例析三角函數(shù)的解題技巧

朱健忠

函數(shù)在高中數(shù)學中的地位和重要性不言而喻，其難度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函數(shù)，不僅學習起來難，而且習題解答過程中極易出現(xiàn)錯誤.久而久之，高中生難免對三角函數(shù)“談之色變”.究其緣由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，無法更好地應對各類三角函數(shù)習題，從而使得他們在學習和考試中經(jīng)常碰壁，難以取得好的成績.另外，學好三角函數(shù)，對于培養(yǎng)高中生的函數(shù)思維起著重要的作用.不過，該如何幫助高中生構建全面、合理的函數(shù)思維，繼而提高他們學習函數(shù)的能力？筆者認為可以從解題技巧入手，畢竟掌握一套好的解題技巧，比做無數(shù)道習題來的更加重要，還可以間接強化高中生對三角函數(shù)的認知能力，從而讓他們在理解的同時提高解題效率.

一、巧引參數(shù)，提高效率

三角函數(shù)是高中函數(shù)知識中的主要環(huán)節(jié)，同時也是各類考試中的重要項目，高中生若想取得良好的成績，不僅要學好三角函數(shù)，同時還要具備應對各類三角函數(shù)習題的能力.然而，受到思維模式、認知能力等諸多方面的影響，高中生在解答三角函數(shù)習題的時候往往存在著較大的斷檔，這樣不僅嚴重影響他們的解題效率，對他們的成績而言也有著極大的影響.筆者便結合以往的教學經(jīng)驗，談談巧引參數(shù)對解答三角函數(shù)的有效性.

例題1求證sin8θ+cos8θ≥18.

解析根據(jù)三角函數(shù)的平方關系式sin2θ+cos2θ=1的結構特征，以及數(shù)列的相關性質，可以快速引導學生發(fā)現(xiàn)sin2θ、12、cos2θ三者是成等差數(shù)列關系的.設sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，經(jīng)過推導，可以快速展開解題過程，并最終得證.

這道題按常規(guī)的方式進行求證，學生無疑會繞很大的彎子，并且一旦出現(xiàn)一絲的錯誤，那么整個求證過程將會功虧一簣.采用巧引參數(shù)的方法，不僅可以讓習題變得簡單、明確，同時還可以有效提高學生的解題效率.由此可見，有些習題給人的感覺之所以會很難，主要是由于學生缺乏良好的技巧.如果提高了學生的解題技巧，那么再解答此類習題時無疑會如虎添翼.

二、升冪降冪，化繁為簡

在三角函數(shù)的眾多解題技巧中，升冪降冪的方法相對較為特殊，但是可靠性和有效性卻是毋庸置疑的.此外，這種解題方法還可以快速實現(xiàn)問題的化繁為簡，進而讓隱含的題意瞬間呈現(xiàn)在學生眼前.升冪降冪解題技巧關鍵是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α這類公式，解題時可以滿足三角函數(shù)式的升降次要求，繼而實現(xiàn)對習題的化繁為簡、求值求證的目的.

例題2化簡1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升冪和降冪對這道習題進行解答的時候，主要涉及到了對公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升冪，而順用便是指降冪.當我們對原式進行升冪或降冪的時候，則會得出兩個不同的式子，即：

升冪：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降冪：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分別對這兩個式子進行推導，最后得出的結果都

是23.

由此我們可以看出，升冪和降冪特點在于對公式的逆用和順用.在升冪和降冪的過程中，不僅原式被簡化了，而且學生還能快速挖掘出習題中隱含的亮點，從而快速完成解答.需要說明的是，本題使用其他解題技巧同樣可以完成，或許過程更為簡單.所以，在日常的教學活動中，我們要積極引導學生掌握多種解題技巧，對經(jīng)典習題利用多種方法進行解答，讓學生分析哪種解法更省時更有效.

三、化弦為切，簡化習題

在三角函數(shù)中，化弦為切也是一種較為常見的解題技巧，它的解題效率和應用難度很適合高中生.所謂化弦為切，就是利用萬能公式把原式進行變形，轉化原式中的正弦和余弦函數(shù)，讓其變化為正切和余切函數(shù).而當完成這一步的時候，學生便可以成功將習題轉化為以tan為變量的一元有理函數(shù).這時，習題就不再是抽象模糊，而是徹底轉化為了代數(shù)問題，解答自然會水到渠成.

