一類(lèi)推廣的Virasoro-like李代數(shù)

余德民

(湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng)414000)

一類(lèi)推廣的Virasoro-like李代數(shù)

余德民

(湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng)414000)

構(gòu)造了一類(lèi)無(wú)限維李代數(shù),它是Virasoro-like李代數(shù)的推廣.研究了這類(lèi)李代數(shù)的兩類(lèi)自同構(gòu),這兩類(lèi)自同構(gòu)均關(guān)于映射的合成構(gòu)成自同構(gòu)群,一類(lèi)同構(gòu)于對(duì)稱(chēng)群S3,另一類(lèi)同構(gòu)于Klein交換群.得到了這類(lèi)李代數(shù)一些特殊的自同態(tài)、中心.證明了這類(lèi)李代數(shù)不是半單李代數(shù).

理想;自同構(gòu);同態(tài)

1 引言

Virasoro-like李代數(shù)是上世紀(jì)八十年代作為擬多項(xiàng)式環(huán)的一階微分算子代數(shù)被引入的,九十年代在理論物理的廣義對(duì)稱(chēng)性研究中產(chǎn)生了同樣的代數(shù)結(jié)構(gòu).設(shè)C為復(fù)數(shù)域,Z為整數(shù)加群,文獻(xiàn)[1]定義了一類(lèi)Virasoro-like李代數(shù)g4,并研究了Virasoro-like李代數(shù)g4的單性,設(shè)g4是由L(a1,a2)(?a1,a2∈Z)張成的復(fù)數(shù)域C上的線性空間,李運(yùn)算定義如下:

此運(yùn)算在基向量上線性擴(kuò)張,并滿足反對(duì)稱(chēng)性和Jacobi不等式,稱(chēng)g4為Virasoro-like李代數(shù).文獻(xiàn)[2]研究了Virasoro-like李代數(shù)g4的導(dǎo)子代數(shù)和導(dǎo)子代數(shù)的自同構(gòu)群.文獻(xiàn)[3]研究了帶參數(shù)α,β的Virasoro-like的導(dǎo)子代數(shù).文獻(xiàn)[4]研究了廣義Virasoro-like李代數(shù).作者[5-9]曾研究了Virasoro-like李代數(shù)及其推廣的Virasoro-like李代數(shù).本文推廣了Virasoro-like李代數(shù)g4,構(gòu)造了李代數(shù)g,并發(fā)現(xiàn)李代數(shù)g是一類(lèi)特殊的李代數(shù),有一些良好的性質(zhì).g為C上線性空間,其基向量為:

L(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8)(?bi∈Z,i∈{1,2,3,4,5,6,7,8}),g=⊕CL(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8).

在g上定義李運(yùn)算為:

然后,在基上雙線性擴(kuò)張.可驗(yàn)證運(yùn)算滿足反對(duì)稱(chēng)性和Jacobi恒等式,從而g為無(wú)限維李代數(shù).本文所研究的李代數(shù)g實(shí)質(zhì)也是推廣的Virasoro李代數(shù).Virasoro李代數(shù)及推廣的Virasoro李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示一直是李理論研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.Virasoro李代數(shù)及推廣的Virasoro李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示與理論物理,量子場(chǎng)論及統(tǒng)計(jì)力學(xué)等學(xué)科有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.

本文主要研究了李代數(shù)g的理想、自同構(gòu)、同態(tài).

1 主要結(jié)果

構(gòu)造g中自同構(gòu)如下:

f,f1,f2在 g的基向量 L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)上線性擴(kuò)張.

定理 2.1f,f1,f2是g的自同構(gòu).

證明從構(gòu)造知f為g上的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗(yàn)證

從而(?x,y∈g)f([x,y])=[f(x),f(y)],同理可證f1,f2是g的自同構(gòu).

設(shè)g的恒等自同構(gòu)為e,構(gòu)造g中自同構(gòu)如下:

f3,f4分別在 g的基向量 L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)上線性擴(kuò)張.

在映射集H={e,f,f1,f2,f3,f4}中引入映射的普通乘法,即映射的合成“?”.

?fi,fj∈H,L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)∈g,

定理 2.2設(shè)映射集H={e,f,f1,f2,f3,f4}在上述的乘法運(yùn)算下,同構(gòu)于對(duì)稱(chēng)群S3.

證明S3的元素分別為(12),(13),(23),(123),(132)和單位元ε,構(gòu)造映射

經(jīng)驗(yàn)證H和對(duì)稱(chēng)群S3同構(gòu).

構(gòu)造g中自同構(gòu)如下:

定理2.3關(guān)于映射的合成運(yùn)算構(gòu)成群.

證明從構(gòu)造知可為(45),于是→(45),f→(12),f1→(13),f2→(132),f3→(23), f4→(123),→(45),→(12)(45),→(13)(45),→(132)(45),→(23)(45),→(123)(45),則H2構(gòu)成的群是對(duì)稱(chēng)群S5的子群.

