利用著名不等式證明不等式

智婕

（蘭州商學(xué)院 信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730020）

利用著名不等式證明不等式

智婕

（蘭州商學(xué)院 信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730020）

不等式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的課題之一，在高等數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位.因此，對不等式作一些必要的研究具有重大的意義，同時，也為我們?nèi)绾巫C明不等式問題提供了必要的理論指導(dǎo).本文介紹了利用均值不等式、柯西不等式、赫爾德不等式、詹森不等式等著名不等式，拓展證明不等式不同思路，使得不等式有更好的應(yīng)用，提高學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識的能力.

均值不等式；柯西不等式；赫爾德不等式；詹森不等式

不等式證明是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要內(nèi)容，通過解答考研數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的不等式試題，對一些常用的不等式證明方法進行總結(jié).在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當中，一個重點和難點就是不等式的證明，大多數(shù)學(xué)生在遇到不等式證明問題不知到如何下手，實際上在許多不等式問題都存在一題多解，針對不等式的證明，本文利用均值不等式、柯西不等式、赫爾德不等式、詹森不等式等著名不等式，嘗試把握不等式與著名不等式的密切聯(lián)系，結(jié)合問題的結(jié)構(gòu)特征，用著名不等式的性質(zhì)、思想和方法來解決有關(guān)不等式的證明問題.

1 利用均值不等式

將以上各式相加，得

2 利用柯西不等式

例2設(shè)ai∈R，i=1,2,…,n.求證

證明 由柯西不等式

例3已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1.

證明 由條件，

左邊=(a+b+c)(a3+b3+c3)

即左邊≥(a2+b2+c2)2.

3 利用赫爾德不等式

赫爾德不等式是數(shù)學(xué)分析的一條不等式，取名自奧圖·赫爾德(Otto Holder).這是一條揭示Lp空間的相互關(guān)系的基本不等式：

若S取作{1……n}附計數(shù)測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數(shù)（或復(fù)數(shù)）x1…xn；y1…yn，有

我們稱p和q互為赫爾德共軛.

若取S為自然數(shù)集附計數(shù)測度，便得與上類似的無窮級數(shù)不等式.

當p=q=2，便得到柯西-施瓦茨不等式.

赫爾德不等式可以證明Lp空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明Lp空間是Lq空間的對偶.

求證

證明

4 利用詹森不等式

證明設(shè)f(x)=xlnx，x>0.由f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)f'(x)，可見，f(x)=xln(x)在x>0時為嚴格凸函數(shù).依

〔1〕李家熠.用均值不等式證明不等式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005，11(4):130-133.

〔2〕霍連林.著名不等式 [M].北京:中國物質(zhì)出版社，1994.123-124.

〔3〕馬雪雅.加權(quán)幾何平均不等式[J].數(shù)學(xué)雜志，2006，26(3): 319-322.

〔4〕數(shù)學(xué)分析.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1999.87.

〔5〕蔣昌林.也談一類分式不等式的統(tǒng)一證明[J].數(shù)學(xué)通報，2005，15(2):75-79.

〔6〕匡繼昌.常用不等式[M].濟南：山東科技出版社，2004.23-34.

〔7〕張新全.兩個不等式的證明[J].數(shù)學(xué)通報，2006，45(4):54-55.

〔8〕李長明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社，1995.253-263.

〔9〕葉慧萍.反思性教學(xué)設(shè)計-不等式證明綜合法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2005，10(3):89-91.

〔10〕Hardy，litlewood，bolya G.Inequalities[M].Cambridge :Cambridge university press，1997，45.

〔11〕Yang Bicheng.On an Extension of Hardy-Hilbert’s Inequality [J].Chinese Ann.Math.(Ser.A)，2002，23(2)：247-254.

〔12〕GaoM ingzhe.OnHeisenberg’s Inequality[J].J.M th.Anal. Appl.，1999，234(2):727-734.

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