例題3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特點，進而選用合理的解題方法.由題意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同時除以cosα.這時，化弦為切，然后將tanα的數(shù)值代入式子中，便可以快速整理出新的代數(shù)式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解題技巧是確保學生解題既準確又省時的重要手段.假如這道習題我們采用常規(guī)的解答方式，不僅會浪費學生大量的時間，同時還極易出錯，嚴重時還會造成學生思維的絮亂，這對考試而言無疑是非常不利的.所以，在平日教學時我們可以將這種解題技巧以“一筆帶過”的方式融入到課堂中，在喚醒學生數(shù)學意識的同時提高他們的解題能力.

總之，懷有一顆持之以恒的心去學習固然重要，但好的學習方法同樣不可忽視.特別是對于高中數(shù)學而言，不僅需要高中生良好地掌握基礎知識，同時還需要他們構建全面的數(shù)學思維和巧妙的解題方法.目前，高中生所要學習的科目非常的多，他們沒有更多的時間去鉆研數(shù)學解題技巧.因此，這便需要我們數(shù)學教師在平日的課堂教學中加強解題技巧的培養(yǎng)，從而讓他們在面對各類數(shù)學習題的時候無往而不勝.

endprint

函數(shù)在高中數(shù)學中的地位和重要性不言而喻，其難度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函數(shù)，不僅學習起來難，而且習題解答過程中極易出現(xiàn)錯誤.久而久之，高中生難免對三角函數(shù)“談之色變”.究其緣由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，無法更好地應對各類三角函數(shù)習題，從而使得他們在學習和考試中經(jīng)常碰壁，難以取得好的成績.另外，學好三角函數(shù)，對于培養(yǎng)高中生的函數(shù)思維起著重要的作用.不過，該如何幫助高中生構建全面、合理的函數(shù)思維，繼而提高他們學習函數(shù)的能力？筆者認為可以從解題技巧入手，畢竟掌握一套好的解題技巧，比做無數(shù)道習題來的更加重要，還可以間接強化高中生對三角函數(shù)的認知能力，從而讓他們在理解的同時提高解題效率.

一、巧引參數(shù)，提高效率

三角函數(shù)是高中函數(shù)知識中的主要環(huán)節(jié)，同時也是各類考試中的重要項目，高中生若想取得良好的成績，不僅要學好三角函數(shù)，同時還要具備應對各類三角函數(shù)習題的能力.然而，受到思維模式、認知能力等諸多方面的影響，高中生在解答三角函數(shù)習題的時候往往存在著較大的斷檔，這樣不僅嚴重影響他們的解題效率，對他們的成績而言也有著極大的影響.筆者便結合以往的教學經(jīng)驗，談談巧引參數(shù)對解答三角函數(shù)的有效性.

例題1求證sin8θ+cos8θ≥18.

解析根據(jù)三角函數(shù)的平方關系式sin2θ+cos2θ=1的結構特征，以及數(shù)列的相關性質，可以快速引導學生發(fā)現(xiàn)sin2θ、12、cos2θ三者是成等差數(shù)列關系的.設sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，經(jīng)過推導，可以快速展開解題過程，并最終得證.

這道題按常規(guī)的方式進行求證，學生無疑會繞很大的彎子，并且一旦出現(xiàn)一絲的錯誤，那么整個求證過程將會功虧一簣.采用巧引參數(shù)的方法，不僅可以讓習題變得簡單、明確，同時還可以有效提高學生的解題效率.由此可見，有些習題給人的感覺之所以會很難，主要是由于學生缺乏良好的技巧.如果提高了學生的解題技巧，那么再解答此類習題時無疑會如虎添翼.

二、升冪降冪，化繁為簡

在三角函數(shù)的眾多解題技巧中，升冪降冪的方法相對較為特殊，但是可靠性和有效性卻是毋庸置疑的.此外，這種解題方法還可以快速實現(xiàn)問題的化繁為簡，進而讓隱含的題意瞬間呈現(xiàn)在學生眼前.升冪降冪解題技巧關鍵是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α這類公式，解題時可以滿足三角函數(shù)式的升降次要求，繼而實現(xiàn)對習題的化繁為簡、求值求證的目的.

