擬序下非連續(xù)增算子新的廣義不動點定理

姜鑫,薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

擬序下非連續(xù)增算子新的廣義不動點定理

姜鑫,薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

運用序方法研究了擬序空間X中具A=CB型非連續(xù)增算子的廣義不動點的存在性問題,證明了在擬序空間X中具A=CB型非連續(xù)增算子存在最小廣義不動點和最大廣義不動點.所得結(jié)果推廣了相關(guān)結(jié)論.

擬序關(guān)系;擬序拓?fù)淇臻g;增算子;廣義不動點

1 引言及預(yù)備知識

算子的不動點定理可以廣泛的應(yīng)用于求解微分方程、積分方程和其他類型的方程[1],在經(jīng)濟(jì)均衡理論中也有著廣泛的應(yīng)用[2].然而,非線性泛函分析中序集上增算子不動點定理都要求定理中的序集必須為半序集[1,3-4].但是在數(shù)學(xué)的一些領(lǐng)域中[5-7],特別是在經(jīng)濟(jì)均衡理論中的序關(guān)系并不滿足半序關(guān)系中的反對稱性[2],這種序關(guān)系在文獻(xiàn)[5]中被稱為擬序關(guān)系,而在文獻(xiàn)[6]中被稱為不完全偏好關(guān)系.為方便起見,本文將這種序關(guān)系稱為擬序關(guān)系.文獻(xiàn)[6]研究了序列相容的不完全偏好空間(或擬序空間)X中非連續(xù)增算子的廣義不動點,而本文是在文獻(xiàn)[6]的研究基礎(chǔ)上,證明了擬序空間X中具A=CB型非連續(xù)增算子存在最小廣義不動點和最大廣義不動點,進(jìn)而推廣了文獻(xiàn)[3,6]中的主要結(jié)果.

定義 1.1[5]設(shè)X為非空集合,若在X中的某些元素對x,y之間可以定義一種二元關(guān)系,記為x?y,具有下列性質(zhì):

(i)對任給x∈X,都有x?x; (ii)如果x?y,y?z,則x?z,

則稱?為擬序關(guān)系,稱X為擬序集.稱x?y為y偏好于x.

顯然,半序關(guān)系一定是擬序關(guān)系,而擬序關(guān)系未必是半序關(guān)系.

定義 1.2[6]設(shè) X 是擬序集,若 x?y與 y? x同時成立,則稱 x無差別于 y,記作x～y;若x?y,且x?y,則稱y嚴(yán)格偏好于x,記作x?y,其中“?”表示非無差別關(guān)系;設(shè)M?X,若對任給x,y∈M,關(guān)系x?y與y?x至少有一個成立,則稱M 為X中的全擬序子集.

定義 1.3[6]設(shè)X為擬序集,且為Hausdor ff空間,若對X中任意兩個序列{xn}和{yn},只要xn?yn(n=1,2,···),xn→x?,yn→y?,就有x??y?,則稱X是序列相容的擬序拓?fù)淇臻g.

定義1.4[6]設(shè)X為擬序集,如果對X中的任何全擬序子集M,都存在可數(shù)集{xn}?M,使得只要x∈M,x/=supM,就有xn0∈{xn},滿足x?xn0,則稱X是按擬序偽可分的.

同理給出按半序偽可分的定義.顯然,可分集一定是按擬序(或半序)偽可分的.

定義1.5[6]設(shè)X為擬序集,D?X,A:D→D為一個算子,若存在x∈D,使Ax～x,則稱x為A的廣義不動點.

顯然,在半序意義下的不動點與廣義不動點是等價的.

2 主要內(nèi)容

設(shè)X是擬序集,?是X的非空子集,根據(jù)定義1.2容易證明X中的無差別關(guān)系“～”滿足反身性、對稱性和傳遞性,因而關(guān)系“～”是X、也是?中的等價關(guān)系.

定義 2.1[6]任取若存在使u?v,則記

由于文獻(xiàn)[6]中引理1和引理3的證明中沒有用到任何拓?fù)湫再|(zhì),因此文獻(xiàn)[6]中引理1和引理3中X不必為拓?fù)淇臻g,即如下引理2.1和引理2.2.

引理 2.1[6]由X 中的擬序關(guān)系“?”在商集?/～中誘導(dǎo)出的序關(guān)系“≤”是一個半序,從而?/～在序關(guān)系“≤”下是半序集.

引理2.2[6]設(shè)r:?→?/～為自然映射,N是?/～中的全序子集,則r?1(N)必是?中的全擬序子集.

定理2.1設(shè)X是擬序集,D=[u0,v0]是X中的序區(qū)間,設(shè) (i)存在序列相容的擬序拓?fù)淇臻gY及增算子和增算子,使得A=CB;

(ii)B(D)是按擬序偽可分的;

(iii)B(D)中的單調(diào)增序列是相對序列緊的;

(iv)u0?Au0,Av0?v0.

