股票價格遵循Ornstein－Uhlenbeck過程的復(fù)合期權(quán)定價

楊淑彩，薛 紅，薛應(yīng)珍

（1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710048；2.西安外事學(xué)院 商學(xué)院，陜西 西安710077）

期權(quán)定價問題是金融數(shù)學(xué)中的核心問題之一.1973年Black和Scholes［1］假定股票價格遵循幾何布朗運動，股票利率和波動率為常數(shù)的情況下獲得Black－Scholes公式，是金融界關(guān)于期權(quán)定價的里程碑.然而假設(shè)股票價格服從幾何布朗運動并假設(shè)期望收益率為常數(shù)，則意味著隨著時間的變化，股票價格收益率將只朝同一方向變化.實踐表明，股票的期望收益率是不可能隨時間朝一個方向（上升或者下降）變化的，而是波動變化的，其波動與時間和股票價格有關(guān)，解決這個問題可以考慮使股票價格過程服從O－U過程.

傳統(tǒng)的期權(quán)定價方法有解偏微分方程法［2－6］、離散模型逼近法［7］、鞅方法［8］3種.這些方法通常假設(shè)金融市場是無套利均衡的完全市場，如果市場是有套利的或不完全的市場，這時等價鞅測度不存在或存在而不唯一，用傳統(tǒng)的期權(quán)方法定價就有一定的困難.Bladt和Rydberg［9］提出了保險精算方法，這與傳統(tǒng)期權(quán)定價方法有著本質(zhì)不同：保險精算方法將股票價格按照期望收益率貼現(xiàn)到現(xiàn)在時刻由此得到期權(quán)的定價.閆海峰、劉三陽研究了股票價格遵循O－U過程的歐式期權(quán)定價［10］；畢學(xué)慧、杜雪樵在利率確定和股票價格遵循幾何布朗運動模型的情形下，利用保險精算方法給出了復(fù)合期權(quán)定價公式［11］.

復(fù)合期權(quán)是一類期權(quán)的期權(quán)，復(fù)合期權(quán)給予持有人這樣的權(quán)利：他可以在若干天以后（即t＝T1時刻）以價格＾K購買（出售）在日后t＝T2（T2＞T1）時刻到期且執(zhí)行價格為K的看漲（看跌）期權(quán).復(fù)合期權(quán)有看漲期權(quán)的看漲期權(quán)、看漲期權(quán)的看跌期權(quán)、看跌期權(quán)的看漲期權(quán)、看跌期權(quán)的看跌期權(quán)4種類型.

本文假設(shè)股票價格遵循指數(shù)O－U過程，無風險利率為常數(shù)的情況下，用保險精算方法推導(dǎo)出到期日T1的看漲期權(quán)的定價公式，其他3種復(fù)合期權(quán)定價公式可以類似地得到.

1 數(shù)學(xué)模型

連續(xù)時間金融市場只有兩種資產(chǎn)，一種是無風險資產(chǎn)（如債券），在t時刻的價格P（t）滿足dP（t）＝P（t）r（t）dt，P（0）＝1，其中r（t）為t時刻的無風險利率并假設(shè)r（t）是［0，T］上的實值可積函數(shù)；另一種是風險資產(chǎn)（如股票），且價格滿足如下隨機微分方程

其中，｛B（t）：t≥0｝是定義在完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的標準Brown運動；μ，α，σ為常數(shù)，并且α＞0，σ＞0，常數(shù)α的作用在于股票價格上升到一定高度后，它使S（t）有下降的趨勢.與Black－Scholes模型相比較，模型（1）相當于考慮預(yù)期收益率依賴于股票價格的Black－Scholes模型.顯然當α→0＋模型（1）即為Black－Scholes模型.

2 復(fù)合期權(quán)的保險精算定價

定義1 隨機過程｛S（t）：t≥0｝在［0，T］區(qū)間產(chǎn)生的期望收益率被定義為

在此定義中，不要求過程｛S（t）｝的具體形式，E是S（T）在實際概率分布下的數(shù)學(xué)期望.用V（S（T1），T1）表示原生期權(quán)在T1時刻的價格，Vco（S，0）表示現(xiàn)在時刻此復(fù)合期權(quán)的保險精算價格.

定義2 當期權(quán)被執(zhí)行時，到期日股票價格的折現(xiàn)值與執(zhí)行價格K的折現(xiàn)值的差在股票價格實際分布的概率測度下的數(shù)學(xué)期望值與無風險資產(chǎn)＾K 在T1時刻的折現(xiàn)值在股票價格實際分布的概率測度下的數(shù)學(xué)期權(quán)值的差，即為復(fù)合期權(quán)的保險精算價值，定義為

其中，r為無風險利率，IA是集合A的特征函數(shù).

定義2中，沒有對金融市場和價格過程作任何限制，計算復(fù)合期權(quán)價格時，只利用了價格過程在T1，T2時刻的實際概率分布和公平保費原理，克服了鞅方法定價中尋找等價鞅測度的困難，所以保險精算定價對非均衡、不完備金融市場也適用.

復(fù)合期權(quán)保險精算定價與傳統(tǒng)無套利定價的區(qū)別在于：在保險精算定價中，原生期權(quán)的買權(quán)執(zhí)行條件為而不是S（T2）＞K；復(fù)合期權(quán)的買權(quán)執(zhí)行條件是而不是

引理1［10］如果股票價格S（t）滿足方程（1），則

引理2［10］設(shè)股票價格滿足方程（1），則原生期權(quán)的價格為

引理3 假定股票價格滿足方程（1），則歐式看漲期權(quán)的價格函數(shù)V（S（T1），T1）關(guān)于S（T1）是單調(diào)遞增的.

證明根據(jù)引理2的結(jié)果，有

引理得證.

引理4［11］（B（T1），B（T2））的聯(lián)合分布的密度函數(shù)fT1T2（x，y）為

定理1 設(shè)股票價格滿足方程（1），則

證明由引理1

可得

由引理3知，對應(yīng)歐式看漲期權(quán)的價格函數(shù)V（S（T1），T1）關(guān)于S（T1）是單調(diào)遞增的，所以存在唯一的S＊為下面方程根

或等價于

即ξ＞x0，這里ξ～N（0，m1）.

即η＞y0，這里η～ N（0，m2）.

同理有

證畢.

注：（1）當α→0＋時，可得文獻［11］的結(jié)果.

（2）期權(quán)價格與μ無關(guān)，即歐式復(fù)合期權(quán)值與股票預(yù)期收益率的線性漂移項無關(guān).

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