數(shù)學(xué)文化視角下教材空間設(shè)計(jì)的實(shí)踐

聶艷軍

作為教材的實(shí)踐者，教材的編排與知識(shí)技能目標(biāo)之間的聯(lián)系是顯而易見(jiàn)的，但怎樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容與其他方面目標(biāo)之間的關(guān)系，永遠(yuǎn)是教師一個(gè)人在作決定。因此，在課程實(shí)施的層面上對(duì)教材空間設(shè)計(jì)作文化學(xué)的實(shí)踐，以豐富數(shù)學(xué)教學(xué)的文化內(nèi)涵，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，無(wú)疑是必要的。

關(guān)于數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，目前普遍被認(rèn)可的是源自于對(duì)文化的狹義理解（指向精神層面）。事實(shí)上，精神層面的數(shù)學(xué)文化不可能脫離物質(zhì)層面的具體數(shù)學(xué)知識(shí)、理論而單獨(dú)存在，它們總是以某種特殊的形式凝聚、投射到具體的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)理論之中。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化包括學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品（知識(shí)性成分）和精神產(chǎn)品（觀念性成分）。以此為視角，教材內(nèi)的知識(shí)一般以兩種形態(tài)存在：一是顯性的、靜態(tài)的結(jié)果性知識(shí)；二是隱藏在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)理性精神等。這些隱性的數(shù)學(xué)思想方法、思維方式、數(shù)學(xué)精神等和顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)共同構(gòu)成了教材的文化內(nèi)涵，成為數(shù)學(xué)教材空間的組成部分。

設(shè)計(jì)是一種規(guī)劃、設(shè)想，通過(guò)視覺(jué)的形式傳達(dá)出來(lái)的活動(dòng)結(jié)果與活動(dòng)過(guò)程。數(shù)學(xué)教材空間設(shè)計(jì)，既指向結(jié)果，即挖掘教學(xué)內(nèi)容的文化內(nèi)涵，對(duì)“教什么”作出深遠(yuǎn)謀劃；又指向過(guò)程，即設(shè)計(jì)教學(xué)路線與方式，對(duì)“怎樣教”作出精細(xì)規(guī)劃。

一、 深刻把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，對(duì)“教什么”做出深遠(yuǎn)的謀劃

數(shù)學(xué)教學(xué)的首要問(wèn)題，是對(duì)“教什么”作出深遠(yuǎn)的謀劃，思考“為什么要教這個(gè)而不教那個(gè)”這樣的價(jià)值取舍問(wèn)題，遠(yuǎn)比單純地琢磨怎樣教更有意義。

以知識(shí)為中心的數(shù)學(xué)教育過(guò)度追逐數(shù)學(xué)的工具性價(jià)值，數(shù)學(xué)教材原本具有的豐富意蘊(yùn)被簡(jiǎn)化為數(shù)字、符號(hào)、公式、規(guī)則、程序的組合。對(duì)數(shù)學(xué)的如此認(rèn)知和理解，切斷了數(shù)學(xué)文化中知識(shí)性成分和觀念性成分的內(nèi)在聯(lián)系，窄化了數(shù)學(xué)教材的文化內(nèi)涵，使得數(shù)學(xué)課堂以“去情境”和“去過(guò)程”為特征，把生動(dòng)的數(shù)學(xué)知識(shí)變成單調(diào)刻板的條文讓學(xué)生去進(jìn)行記憶和背誦，數(shù)學(xué)本該擁有的文化氣質(zhì)被剝落。

以文化育人為價(jià)值取向的教材空間設(shè)計(jì)，最基本的是對(duì)學(xué)科本質(zhì)的把握和領(lǐng)悟。就數(shù)學(xué)而言，首先是對(duì)基本數(shù)學(xué)概念的理解（包括為什么學(xué)習(xí)？核心概念是什么？怎么用？），其次是對(duì)抽象、模型、推理等數(shù)學(xué)基本思想的領(lǐng)悟，以及對(duì)分類、轉(zhuǎn)化、類比、猜想等數(shù)學(xué)特有思維方式的把握，最后是對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞和對(duì)理性精神的追求。顯然，這與數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵是一脈相承的。以此為視角觀測(cè)數(shù)學(xué)教材，教材內(nèi)容不再只是數(shù)字、符號(hào)、公式、規(guī)則、程序的簡(jiǎn)單組合，透過(guò)它們，我們還能感受隱藏其中的豐富的方法、深邃的思想、高貴的精神和品格。這些隱性的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)意識(shí)等觀念性成分和顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)共同構(gòu)成數(shù)學(xué)教材深刻的文化空間。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“確定位置”為例，這節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)對(duì)的含義，以及用數(shù)對(duì)確定平面上點(diǎn)的位置，教材內(nèi)容蘊(yùn)含豐富的文化內(nèi)涵。