則A在D中必有廣義不動點.

證明令則由條件(iv)可得u0∈?,從而?/=?.由引理2.1知,由X中的擬序關(guān)系“?”在商集?/～中誘導(dǎo)出的序關(guān)系“≤”是半序關(guān)系,從而?/～在序關(guān)系“≤”下是半序集.設(shè)M 是?/～中任意給定的全序子集,下證M 在?/～中有上界.

因為M 是?/～中的全序子集,則由引理2.2可知,r?1(M)是?中的全擬序子集,再由是增算子可知,B(r?1(M))?B(D)是B(D)中的全擬序子集.再由條件(ii)和定義1.4可得,存在可數(shù)集{yn}?B(r?1(M)),使對任意y∈B(r?1(M)),有yn1∈{yn},滿足y?yn1.令

由于B(r?1(M))是全擬序集,故諸{zn}都有定義,{zn}?B(r(M)),并且

即{zn}是B(D)中的單調(diào)增加序列,由條件(iii)可知,存在{zn}中的子列{znk}?{zn}收斂于Y中一點,即存在z?∈Y,使得

任取n0,當(dāng)nk≥n0時,有zn0?znk,再令nk→∞,由定義1.3和條件(i)可知,zn0?z?,再由n0的任意性可得,對一切n,都有

由 znk∈B(r?1(M))?B(D)可得,Bu0?znk?Bv0,再由 (3)式可知,Bu0?z??Bv0,即 z?∈B(D).對任意 y∈B(r?1(M)),存在 yn2∈{yn},使得 y?yn2,又 yn2?zn2,從而有y?zn2,再由(4)式可得y?z?.因此,z?是B(r?1(M))在B(D)中的上界,即

令x?=Cz?,任給x∈r?1(M)??,有Bx∈B(r?1(M)),由(5)式可得Bx?z?,由C是增算子可得CBx?Cz?,從而Ax?x?,再由x∈?可得,x?Ax?x?,故

下證x?∈?.由Bu0?z??Bv0,并利用條件(iv)知,

故x?=Cz?∈[u0,v0]=D.由(4)式及C的增性知

由于{zn}?B(r?1(M)),故可取xn∈r?1(M),使Bxn=zn.注意到xn?Axn,故由(7)式知再由B的增性即知zn=Bxn?BCz?,從而znk=Bxnk?BCz?,利用(3)式及條件(i)可得 z??BCz?.于是由C的增性可知 x?=Cz??CBCz?=ACz?=Ax?.因此x?∈?,故再由(6)式知,是M 在?/～中的上界.根據(jù)Zorn引理,?/～必有極大元.

推論 2.1在定理2.1的條件下,若設(shè)A滿足:

(v)當(dāng)x,y∈D且x～y時,Ax=Ay,則A在D中必有不動點.

證明由定理 2.1的證明,任取有 y?～ Ay?,再由條件 (v)和條件 (iv)可知Ay?=A(Ay?),故Ay?是A在D中的不動點.

推論 2.2設(shè)X是序列相容的擬序拓?fù)淇臻g,D=[u0,v0]是X中的序區(qū)間,設(shè)

(i)A(D)是按擬序偽可分的;

(ii)A(D)中的單調(diào)增序列是相對序列緊的;

(iii)u0?Au0,Av0?v0.

則A在D中必有廣義不動點.

證明在定理2.1中,令X=Y,A=B,C=I即可.

定理 2.2若定理2.1的條件滿足,則A在D中必有最小廣義不動點u?和最大廣義不動點v?,即對任意A的廣義不動點x?,必有u??x??v?.

證明令

則 FixA/=?.令 S={[u,v]是X中的序區(qū)間 |u,v∈D,u?Au,Av?v,FixA?[u,v]},顯然 D=[u0,v0]∈S,故 S非空.在 S中定義序關(guān)系“≤”如下:若 I1,I2∈S且 I1?I2,則I1≤I2,則S在序關(guān)系“≤”下是半序空間.又I1=I2等價于[u1,v1]?[u2,v2]且[u2,v2]?[u1,v1],也即 u1? u2,v2? v1且u2? u1,v1? v2,即 u1～ u2,v1～ v2,故 I1=I2等價于u1～u2,v1～v2.下證S在半序“≤”下有極小元.

任取S中的全序子集{Iα|α∈Γ}(Γ為指標(biāo)集),其中Iα=[uα,vα].令R={uα|α∈Γ},顯然 R?D是 D中的全擬序子集,再由 B的增性可知,B(R)是 B(D)中的全擬序子集.由條件(ii)可知存在{yn}?B(R)(n=1,2,···),使對任意y∈B(R),都有yn1∈{yn},使y?yn1.按照定理2.1同樣的方法,可得到{zn}、z?以及u?=Cz?分別滿足(1)-(7)式,其中u?是R在D中的上界,且u??Au?.下證u?是FixA的下界.

