2002,88:073902.

[3] Mihalache D,Mazilu D,Lederer F,et al.Stable vortex tori in the three-dimensional cubic-quintic Ginzburg-Landau equation[J].Phys.Rev.Lett.,2006,97:073904.

[4] Moores J D.On the Ginzburg-Landau laser mode-locking model with fi fth-order saturable absorber term[J]. Opt.Commun.,1993,96:65-70.

[5] Mihalache D,Mazilu D,Bertolotti M,et al.Exact solution for nonlinear thin- fi lm guided waves in higherorder nonlinear media[J].J.Opt.Soc.Am.B,1988,5:565-570.

[6] Chen Y X,Lu X H.Spatiotemporal similaritons in(3+1)-dimensional inhomogeneous nonlinear medium with cubic-quintic nonlinearit[J].Commun.Theor.Phys.,2011,55:871-877.

[7] Liu H,Beech R,Osman F,et al.Periodic and solitary waves of the cubic-quintic nonlinear Schr¨odinger equation[J].J.Plasma Phys.,2004,70:415-429.

[8] Malomed B A,Crasovan L C,Mihalache D.Stability of vortex solitons in the cubic-quintic model[J]. Physica.D,2002,161:187-201.

[9] Quiroga-Teixeiro M,Michinel H.Stable azimuthal stationary state in quintic nonlinear optical media[J].J. Opt.Soc.Am.B,1997,14:2004-2009.

[10] 套格圖桑,白玉梅.非線性發(fā)展方程的Riemann theta函數(shù)等幾種新解[J].物理學報,2013,62(10):100201.

[11] 套格圖桑.論非線性發(fā)展方程求解中輔助方程法的歷史演進[M].北京:中央民族大學出版社,2012,6:251-255.

[12] Guo A L,Lin J.(2+1)-dimensional analytical solutions of the combining cubic-quintic nonlinear Schr¨odinger equation[J].Commun.Theor.Phys.,2012,57:523-529.

New in fi nite sequence solutions of(2+1)-dimensional cubic-quintic nonlinear Schr¨odinger equation

Aruna,Taogetusang
(College of Mathematical Science,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,China)

In order to obtain a new in fi nite sequence solutions of(2+1)-dimensional cubic-quintic nonlinear Schr¨odinger equation,this paper uses the solutions and B¨acklund transform of second kind of elliptic equations to construct the new in fi nite sequence solutions of(2+1)-dimensional cubic-quintic nonlinear Schr¨odinger equation consisting of Jacobi elliptic function,trigonometric function,Riemann theta function and exponential function.

the second kind of elliptic equation,B¨acklund transform,new in fi nite sequence solutions

O175.29

A

1008-5513(2014)04-0412-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.011

2014-05-11.

國家自然科學基金(11361040);內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學?？茖W研究基金(NJZY12031);內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學基金(2010MS0111).

阿如娜(1991-),碩士生,研究方向：孤立子與可積系統(tǒng)理論及其應用.

2010 MSC:35Q51