(46785)(4)=6,(46785)(6)=7,(46785)(7)=8,(46785)(8)=5,(46785)(5)=4,

構(gòu)造g上的自同態(tài)映射如下:

f5在g的基向量L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)上線性擴(kuò)張.

定理2.4f5是g的單自同態(tài).

證明從構(gòu)造知f5為g上的線性映射,且是單射.?x,y∈g,f5([x,y])=[f5(x),f5(y)].

在定理(4)中,單自同態(tài)f5有如下特殊情形:

當(dāng)n1=1,n2=1時(shí),f5為恒等同構(gòu),記為e;當(dāng)n1=1,n2=?1時(shí),f5為同構(gòu),記為f6;

當(dāng)n1=?1,n2=1時(shí),f5為同構(gòu),記為f7;當(dāng)n1=?1,n2=?1時(shí),f5為同構(gòu),記為f8.

在映射集{e,f6,f7,f8}中引入映射的普通乘法,即映射間的合成.

定理2.5映射集{e,f6,f7,f8}在上述的乘法運(yùn)算中,構(gòu)成Klein四元交換群.

證明由于e為單位元,可驗(yàn)證

從而定理成立.

定理2.6設(shè)g5是所有

張成的無(wú)線微線性空間，即

則g5是g的非零真理想,g也不為單李代數(shù).

證明先證g5為理想.因?yàn)?L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)∈g,

顯然g5是真理想.從而定理成立.

定理2.7L(?2,1,1,?1,1,0,0,0)張成的一維子空間是g的一維交換理想,于是g也不為半單李代數(shù).

證明因?yàn)?L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)∈g,有[L(?2,1,1,?1,1,0,0,0),L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)]=0,從而L(?2,1,1,?1,1,0,0,0)張成的一維子空間是g的一維交換理想,于是g也不為半單李代數(shù).

顯然,李代數(shù)g的中心C(g)為基向量

張成的無(wú)限維李

子代數(shù).

定理2.8設(shè)整數(shù)矩陣的秩r(M)<2,則由基向量L(a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18),···,L(an1,an2,an3,an4,an5,an6,an7,an8)張成的子空間是g的交換子代數(shù).

證明由于秩r(M)<2,所以r(M)=0或r(M)=1.

當(dāng)r(M)=0時(shí),矩陣M的每一個(gè)行向量都為零.對(duì)任意的i,

從而由基向量

張成的子空間是g的交換子代數(shù).

當(dāng)r(M)=1時(shí),由r(M)=1知M的任何子矩陣的秩為1或0,即

的秩為1或0,無(wú)論哪一種情況都有

從而定理成立.

在g的基向量中引入字典序,即對(duì)

(1)如果k1?q1,則L(k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8)?L(q1,q2,q3,q4,q5q6,q7,q8),

(2)如果ki=qi,而ki+1?qi+1,?i∈{1,2,3,4,5,6,7},則

則稱(chēng)x已按字典序排列,L(a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18)稱(chēng)為x的極小項(xiàng),而k1稱(chēng)為x極小項(xiàng)的系數(shù).

設(shè)g+是由基向量L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)(ai∈Z+(正整數(shù)集),?i∈{1,2,3,4,5,6,7,8})張成的g的線性子空間,顯然g+為李子代數(shù).

定理2.9g+中不存在二維非交換子代數(shù).

證明假設(shè)g+中存在二維非交換子代數(shù),則g+必存在基x,y使得[x,y]=x.設(shè)kiL(ai1,ai2,ai3,ai4,ai5,ai6,ai7,ai8)(?ki/=0),qjL(bj1,bj2,bj3,bj4,bj5,bj6,bj7,bj8)(?qj/=0),且x與y已按字典序排列.因?yàn)?/p>

而[x,y]中極小項(xiàng)為L(zhǎng)(a11+b11,a12+b12,a13+b13,a14+b14,a15+b15,a16+b16,a17+b17,a18+b18),而x的極小項(xiàng)為L(zhǎng)(a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18),系數(shù)為k1,因?yàn)閍11,a12,a13,a14,a15,,a16,a17,a18,b11,b12,b13,b14,b15,b16,b17,b18∈Z+,

于是等式x=[x,y]中左邊x極小項(xiàng)的系數(shù)k1=0,這與k1/=0矛盾.

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A generalized Virasoro-like Lie algebra

Yu Demin
(Department of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang414000,China)

In this paper an in fi nite dimensional Lie algebra is constructed and the in fi nite dimensional Lie algebra is popularized Virasoro-like Lie algebra.Two classes of automorphisms are studied.They are automorphism groups with the compostition of mapping.One is isomorphic to symmetry group S3.The other is isomorphic to Abelian group Klein.We get the center and some special homomorphisms of the in fi nite dimensional Lie algebra.We prove that it is not semi-simple Lie algebra.

ideal,automorphisms,homomorphisms

O152.5

A

1008-5513(2014)04-0341-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.002

2014-04-23.

湖南省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(12A058);湖南省重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目.

余德民(1975-),博士,副教授,研究方向:李代數(shù).

2010 MSC:17B05,17B30