學(xué)生在此之前已經(jīng)初步獲得了用自然數(shù)表示位置的經(jīng)驗(yàn)。由一年級(jí)時(shí)在某一行（或列）中借助“第幾”來(lái)確定某個(gè)人或物體的位置，到二年級(jí)時(shí)用兩個(gè)“第幾”來(lái)確定相應(yīng)的位置，看似簡(jiǎn)單的數(shù)量增加（“第幾”的個(gè)數(shù)由原來(lái)的1增加到2），其內(nèi)在的實(shí)質(zhì)卻是：給定的空間由最初的一維增到二維，確定相應(yīng)空間中點(diǎn)的位置所需參數(shù)也自然應(yīng)由最初的1個(gè)增加到2個(gè)。而把由具體情境中用較樸素的方式描述位置提升到用數(shù)學(xué)方法（抽象的數(shù)對(duì)）確定位置，形式化表達(dá)的背后蘊(yùn)含數(shù)學(xué)精準(zhǔn)、凝練的氣質(zhì)。顯然，幫助學(xué)生建立二維空間的表象，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，提高抽象思維能力，是本節(jié)課價(jià)值訴求的重要組成部分。

“用數(shù)對(duì)確定位置”是學(xué)生學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)。數(shù)對(duì)的表達(dá)為什么先記“列”再記“行”？記“列”為什么從左往右數(shù)？記“行”為什么從下往上數(shù)？這主要是與平面直角坐標(biāo)系的規(guī)定相一致。教材的呈現(xiàn)也給我們啟發(fā)：由“教室里小軍坐在哪里”的實(shí)際生活事例，抽象為“符號(hào)化的圖”（用圓圈表示具體的人，相當(dāng)于格塊），再上升到“數(shù)學(xué)化的圖”（例2，把具體建筑物記作點(diǎn)，接近于坐標(biāo)描述），能看出編者的匠心——即將“座位”平面圖抽象為比較形象的“直角坐標(biāo)系”，架起數(shù)與形之間的橋梁，初步滲透數(shù)形結(jié)合及坐標(biāo)思想。由此，在突顯教學(xué)內(nèi)容應(yīng)有的生活價(jià)值的同時(shí)，又能在符號(hào)體系中恰當(dāng)?shù)厣珊蜐B透數(shù)學(xué)思想，是本節(jié)課教學(xué)應(yīng)有的文化意蘊(yùn)。

事實(shí)上，教材內(nèi)容還賦予本課更為豐富的文化內(nèi)涵：

對(duì)于數(shù)對(duì)的引入，即使最終還是由教師把結(jié)果告訴學(xué)生，我們還是應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“用數(shù)對(duì)確定位置”的創(chuàng)造過(guò)程。因?yàn)?，?shù)學(xué)教學(xué)不僅要承載讓學(xué)生繼承數(shù)學(xué)事實(shí)的功能，還有引領(lǐng)學(xué)生感受知識(shí)產(chǎn)生必要性與自身規(guī)定的合理性，以及獲得創(chuàng)造新文化的意識(shí)和能力。

在學(xué)生準(zhǔn)確建構(gòu)用數(shù)對(duì)確定位置后，讓學(xué)生分別表示一維、二維以及三維空間中物體的位置，讓學(xué)生意識(shí)到只有在平面上，才用兩個(gè)數(shù)組成的數(shù)對(duì)表示物體的位置；在直線上，只需要一個(gè)數(shù)就可以了，而在三維空間，兩個(gè)數(shù)又不行了，為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)積蓄可持續(xù)發(fā)展的動(dòng)力源泉。

用數(shù)對(duì)的思想不僅可以確定“有限平面”上某些點(diǎn)的位置，還可以確定無(wú)限平面上任意點(diǎn)的位置。

這些內(nèi)涵的挖掘都是有價(jià)值、有意義的，并有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的真正理解與把握。當(dāng)然，在某種意義上，課堂教學(xué)始終印刻著教師個(gè)性化的價(jià)值判斷、趣味追求，對(duì)同一節(jié)課教材文化內(nèi)涵的把握，在突顯學(xué)科本質(zhì)的前提下，“我的地盤我做主”。