例題2化簡1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升冪和降冪對這道習題進行解答的時候，主要涉及到了對公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升冪，而順用便是指降冪.當我們對原式進行升冪或降冪的時候，則會得出兩個不同的式子，即：

升冪：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降冪：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分別對這兩個式子進行推導，最后得出的結果都

是23.

由此我們可以看出，升冪和降冪特點在于對公式的逆用和順用.在升冪和降冪的過程中，不僅原式被簡化了，而且學生還能快速挖掘出習題中隱含的亮點，從而快速完成解答.需要說明的是，本題使用其他解題技巧同樣可以完成，或許過程更為簡單.所以，在日常的教學活動中，我們要積極引導學生掌握多種解題技巧，對經(jīng)典習題利用多種方法進行解答，讓學生分析哪種解法更省時更有效.

三、化弦為切，簡化習題

在三角函數(shù)中，化弦為切也是一種較為常見的解題技巧，它的解題效率和應用難度很適合高中生.所謂化弦為切，就是利用萬能公式把原式進行變形，轉化原式中的正弦和余弦函數(shù)，讓其變化為正切和余切函數(shù).而當完成這一步的時候，學生便可以成功將習題轉化為以tan為變量的一元有理函數(shù).這時，習題就不再是抽象模糊，而是徹底轉化為了代數(shù)問題，解答自然會水到渠成.

例題3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特點，進而選用合理的解題方法.由題意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同時除以cosα.這時，化弦為切，然后將tanα的數(shù)值代入式子中，便可以快速整理出新的代數(shù)式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解題技巧是確保學生解題既準確又省時的重要手段.假如這道習題我們采用常規(guī)的解答方式，不僅會浪費學生大量的時間，同時還極易出錯，嚴重時還會造成學生思維的絮亂，這對考試而言無疑是非常不利的.所以，在平日教學時我們可以將這種解題技巧以“一筆帶過”的方式融入到課堂中，在喚醒學生數(shù)學意識的同時提高他們的解題能力.

總之，懷有一顆持之以恒的心去學習固然重要，但好的學習方法同樣不可忽視.特別是對于高中數(shù)學而言，不僅需要高中生良好地掌握基礎知識，同時還需要他們構建全面的數(shù)學思維和巧妙的解題方法.目前，高中生所要學習的科目非常的多，他們沒有更多的時間去鉆研數(shù)學解題技巧.因此，這便需要我們數(shù)學教師在平日的課堂教學中加強解題技巧的培養(yǎng)，從而讓他們在面對各類數(shù)學習題的時候無往而不勝.

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函數(shù)在高中數(shù)學中的地位和重要性不言而喻，其難度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函數(shù)，不僅學習起來難，而且習題解答過程中極易出現(xiàn)錯誤.久而久之，高中生難免對三角函數(shù)“談之色變”.究其緣由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，無法更好地應對各類三角函數(shù)習題，從而使得他們在學習和考試中經(jīng)常碰壁，難以取得好的成績.另外，學好三角函數(shù)，對于培養(yǎng)高中生的函數(shù)思維起著重要的作用.不過，該如何幫助高中生構建全面、合理的函數(shù)思維，繼而提高他們學習函數(shù)的能力？筆者認為可以從解題技巧入手，畢竟掌握一套好的解題技巧，比做無數(shù)道習題來的更加重要，還可以間接強化高中生對三角函數(shù)的認知能力，從而讓他們在理解的同時提高解題效率.

一、巧引參數(shù)，提高效率

三角函數(shù)是高中函數(shù)知識中的主要環(huán)節(jié)，同時也是各類考試中的重要項目，高中生若想取得良好的成績，不僅要學好三角函數(shù)，同時還要具備應對各類三角函數(shù)習題的能力.然而，受到思維模式、認知能力等諸多方面的影響，高中生在解答三角函數(shù)習題的時候往往存在著較大的斷檔，這樣不僅嚴重影響他們的解題效率，對他們的成績而言也有著極大的影響.筆者便結合以往的教學經(jīng)驗，談談巧引參數(shù)對解答三角函數(shù)的有效性.

