在作圖識(shí)圖與用圖的過程中加深認(rèn)識(shí)促進(jìn)理解

任何++錢軍先

y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數(shù)模型，它在物理學(xué)、工程技術(shù)與實(shí)際生活中有著十分廣泛的應(yīng)用，掌握好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)知識(shí)，不僅可以深化對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解，而且可以為將來的繼續(xù)學(xué)習(xí)或從事科學(xué)研究與生產(chǎn)實(shí)踐奠定基礎(chǔ)．那么，怎樣才能學(xué)好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的內(nèi)容呢？我們可以從函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象入手，在掌握作圖、學(xué)會(huì)識(shí)圖和體驗(yàn)用圖的過程中加深對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)和理解．

一、 掌握作圖

作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法，一是“五點(diǎn)法”，二是“變換法”．

“五點(diǎn)法”是作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實(shí)用方法．用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，一定周期、二定起點(diǎn)、三按周期規(guī)律均勻分布其余四點(diǎn)．

“變換法”在實(shí)際作圖時(shí)并不太方便，但它能幫助我們認(rèn)清函

數(shù)y=Asin(ωx+φ)與正弦函數(shù)y=sinx之間的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)用很廣泛．常用的變換規(guī)律是：

y=sinx

沿x軸向左平移φ(φ>0)個(gè)單位或向右平移|φ|(φ<0)個(gè)單位（相位變換）y=sin(x+φ)

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω（周期變換）

y=sin(ωx+φ)

橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（振幅變換）

y=Asin(ωx+φ)

例1試用五點(diǎn)法作出函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象，并說出這個(gè)函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

解析列表描點(diǎn)得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象（如圖1所示）.

2x-π30π2π32π2π

xπ6512π

23π

1112π76π

y020-20

y=cosx，即y=sin(x+π2)．將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象；將所得圖象上的各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象；再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩叮M坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=2sin(2x-π3)的圖象．

二、 學(xué)會(huì)識(shí)圖

這里的識(shí)圖是指由給出的圖象，能寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，從而進(jìn)一步地，能夠認(rèn)識(shí)和研究這個(gè)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．

由所給圖象寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，關(guān)鍵是確定A、ω和φ的值．方法較為靈活．A通常由最大值和最小值確定，ω由周期確定：ω=2πT，而φ=-ωx0（這里的x0是指用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)的起點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．另一種常用的方法則是將圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，借助待定系數(shù)法求解．

例2已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示，試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調(diào)區(qū)間．

解析由圖象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=

2π16=π8．

又圖象起點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=-2，

所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．

其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增區(qū)間為［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得減區(qū)間為［16k+2,16k+10］(k∈Z)．

三、體驗(yàn)用圖

“用圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，可以使我們的思維品質(zhì)和解題能力得到有效的鍛煉與提高．

例3某港口的水深y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位：小時(shí)）的函數(shù).下面是該港口的水深數(shù)據(jù)表.經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖3所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖象．

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)

y=Asinωt+B的表達(dá)式；

(2)一般情況下，船舶行時(shí)船底同海底

的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船

的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，

那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該

船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港所需的時(shí)間）？

解析應(yīng)根據(jù)圖象上顯示出來的特點(diǎn)，我們可以通過求出A,ω,B的值，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題來解決．

（1）由數(shù)據(jù)表和曲線知A=3,B=10，周期T=12，

y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數(shù)模型，它在物理學(xué)、工程技術(shù)與實(shí)際生活中有著十分廣泛的應(yīng)用，掌握好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)知識(shí)，不僅可以深化對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解，而且可以為將來的繼續(xù)學(xué)習(xí)或從事科學(xué)研究與生產(chǎn)實(shí)踐奠定基礎(chǔ)．那么，怎樣才能學(xué)好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的內(nèi)容呢？我們可以從函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象入手，在掌握作圖、學(xué)會(huì)識(shí)圖和體驗(yàn)用圖的過程中加深對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)和理解．

一、 掌握作圖

作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法，一是“五點(diǎn)法”，二是“變換法”．

“五點(diǎn)法”是作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實(shí)用方法．用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，一定周期、二定起點(diǎn)、三按周期規(guī)律均勻分布其余四點(diǎn)．

“變換法”在實(shí)際作圖時(shí)并不太方便，但它能幫助我們認(rèn)清函

數(shù)y=Asin(ωx+φ)與正弦函數(shù)y=sinx之間的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)用很廣泛．常用的變換規(guī)律是：

y=sinx

沿x軸向左平移φ(φ>0)個(gè)單位或向右平移|φ|(φ<0)個(gè)單位（相位變換）y=sin(x+φ)

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω（周期變換）

y=sin(ωx+φ)

橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（振幅變換）

y=Asin(ωx+φ)

例1試用五點(diǎn)法作出函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象，并說出這個(gè)函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

解析列表描點(diǎn)得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象（如圖1所示）.