任取u∈FixA,則u～Au.于是

又由 FixA?Iα可知,對任意 Buα∈B(R),有 uα?u,再由 B的增性可得,Buα?Bu.

由Buα的任意性可知

再由條件 (i)中 Y的序列相容性和 (3)式可得 z??Bu,再由 C的增性以及 (8)式可得, u?=Cz??CBu=Au?u,故

考察P={vα|α∈Γ},同理可證,存在v?∈D,使得v?是P在D中的下界,且滿足Av??v?,以及

由(10)式、(11)式,令I(lǐng)=[u?,v?],顯然I∈S是{Iα|α∈Γ}在S中的一個下界,故由Zorn引理可知,S必有極小元.

設(shè)I?=[u?,v?]是S的極小元,下證u?～Au?,Av?～v?.由S的定義知,假設(shè)u??Au?,Av??v?,則由(12)式知u??Au?,Av??v?,再由A的增性可得,

對任意x∈FixA,有u??x,x?v?,且x～Ax,再由A的增性可得,

即FixA?[Au?,Av?],再由S的定義和(13)(14)式知,[Au?,Av?]∈S.由(14)式可知這與[u?,v?]是 S的極小元矛盾.故 u?～Au?,Av?～v?,即u?和 v?是 A在D 中的廣義不動點.再由(12)式可知u?和v?分別是 A在D中的最小廣義不動點和最大廣義不動點.故A在D中存在最小廣義不動點和最大廣義不動點.

推論 2.3在定理2.2和推論2.1的條件下,A在D中必有最小不動點和最大不動點.

證明在定理 2.2證明中,u?～ Au?,Av?～ v?,則由條件 (v)可知,Au?=A(Au?), A(Av?)=Av?,再由FixA?[u?,v?]=[Au?,Av?]可得,Au?,Av?即為A在D中的最小不動點和最大不動點.

注 2.1在定理2.1、定理2.2和推論2.1、推論2.3中,A表示為A=CB的形式,其中B映D入另一個擬序拓?fù)淇臻gY,而在Y中增序列關(guān)于某種拓?fù)涞南鄬o性很容易檢驗.這樣,我們把在X中不容易檢驗的條件轉(zhuǎn)移到容易檢驗該條件的Y中,從而擴(kuò)大定理的適用范圍.因此定理2.1、定理2.2和推論2.1、推論2.3是文獻(xiàn)[6]中定理1、定理2和推論1、推論2的改進(jìn).

推論 2.4在推論2.2的條件下,A在D中必有最小廣義不動點和最大廣義不動點.

證明在定理2中,令X=Y,A=B,C=I即可.

注 2.2定理 2.1、推論 2.2和定理 2.2、推論 2.4是對文獻(xiàn) [3]中定理 1、推論 1和定理2、推論2的改進(jìn),主要體現(xiàn)在以下三個方面:

(i)放寬了文獻(xiàn)[3]中對序關(guān)系的限制,只要求X是擬序集;

(ii)削弱了文獻(xiàn)[3]中的緊性條件,例如,由文獻(xiàn)[3]中的擬緊性條件可推出本文中的緊性條件,反之則不然;

(iii)進(jìn)一步放寬了對可分性條件的要求,例如,由文獻(xiàn)[3]中的擬可分性可推出偽可分性,反之則不然.

[1] 孫經(jīng)先.非線性泛函分析[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[2] 張金清.序方法與均衡分析[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2003.

[3] 孫經(jīng)先.非連續(xù)的增算子的不動點定理及其對含間斷項的非線性方程的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1988,31(1):101-107.

[4] 孫經(jīng)先.增算子的不動點定理及其對Banach空間含間斷項的非線性方程的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1991,34(5):666-674.

[5] Zhang Jinqing.Zorn lemma on quasi-ordering sets and applications[J].Advances In Mathematics,1999,28(1): 89-91.

[6] 張金清.不完全偏好下非連續(xù)增算子的不動點與廣義不動點定理 [J].信陽師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版, 2005,18(1):22-25.

[7] Gierz G,Hofmann K H,Klaus Keimel,et al.Continuous Lattices and Domains[M].Cambridge:Cambridge University Press,2003.

Some new generalized fi xed point theorems for discontinuous increasing operator under quasi-order

Jiang Xin,Xue Xifeng
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

The existence of generalized fi xed points for discontinuous increasing operators which is expressed as the form A=CB with respect to quasi-order X is studied by using the order method.The existence of minimal and maximal generalized fi xed points for discontinuous increasing operators which is expressed as the form A=CB with respect to quasi-order X is proved,and the obtained results improve the related known works.

quasi-order,quasi-ordered topological space,increasing operator,generalized fi xed point

O177.91

A

1008-5513(2014)04-0406-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.010

2014-03-27.

陜西省自然科學(xué)專項基金(2012JM1017).

姜鑫(1988-),碩士生,研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:47H10