二、著力構(gòu)建與文化沉淀相匹配的教學(xué)方式，對(duì)“怎樣教”做出精致的規(guī)劃

數(shù)學(xué)教材空間設(shè)計(jì)，不僅反映出教師選擇在哪些事情上努力，對(duì)“教什么”做出深遠(yuǎn)謀劃，還反映出教師如何更好地完成教學(xué)任務(wù)，對(duì)“怎樣教”做出精致的規(guī)劃。

文化總帶有歷史性的成分。數(shù)學(xué)作為一種文化，同樣也離不開(kāi)歷史的沉淀過(guò)程。當(dāng)我們把數(shù)學(xué)知識(shí)看作文化傳承結(jié)果的同時(shí)，也意味著這些知識(shí)經(jīng)歷了發(fā)生、發(fā)展、沉淀等階段，數(shù)學(xué)文化正是在這一過(guò)程的循環(huán)往復(fù)中，不斷充實(shí)，不斷提升，其觀念性成分逐漸成為人們采取行動(dòng)、解決問(wèn)題的指南。要使數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程同時(shí)成為數(shù)學(xué)觀念性成分的文化積累過(guò)程，探索與數(shù)學(xué)文化沉淀過(guò)程相匹配的教學(xué)方式是前提。endprint

還是以“用數(shù)對(duì)確定位置”為例。在學(xué)生感到用第幾列第幾行的方法表示一個(gè)同學(xué)的位置比較準(zhǔn)確、簡(jiǎn)便時(shí)后，我們通過(guò)如下的活動(dòng)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)對(duì)概念，把握用數(shù)對(duì)確定位置的方法，感悟基本數(shù)學(xué)思想。

1.用數(shù)對(duì)的方法在圓點(diǎn)圖上確定位置——理解概念的本質(zhì)。

●體驗(yàn)。

談話：第幾列第幾行，讓我們確定，位置有了統(tǒng)一說(shuō)法。下面我們用這種方法記錄幾個(gè)同學(xué)的位置。（教師口述并逐漸加快語(yǔ)速，學(xué)生無(wú)法記錄下來(lái)）

質(zhì)疑：沒(méi)有記錄下來(lái)，除了老師報(bào)得快以外還有沒(méi)有別的原因？

交流：學(xué)生在交流中意識(shí)到既有方法的繁瑣和不便。

談話：數(shù)學(xué)不僅追求統(tǒng)一，還追求簡(jiǎn)潔。像第4列第2行，能否寫得再簡(jiǎn)潔些呢？（教師收集并展示學(xué)生的寫法：4：2 4·2 4-2 4|2 ）

比較：透過(guò)不同你能看到這些方法中相同的地方嗎？

交流：學(xué)生在交流的過(guò)程中，初步感受數(shù)對(duì)的本質(zhì)屬性。

講授：揭示數(shù)對(duì)概念，介紹數(shù)對(duì)的寫法。

●運(yùn)用。

用數(shù)對(duì)表示圖上A點(diǎn)、B點(diǎn)的位置，并交流寫法。

在圖上找到數(shù)對(duì)（2，5）、（6，3）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并交流找點(diǎn)的過(guò)程。

●反思。

交流：（出示錯(cuò)誤的描點(diǎn)作業(yè)）是不是一個(gè)數(shù)對(duì)有兩個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)呢？

感悟：一個(gè)數(shù)對(duì)只對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)對(duì)。

2.用數(shù)對(duì)的方法在方格圖上確定位置——滲透基本數(shù)學(xué)思想。

（1）根據(jù)方格圖上的點(diǎn)說(shuō)出數(shù)對(duì)。

●體驗(yàn)。

談話：（課件演示：用線連接圓點(diǎn)，然后隱去圓點(diǎn)，變成方格圖。）這是學(xué)校的平面圖，你能用數(shù)對(duì)表示出方格圖上景點(diǎn)的位置嗎？

比較：（出示兩個(gè)學(xué)生不同的表示結(jié)果）明明是同一個(gè)點(diǎn)，為什么出現(xiàn)不同的數(shù)對(duì)呢？

交流：學(xué)生在交流中意識(shí)到同一點(diǎn)的行數(shù)與列數(shù)不是唯一的，它取決于第一行、第一列從哪兒算起。為了方便交流，起點(diǎn)一般從0開(kāi)始。