2x-π30π2π32π2π

xπ6512π

23π

1112π76π

y020-20

y=cosx，即y=sin(x+π2)．將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象；將所得圖象上的各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象；再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩叮M坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=2sin(2x-π3)的圖象．

二、 學(xué)會(huì)識(shí)圖

這里的識(shí)圖是指由給出的圖象，能寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，從而進(jìn)一步地，能夠認(rèn)識(shí)和研究這個(gè)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．

由所給圖象寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，關(guān)鍵是確定A、ω和φ的值．方法較為靈活．A通常由最大值和最小值確定，ω由周期確定：ω=2πT，而φ=-ωx0（這里的x0是指用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)的起點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．另一種常用的方法則是將圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，借助待定系數(shù)法求解．

例2已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示，試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調(diào)區(qū)間．

解析由圖象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=

2π16=π8．

又圖象起點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=-2，

所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．

其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增區(qū)間為［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得減區(qū)間為［16k+2,16k+10］(k∈Z)．

三、體驗(yàn)用圖

“用圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，可以使我們的思維品質(zhì)和解題能力得到有效的鍛煉與提高．

例3某港口的水深y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位：小時(shí)）的函數(shù).下面是該港口的水深數(shù)據(jù)表.經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖3所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖象．

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)

y=Asinωt+B的表達(dá)式；

(2)一般情況下，船舶行時(shí)船底同海底

的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船

的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，

那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該

船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港所需的時(shí)間）？

解析應(yīng)根據(jù)圖象上顯示出來的特點(diǎn)，我們可以通過求出A,ω,B的值，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題來解決．

（1）由數(shù)據(jù)表和曲線知A=3,B=10，周期T=12，

y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數(shù)模型，它在物理學(xué)、工程技術(shù)與實(shí)際生活中有著十分廣泛的應(yīng)用，掌握好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)知識(shí)，不僅可以深化對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解，而且可以為將來的繼續(xù)學(xué)習(xí)或從事科學(xué)研究與生產(chǎn)實(shí)踐奠定基礎(chǔ)．那么，怎樣才能學(xué)好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的內(nèi)容呢？我們可以從函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象入手，在掌握作圖、學(xué)會(huì)識(shí)圖和體驗(yàn)用圖的過程中加深對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)和理解．

一、 掌握作圖

作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法，一是“五點(diǎn)法”，二是“變換法”．

“五點(diǎn)法”是作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實(shí)用方法．用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，一定周期、二定起點(diǎn)、三按周期規(guī)律均勻分布其余四點(diǎn)．

“變換法”在實(shí)際作圖時(shí)并不太方便，但它能幫助我們認(rèn)清函

數(shù)y=Asin(ωx+φ)與正弦函數(shù)y=sinx之間的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)用很廣泛．常用的變換規(guī)律是：

y=sinx

沿x軸向左平移φ(φ>0)個(gè)單位或向右平移|φ|(φ<0)個(gè)單位（相位變換）y=sin(x+φ)

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω（周期變換）

y=sin(ωx+φ)

橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（振幅變換）

y=Asin(ωx+φ)

例1試用五點(diǎn)法作出函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象，并說出這個(gè)函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

解析列表描點(diǎn)得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象（如圖1所示）.

2x-π30π2π32π2π

xπ6512π

23π

1112π76π

y020-20

y=cosx，即y=sin(x+π2)．將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象；將所得圖象上的各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象；再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩叮M坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=2sin(2x-π3)的圖象．

二、 學(xué)會(huì)識(shí)圖

這里的識(shí)圖是指由給出的圖象，能寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，從而進(jìn)一步地，能夠認(rèn)識(shí)和研究這個(gè)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．

由所給圖象寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式，關(guān)鍵是確定A、ω和φ的值．方法較為靈活．A通常由最大值和最小值確定，ω由周期確定：ω=2πT，而φ=-ωx0（這里的x0是指用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)的起點(diǎn)的橫坐標(biāo)）．另一種常用的方法則是將圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，借助待定系數(shù)法求解．

例2已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示，試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調(diào)區(qū)間．

解析由圖象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=

2π16=π8．

又圖象起點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=-2，

所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．

其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增區(qū)間為［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得減區(qū)間為［16k+2,16k+10］(k∈Z)．

三、體驗(yàn)用圖

“用圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，可以使我們的思維品質(zhì)和解題能力得到有效的鍛煉與提高．

例3某港口的水深y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位：小時(shí)）的函數(shù).下面是該港口的水深數(shù)據(jù)表.經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖3所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖象．

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)

y=Asinωt+B的表達(dá)式；

(2)一般情況下，船舶行時(shí)船底同海底

的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船

的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，

那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該

船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間（忽略離港所需的時(shí)間）？

解析應(yīng)根據(jù)圖象上顯示出來的特點(diǎn)，我們可以通過求出A,ω,B的值，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題來解決．

（1）由數(shù)據(jù)表和曲線知A=3,B=10，周期T=12，