例題1求證sin8θ+cos8θ≥18.

解析根據(jù)三角函數(shù)的平方關系式sin2θ+cos2θ=1的結構特征，以及數(shù)列的相關性質，可以快速引導學生發(fā)現(xiàn)sin2θ、12、cos2θ三者是成等差數(shù)列關系的.設sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，經(jīng)過推導，可以快速展開解題過程，并最終得證.

這道題按常規(guī)的方式進行求證，學生無疑會繞很大的彎子，并且一旦出現(xiàn)一絲的錯誤，那么整個求證過程將會功虧一簣.采用巧引參數(shù)的方法，不僅可以讓習題變得簡單、明確，同時還可以有效提高學生的解題效率.由此可見，有些習題給人的感覺之所以會很難，主要是由于學生缺乏良好的技巧.如果提高了學生的解題技巧，那么再解答此類習題時無疑會如虎添翼.

二、升冪降冪，化繁為簡

在三角函數(shù)的眾多解題技巧中，升冪降冪的方法相對較為特殊，但是可靠性和有效性卻是毋庸置疑的.此外，這種解題方法還可以快速實現(xiàn)問題的化繁為簡，進而讓隱含的題意瞬間呈現(xiàn)在學生眼前.升冪降冪解題技巧關鍵是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α這類公式，解題時可以滿足三角函數(shù)式的升降次要求，繼而實現(xiàn)對習題的化繁為簡、求值求證的目的.

例題2化簡1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升冪和降冪對這道習題進行解答的時候，主要涉及到了對公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升冪，而順用便是指降冪.當我們對原式進行升冪或降冪的時候，則會得出兩個不同的式子，即：

升冪：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降冪：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分別對這兩個式子進行推導，最后得出的結果都

是23.

由此我們可以看出，升冪和降冪特點在于對公式的逆用和順用.在升冪和降冪的過程中，不僅原式被簡化了，而且學生還能快速挖掘出習題中隱含的亮點，從而快速完成解答.需要說明的是，本題使用其他解題技巧同樣可以完成，或許過程更為簡單.所以，在日常的教學活動中，我們要積極引導學生掌握多種解題技巧，對經(jīng)典習題利用多種方法進行解答，讓學生分析哪種解法更省時更有效.

三、化弦為切，簡化習題

在三角函數(shù)中，化弦為切也是一種較為常見的解題技巧，它的解題效率和應用難度很適合高中生.所謂化弦為切，就是利用萬能公式把原式進行變形，轉化原式中的正弦和余弦函數(shù)，讓其變化為正切和余切函數(shù).而當完成這一步的時候，學生便可以成功將習題轉化為以tan為變量的一元有理函數(shù).這時，習題就不再是抽象模糊，而是徹底轉化為了代數(shù)問題，解答自然會水到渠成.

例題3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特點，進而選用合理的解題方法.由題意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同時除以cosα.這時，化弦為切，然后將tanα的數(shù)值代入式子中，便可以快速整理出新的代數(shù)式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解題技巧是確保學生解題既準確又省時的重要手段.假如這道習題我們采用常規(guī)的解答方式，不僅會浪費學生大量的時間，同時還極易出錯，嚴重時還會造成學生思維的絮亂，這對考試而言無疑是非常不利的.所以，在平日教學時我們可以將這種解題技巧以“一筆帶過”的方式融入到課堂中，在喚醒學生數(shù)學意識的同時提高他們的解題能力.

總之，懷有一顆持之以恒的心去學習固然重要，但好的學習方法同樣不可忽視.特別是對于高中數(shù)學而言，不僅需要高中生良好地掌握基礎知識，同時還需要他們構建全面的數(shù)學思維和巧妙的解題方法.目前，高中生所要學習的科目非常的多，他們沒有更多的時間去鉆研數(shù)學解題技巧.因此，這便需要我們數(shù)學教師在平日的課堂教學中加強解題技巧的培養(yǎng)，從而讓他們在面對各類數(shù)學習題的時候無往而不勝.

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