●練習(xí)。

用數(shù)對(duì)表示出其他景點(diǎn)的位置。依次是：升旗臺(tái)（3，5）校史室（6，7）竹園（4，0）科學(xué)宮（0，0）

●反思。

交流：校史室的位置是由哪兩條線決定的？這兩條線又是由哪些線決定的？

感悟：在方格圖上用數(shù)對(duì)的方法確定位置，首先要確定0起點(diǎn)。有了0起點(diǎn)和這兩條相互垂直的直線，就能唯一地確定圖中任何一點(diǎn)的位置。

（2）根據(jù)數(shù)對(duì)在方格圖上找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

●體驗(yàn)。

談話：在方格圖上，你還能根據(jù)數(shù)對(duì)找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？這兒有三個(gè)數(shù)對(duì)，請(qǐng)找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)并標(biāo)上數(shù)對(duì)。

交流：比較這三個(gè)點(diǎn)的位置，你發(fā)現(xiàn)了什么？

●延伸。

類推：根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，想一想，同一列上的數(shù)對(duì)又有怎樣的特點(diǎn)？

交流：以（6，5）為例，哪些數(shù)對(duì)與它在同一列上？

●反思。

交流：對(duì)于數(shù)對(duì)你們又有怎樣的認(rèn)識(shí)？

感悟：數(shù)對(duì)不僅能表示出點(diǎn)的位置，還能反映出點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系。圖形的特征可以反映在數(shù)對(duì)中，數(shù)對(duì)的特點(diǎn)也能通過(guò)圖形來(lái)體現(xiàn)。

知識(shí)性成分和觀念性成分在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)置上共用同一個(gè)知識(shí)載體。知識(shí)性目標(biāo)著眼于載體的事實(shí)性、陳述性，觀念性成分浸潤(rùn)在對(duì)載體本身的理解與認(rèn)知過(guò)程中，一般要在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、嘗試中體驗(yàn)，在合作探索、多邊互動(dòng)中交流碰撞，在反思內(nèi)省中感悟、完善等。

建構(gòu)。在學(xué)生感受到用第幾列第幾行的方法表示一個(gè)同學(xué)的位置比較準(zhǔn)確、簡(jiǎn)便時(shí)，要求學(xué)生用這種方法記錄幾個(gè)同學(xué)的位置，讓學(xué)生親身經(jīng)歷快速記錄的過(guò)程，體驗(yàn)既有方法的繁瑣與不便，意識(shí)到這種方法還可以寫得更簡(jiǎn)潔一些，自然過(guò)渡到對(duì)原有描述進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，并通過(guò)比較、交流，逐漸逼近數(shù)對(duì)簡(jiǎn)約、凝練的特質(zhì)，催生出數(shù)對(duì)的雛形。

運(yùn)用。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“在圓點(diǎn)圖上確定位置”到“在方格圖上確定位置”的過(guò)程，通過(guò)圖例的抽象和演變，讓學(xué)生感受在方格圖上用數(shù)對(duì)確定位置的背景。不論是在圓點(diǎn)圖上確定位置，還是在方格圖上確定位置，教學(xué)安排了同樣的層次，即先用數(shù)對(duì)表示圖上圓點(diǎn)的位置，再在圖上找數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思維的交流與碰撞，把握學(xué)科的本質(zhì)。在圓點(diǎn)圖上確定位置，著力使學(xué)生在交流中掌握用數(shù)對(duì)確定位置的方法，感悟數(shù)對(duì)的含義；在方格圖上確定位置，著力使學(xué)生在交流中體會(huì)圖形與數(shù)對(duì)的聯(lián)系，感悟基本的數(shù)學(xué)思想。

提升。北京教育學(xué)院張丹副教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)一方面在于積累，另一方面也需要提升。在體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生“脫身”出來(lái)，作為一個(gè)旁觀者來(lái)看待自己剛才做了些什么事，將自己所做的過(guò)程置于被思考的位置上加以審視，從而使數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累的經(jīng)驗(yàn)沉淀為一種理性的認(rèn)識(shí)。（三次活動(dòng)后的“反思”）

同樣的教學(xué)內(nèi)容，因?yàn)榻?gòu)方式的不同，既可以使數(shù)學(xué)彰顯其文化屬性，也可以讓本該擁有的文化氣質(zhì)被剝落。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是一個(gè)文化繼承的過(guò)程。但是，文化繼承不能理解成只是一個(gè)被動(dòng)的接受過(guò)程，恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生較好地去理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，而這事實(shí)上也就是一個(gè)自主建構(gòu)的過(guò)程。

參考文獻(xiàn)

[1] 張維忠.數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化[M].上海：上海教育出版社，2011.

[2] 劉加霞.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的有效教學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint