在數(shù)學(xué)習(xí)題開(kāi)發(fā)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維

尹中華

摘 要：在教學(xué)中充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維的過(guò)程是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要原則，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性是數(shù)學(xué)教學(xué)工作的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；創(chuàng)造性思維；習(xí)題

良好的思維品質(zhì)非一朝一夕所能形成的。在教學(xué)中，筆者抓住數(shù)學(xué)習(xí)題特點(diǎn)，進(jìn)行多向思維訓(xùn)練，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成和發(fā)展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“一題多解”是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生靈活思維的一種良好手段，通過(guò)“一題多解”的訓(xùn)練能溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)舉一反三的本領(lǐng)。在教材安排的例題中，有相當(dāng)多的題目存在一題多解的情況。

例：三角形ABC中，AB=AC，O為圖形（圖1）內(nèi)一點(diǎn)，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：從條件上看，題目條件都是角，AB=AC，也和角能聯(lián)系上，于是想到，從三角形的內(nèi)角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度數(shù)。

■

圖1

嘗試：用方程思想求解，設(shè)∠CAO為x，但建立起來(lái)的方程都無(wú)法求解。但通過(guò)角的關(guān)系可以獲得信息：OD=CD。從上面的嘗試知道，只從角的角度，是無(wú)法求解∠CAO的大小，但通過(guò)前面的嘗試，發(fā)現(xiàn)了一些邊相等，因此，可以想到求解的第二條思路：通過(guò)證明全等（或相似）證明要求的角等于已知角。于是想到挖掘題目中的隱含條件，容易發(fā)現(xiàn)∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常見(jiàn)求值題目中給的都是特殊角，其含有隱含條件∠OCB=2∠OBC（幾何題中常常將角的關(guān)系通過(guò)具體值給出，給解題思路帶來(lái)干擾）。所以，可作∠OCB的平分線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形，將邊和角聯(lián)系起來(lái)。如圖2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE為公共邊。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。結(jié)合圖形我們可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要證∠CAO=20°，只需證∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想獲得了新的思路：證明AE=AO。

在三角形內(nèi)，證明兩邊相等，常見(jiàn)思路有：

思路1：兩條線(xiàn)段在同一個(gè)三角形內(nèi)，可考慮證明這個(gè)三角形是等腰三角形。因此，這里我們嘗試證明△AEO是等腰三角形，這時(shí)，又轉(zhuǎn)化到要證明∠AEO=∠AOE，這正是我們要證明的結(jié)論，又走到老路上去了，顯然這條路是行不通的。

■

圖2

思路2：把兩條線(xiàn)段放在兩個(gè)三角形中，再證明這兩個(gè)三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE顯然都不和他們?nèi)?，因此，考慮構(gòu)造全等三角形。

如何構(gòu)造呢？顯然要作一個(gè)三角形，使其有一個(gè)角與∠AOC相等為20°，因此不難想到作角∠BAE的平分線(xiàn)，交BD于F。這樣，目標(biāo)轉(zhuǎn)化為證明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要證明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一邊相等。

■

圖3

顯然，如果找角相等又轉(zhuǎn)回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一邊相等，而AE=AO是要證明的結(jié)論，因此，結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明：FE=OD。由于FE和OD不在同一個(gè)三角形內(nèi)，無(wú)法用等角對(duì)對(duì)邊定理來(lái)證明，且這時(shí)通過(guò)證明這兩邊所在三角形全等去證明也是行不通的。

結(jié)合前面的發(fā)現(xiàn)，圖中有角平分線(xiàn)和相似三角形，獲得新的思路：通過(guò)比例轉(zhuǎn)換去證明線(xiàn)段。

由AF是∠BAE的平分線(xiàn)，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以問(wèn)題得解。

“一題多解”是加深和鞏固所學(xué)知識(shí)的有效途徑和方法，充分運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，從不同的角度思考問(wèn)題，采用多種方法解決問(wèn)題，這有利于學(xué)生加深理解各部分知識(shí)間的縱、橫方向的內(nèi)在聯(lián)系，掌握各部分知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化，所以教師在教學(xué)過(guò)程中要多挖掘一些行之有效的一題多解例題和習(xí)題，使學(xué)生的思維應(yīng)變能力能得到充分的鍛煉和培養(yǎng)。

摘 要：在教學(xué)中充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維的過(guò)程是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要原則，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性是數(shù)學(xué)教學(xué)工作的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；創(chuàng)造性思維；習(xí)題

良好的思維品質(zhì)非一朝一夕所能形成的。在教學(xué)中，筆者抓住數(shù)學(xué)習(xí)題特點(diǎn)，進(jìn)行多向思維訓(xùn)練，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成和發(fā)展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“一題多解”是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生靈活思維的一種良好手段，通過(guò)“一題多解”的訓(xùn)練能溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)舉一反三的本領(lǐng)。在教材安排的例題中，有相當(dāng)多的題目存在一題多解的情況。

例：三角形ABC中，AB=AC，O為圖形（圖1）內(nèi)一點(diǎn)，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：從條件上看，題目條件都是角，AB=AC，也和角能聯(lián)系上，于是想到，從三角形的內(nèi)角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度數(shù)。

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圖1

嘗試：用方程思想求解，設(shè)∠CAO為x，但建立起來(lái)的方程都無(wú)法求解。但通過(guò)角的關(guān)系可以獲得信息：OD=CD。從上面的嘗試知道，只從角的角度，是無(wú)法求解∠CAO的大小，但通過(guò)前面的嘗試，發(fā)現(xiàn)了一些邊相等，因此，可以想到求解的第二條思路：通過(guò)證明全等（或相似）證明要求的角等于已知角。于是想到挖掘題目中的隱含條件，容易發(fā)現(xiàn)∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常見(jiàn)求值題目中給的都是特殊角，其含有隱含條件∠OCB=2∠OBC（幾何題中常常將角的關(guān)系通過(guò)具體值給出，給解題思路帶來(lái)干擾）。所以，可作∠OCB的平分線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形，將邊和角聯(lián)系起來(lái)。如圖2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE為公共邊。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。結(jié)合圖形我們可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要證∠CAO=20°，只需證∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想獲得了新的思路：證明AE=AO。

在三角形內(nèi)，證明兩邊相等，常見(jiàn)思路有：

思路1：兩條線(xiàn)段在同一個(gè)三角形內(nèi)，可考慮證明這個(gè)三角形是等腰三角形。因此，這里我們嘗試證明△AEO是等腰三角形，這時(shí)，又轉(zhuǎn)化到要證明∠AEO=∠AOE，這正是我們要證明的結(jié)論，又走到老路上去了，顯然這條路是行不通的。

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圖2

思路2：把兩條線(xiàn)段放在兩個(gè)三角形中，再證明這兩個(gè)三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE顯然都不和他們?nèi)?，因此，考慮構(gòu)造全等三角形。

如何構(gòu)造呢？顯然要作一個(gè)三角形，使其有一個(gè)角與∠AOC相等為20°，因此不難想到作角∠BAE的平分線(xiàn)，交BD于F。這樣，目標(biāo)轉(zhuǎn)化為證明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要證明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一邊相等。

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圖3

顯然，如果找角相等又轉(zhuǎn)回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一邊相等，而AE=AO是要證明的結(jié)論，因此，結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明：FE=OD。由于FE和OD不在同一個(gè)三角形內(nèi)，無(wú)法用等角對(duì)對(duì)邊定理來(lái)證明，且這時(shí)通過(guò)證明這兩邊所在三角形全等去證明也是行不通的。

結(jié)合前面的發(fā)現(xiàn)，圖中有角平分線(xiàn)和相似三角形，獲得新的思路：通過(guò)比例轉(zhuǎn)換去證明線(xiàn)段。

由AF是∠BAE的平分線(xiàn)，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以問(wèn)題得解。

“一題多解”是加深和鞏固所學(xué)知識(shí)的有效途徑和方法，充分運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，從不同的角度思考問(wèn)題，采用多種方法解決問(wèn)題，這有利于學(xué)生加深理解各部分知識(shí)間的縱、橫方向的內(nèi)在聯(lián)系，掌握各部分知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化，所以教師在教學(xué)過(guò)程中要多挖掘一些行之有效的一題多解例題和習(xí)題，使學(xué)生的思維應(yīng)變能力能得到充分的鍛煉和培養(yǎng)。

摘 要：在教學(xué)中充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維的過(guò)程是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要原則，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性是數(shù)學(xué)教學(xué)工作的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；創(chuàng)造性思維；習(xí)題

良好的思維品質(zhì)非一朝一夕所能形成的。在教學(xué)中，筆者抓住數(shù)學(xué)習(xí)題特點(diǎn)，進(jìn)行多向思維訓(xùn)練，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成和發(fā)展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“一題多解”是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生靈活思維的一種良好手段，通過(guò)“一題多解”的訓(xùn)練能溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)舉一反三的本領(lǐng)。在教材安排的例題中，有相當(dāng)多的題目存在一題多解的情況。

例：三角形ABC中，AB=AC，O為圖形（圖1）內(nèi)一點(diǎn)，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：從條件上看，題目條件都是角，AB=AC，也和角能聯(lián)系上，于是想到，從三角形的內(nèi)角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度數(shù)。

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圖1

嘗試：用方程思想求解，設(shè)∠CAO為x，但建立起來(lái)的方程都無(wú)法求解。但通過(guò)角的關(guān)系可以獲得信息：OD=CD。從上面的嘗試知道，只從角的角度，是無(wú)法求解∠CAO的大小，但通過(guò)前面的嘗試，發(fā)現(xiàn)了一些邊相等，因此，可以想到求解的第二條思路：通過(guò)證明全等（或相似）證明要求的角等于已知角。于是想到挖掘題目中的隱含條件，容易發(fā)現(xiàn)∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常見(jiàn)求值題目中給的都是特殊角，其含有隱含條件∠OCB=2∠OBC（幾何題中常常將角的關(guān)系通過(guò)具體值給出，給解題思路帶來(lái)干擾）。所以，可作∠OCB的平分線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形，將邊和角聯(lián)系起來(lái)。如圖2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE為公共邊。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。結(jié)合圖形我們可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要證∠CAO=20°，只需證∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想獲得了新的思路：證明AE=AO。

在三角形內(nèi)，證明兩邊相等，常見(jiàn)思路有：

思路1：兩條線(xiàn)段在同一個(gè)三角形內(nèi)，可考慮證明這個(gè)三角形是等腰三角形。因此，這里我們嘗試證明△AEO是等腰三角形，這時(shí)，又轉(zhuǎn)化到要證明∠AEO=∠AOE，這正是我們要證明的結(jié)論，又走到老路上去了，顯然這條路是行不通的。

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圖2

思路2：把兩條線(xiàn)段放在兩個(gè)三角形中，再證明這兩個(gè)三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE顯然都不和他們?nèi)?，因此，考慮構(gòu)造全等三角形。

如何構(gòu)造呢？顯然要作一個(gè)三角形，使其有一個(gè)角與∠AOC相等為20°，因此不難想到作角∠BAE的平分線(xiàn)，交BD于F。這樣，目標(biāo)轉(zhuǎn)化為證明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要證明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一邊相等。

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圖3

顯然，如果找角相等又轉(zhuǎn)回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一邊相等，而AE=AO是要證明的結(jié)論，因此，結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明：FE=OD。由于FE和OD不在同一個(gè)三角形內(nèi)，無(wú)法用等角對(duì)對(duì)邊定理來(lái)證明，且這時(shí)通過(guò)證明這兩邊所在三角形全等去證明也是行不通的。

結(jié)合前面的發(fā)現(xiàn)，圖中有角平分線(xiàn)和相似三角形，獲得新的思路：通過(guò)比例轉(zhuǎn)換去證明線(xiàn)段。

由AF是∠BAE的平分線(xiàn)，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以問(wèn)題得解。

“一題多解”是加深和鞏固所學(xué)知識(shí)的有效途徑和方法，充分運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，從不同的角度思考問(wèn)題，采用多種方法解決問(wèn)題，這有利于學(xué)生加深理解各部分知識(shí)間的縱、橫方向的內(nèi)在聯(lián)系，掌握各部分知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化，所以教師在教學(xué)過(guò)程中要多挖掘一些行之有效的一題多解例題和習(xí)題，使學(xué)生的思維應(yīng)變能力能得到充分的鍛煉和培養(yǎng)。