分式線性遞推數(shù)列的周期性

劉國祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

分式線性遞推數(shù)列的周期性

劉國祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

分式線性遞推數(shù)列，其通項公式比較復(fù)雜.通過對不動點的研究，不需要求出通項公式，給出判定周期性的充分必要條件.

數(shù)列；遞推數(shù)列；通項公式；不動點；周期性

求遞推數(shù)列的通向公式，除特殊情況外，一般都比較困難.文獻(xiàn)[1]討論了二階線性遞推數(shù)列的周期性，方法是通過通項公式，過程非常繁瑣.分式線性遞推數(shù)列，其通項公式更加復(fù)雜.下面通過對不動點的研究，不需要求出通項公式，給出周期性的結(jié)論.

定義1 遞推數(shù)列

叫做分式線性遞推數(shù)列.

定義2 方程

的解，叫做分式線性遞推數(shù)列（1）的不動點.

當(dāng)c=0時，（1）成為一階線性遞推數(shù)列，它的通項和周期性都非常簡單.

當(dāng)然也可以轉(zhuǎn)化為二階線性遞推數(shù)列：

再用文獻(xiàn)[1]結(jié)論.

當(dāng)ad-bc=0時，（1）成為常數(shù)列.當(dāng)然可以看做是周期為1的周期數(shù)列.

所以，以后總假定c≠0,ad-bc≠0.

c≠0,ad-bc≠0)的不動點為p,q，并且a1≠p,a1≠q.則

（1）如果p≠q，

（2）如果p=q，

這個引理參看文獻(xiàn)[2]，為了行文方便，原文式（6）中，k=，與這里相等.順便指出，原文式（7）中，顯然錯誤.當(dāng)a1=p（或者a1=q），成為常數(shù)列.

引理2數(shù)列{an}，{bn}滿足bn=f(an)，其中函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，則數(shù)列{bn}是周期數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列{an}是周期數(shù)列，并且兩數(shù)列的周期相等.

證明 必要性 設(shè)數(shù)列{bn}是周期為T的周期數(shù)列，由已知

bn=f(an)，可以得到an=f-1(bn).

這就說明數(shù)列{an}是周期數(shù)列，T也是它的一個周期.設(shè)它的最小正周期是T',則T'|T.

反過來，由于bn+T'=f(an+T')=f(an)=bn.

則T'也是{bn}的一個周期，故有T|T'.

這樣就得到T=T'.

（1）當(dāng)a1=p或者a1=q時，數(shù)列{an}是常數(shù)列，T=1.

（2）當(dāng)a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p≠q時，數(shù)列{an}是周期數(shù)列的充分必要條件是a+d=0，并且T=2.

（3）當(dāng)a1≠p，a1≠q，p,q是共軛虛數(shù)時，數(shù)列{an}是周期數(shù)列的充分必要條件是并且周期是T.

（4）當(dāng)a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p=q時，數(shù)列{an}不是周期數(shù)列.

證明 p,q為（2）的兩個不動點.也就是，p,q是方程

（1）當(dāng)a1=p或者a1=q時，由于p,q為（2）的不動點,顯然，數(shù)列{an}是常數(shù)列，an=a1(=p或者q)，T=1.

（2）當(dāng)a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p≠q時，根據(jù)引理1和引理2，顯然，數(shù)列{an}是周期為T的周期數(shù)列的充分必要條件是：

從而，|cq+d|=|cp+d|

也就是a+d=0.

而當(dāng)a+d=0時，

（3）當(dāng)a1≠p，a1≠q，p,q是共軛虛數(shù)時，cq+d和cp+d也是共軛虛數(shù).數(shù)列{an}是周期為T的周期數(shù)列的充分必要條件是（10）成立.

故（11）成立.由（10），得an+T=an.

（4）當(dāng)當(dāng)a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p=q時，根據(jù)引理1之情況（2）.

根據(jù)引理2，數(shù)列{an}不是周期數(shù)列.

從定理可以看出，除常數(shù)列（也可以看做周期是1的周期數(shù)列）外，當(dāng)有兩個不相等的不動點時，無論是實數(shù)還是虛數(shù)，分式線性遞推數(shù)列（1）才可能是周期數(shù)列.

則周期為2.實際上，數(shù)列為：1，-3,1，-3，……

解a=1,b=1,c=-1,d=1

解出兩個不相等的虛數(shù)特征根為i,-i.

則周期為4.實際上，數(shù)列為：

〔1〕黃克之，黃軍華.關(guān)于an+2=pan+1+qan的周期性[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2013（9）：38—40.

〔2〕陳傳理，張同君.競賽數(shù)學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.166—167.

〔3〕劉國祥，那日蘇，葛景元.一個遞推數(shù)列的通項公式及應(yīng)用[J].昭烏達(dá)蒙族師專學(xué)報，2003（2）：11—12.

〔4〕劉國祥，蘇尼來.關(guān)于兩個數(shù)列的通項[J],赤峰學(xué)院學(xué)報，2005（2）：6-7.

O122.7

A

1673-260X（2014）04-0001-02