正切函數(shù)在高中物理解題中的應(yīng)用

王良彬

高中物理新課標(biāo)中“應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力”是高中物理教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考物理能力考查的重點(diǎn).數(shù)學(xué)中的正切函數(shù)反映了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，在高中物理中，有關(guān)物理量之間的關(guān)系往往構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用正切函數(shù)可使相關(guān)物理問(wèn)題迎刃而解.本文通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明正切函數(shù)在高中物理解題中的重要地位以及巧妙應(yīng)用.

一、正切函數(shù)在物體平衡問(wèn)題中的應(yīng)用

例1一塊長(zhǎng)木板傾斜放置，與水平面間的傾角為θ.當(dāng)一個(gè)質(zhì)量為m的木塊沿著長(zhǎng)木板勻速下滑時(shí)，試求：木塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ多大？

分析與解木塊沿著長(zhǎng)木板勻速下滑時(shí)受力如圖1所示，且三力的合力為零，則有

N=mgcosθ，f=μN(yùn)=mgsinθ.

因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)物體沿斜面下滑時(shí)，比較μ和tanθ的大小關(guān)系就可以判別物體運(yùn)動(dòng)情況.例如：假設(shè)斜面的傾角θ＝37°，當(dāng)μ=tan37°=0.75時(shí)，物體就沿斜面勻速下滑；當(dāng)μ=0.5tan37°=0.75時(shí)，物體就沿斜面向下勻減速下滑直至停止.另外，我們也可以利用上述現(xiàn)象來(lái)測(cè)定兩物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)：只要通過(guò)調(diào)節(jié)斜面的傾角θ，恰好做到使物體沿斜面勻速下滑，測(cè)出其傾角θ，即得到動(dòng)摩擦因數(shù)為：μ=tanθ.我們把此時(shí)斜面的傾角θ又稱之為“摩擦角”.

二、正切函數(shù)在臨界問(wèn)題中的應(yīng)用

例2有一質(zhì)量為m的物體靜止放在水平地面上，物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.現(xiàn)用一個(gè)與豎直方向成θ角的推力F去推物體，如圖2所示.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.試討論當(dāng)θ角滿足什么條件時(shí)，無(wú)論用多大的推力F都不能推動(dòng)物體？

分析與解物體受力如圖3所示，要推不動(dòng)物體，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN(yùn)=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.

無(wú)論推力F多大，要使此式成立，必須有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.

點(diǎn)評(píng)由此可見(jiàn)，無(wú)論推力F多大，要使物體都處在靜止?fàn)顟B(tài)，即物體不會(huì)被推動(dòng)，也就是發(fā)生“自鎖”現(xiàn)象.因此發(fā)生“自鎖”現(xiàn)象的條件是：推力與豎直方向的夾角滿足tanθ≤μ.

三、正切函數(shù)在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

例3如圖4，一個(gè)質(zhì)量為m的小球用細(xì)線懸掛于車廂頂板上，當(dāng)車廂以加速度a向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，則細(xì)線偏離豎直方向的角度θ為多大？

分析小球受力如圖5所示，由牛頓第二定律得mgtanθ=ma,則tanθ=ag.

四、正切函數(shù)在平拋運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

例4一個(gè)質(zhì)量為m的小球以水平初速度v0拋出，不計(jì)空氣阻力，最后垂直撞在傾角為θ的斜面上，求小球在空中飛行的時(shí)間為多少？

分析小球做平拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向與斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和豎直速度vy組成，則有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飛行的時(shí)間為t=v0tanθg.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，首先想到將運(yùn)動(dòng)分解到水平方向和豎直方向來(lái)研究.而最后小球垂直撞在斜面上，則表明了運(yùn)動(dòng)的速度方向與斜面垂直，由圖可以發(fā)現(xiàn)其三角形中的兩個(gè)分速度與角θ的關(guān)系，利用正切函數(shù)得解.

五、正切函數(shù)在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的應(yīng)用

例5兩塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)的金屬板水平、平行相對(duì)放置，相距為d，如圖7所示，兩金屬板與一個(gè)電源相連，使兩板帶上等量異種電荷，在板間形成一個(gè)沿豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E.有一帶電量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，以水平速度v0從左側(cè)垂直電場(chǎng)方向射入兩板之間，不計(jì)帶電粒子的重力，試求

（1）帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離為多大？（2）帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為多大？

分析與解帶電粒子在電場(chǎng)中只受到電場(chǎng)力作用，因而做類平拋運(yùn)動(dòng)，故將運(yùn)動(dòng)分解到：沿垂直于電場(chǎng)方向做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v0.

沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a=Fm=qEm.

所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.

帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離為y=qEL22mv20.

帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為tanθ=vyvx=qELmv20.

點(diǎn)評(píng)帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，其分析、處理問(wèn)題的方法與平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法相似，都采用運(yùn)動(dòng)的分解方法.帶電粒子在電場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，對(duì)于所發(fā)生偏轉(zhuǎn)距離以及偏轉(zhuǎn)角的問(wèn)題，經(jīng)常涉及到正切函數(shù).并且由上述兩個(gè)結(jié)論我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離與偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系有y=L2tanθ，即：帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線與初速度的交點(diǎn)位于板長(zhǎng)的中點(diǎn).對(duì)于一些特殊的結(jié)論，我們?nèi)绻苁炀毜卣莆詹⒓右赃m當(dāng)?shù)乩?，?duì)我們解決有關(guān)物理問(wèn)題，提高解題的速度，增強(qiáng)解題能力會(huì)大有幫助.

六、正切函數(shù)在圖象問(wèn)題中的應(yīng)用

物理圖象具有形象、直觀、簡(jiǎn)潔明了的特點(diǎn)，它能形象直觀地展示出物理情景以及各物理量間的函數(shù)關(guān)系.應(yīng)用物理圖象來(lái)解題可以起到簡(jiǎn)便快捷，使較為復(fù)雜的問(wèn)題變得形象易懂.通過(guò)理解、分析圖像能幫助我們弄清具體的物理過(guò)程，構(gòu)建物理情景，探尋物理量之間的函數(shù)關(guān)系，達(dá)到數(shù)與形相結(jié)合.物理圖象不僅是分析、計(jì)算的工具，而且對(duì)于物理概念和規(guī)律的形成以及運(yùn)用物理知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.同時(shí)，圖像問(wèn)題也是當(dāng)前高考熱點(diǎn)和重點(diǎn).在許多情況下，由于物理量間是線性函數(shù)關(guān)系，其物理圖象往往可用一條直線來(lái)表示，解題時(shí)經(jīng)常涉及到直線傾角的正切函數(shù)（即直線的斜率）.

例如，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)我們會(huì)用到位移-時(shí)間的圖象（x-t圖象）如圖8所示，反映物體的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系，其斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，用到速度－時(shí)間的圖象（v-t圖象）如圖9所示，反映物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，則斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.

再如,一導(dǎo)體的電流與電壓的關(guān)系如圖10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示導(dǎo)體的電阻R.閉合電路的路端電壓與電流關(guān)系如圖11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，則表示電源的內(nèi)電阻r.

通過(guò)上述例子的分析表明正切函數(shù)在高中物理解題中有著廣泛應(yīng)用.我們?cè)诮鉀Q實(shí)際物理問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)作圖，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理規(guī)律等基礎(chǔ)知識(shí)外，還需要具有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)技巧，做到“數(shù)形結(jié)合”、“數(shù)理結(jié)合”，以拓展解題的思路，不斷提高自己靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力.

高中物理新課標(biāo)中“應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力”是高中物理教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考物理能力考查的重點(diǎn).數(shù)學(xué)中的正切函數(shù)反映了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，在高中物理中，有關(guān)物理量之間的關(guān)系往往構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用正切函數(shù)可使相關(guān)物理問(wèn)題迎刃而解.本文通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明正切函數(shù)在高中物理解題中的重要地位以及巧妙應(yīng)用.

一、正切函數(shù)在物體平衡問(wèn)題中的應(yīng)用

例1一塊長(zhǎng)木板傾斜放置，與水平面間的傾角為θ.當(dāng)一個(gè)質(zhì)量為m的木塊沿著長(zhǎng)木板勻速下滑時(shí)，試求：木塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ多大？

分析與解木塊沿著長(zhǎng)木板勻速下滑時(shí)受力如圖1所示，且三力的合力為零，則有

N=mgcosθ，f=μN(yùn)=mgsinθ.

因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)物體沿斜面下滑時(shí)，比較μ和tanθ的大小關(guān)系就可以判別物體運(yùn)動(dòng)情況.例如：假設(shè)斜面的傾角θ＝37°，當(dāng)μ=tan37°=0.75時(shí)，物體就沿斜面勻速下滑；當(dāng)μ=0.5tan37°=0.75時(shí)，物體就沿斜面向下勻減速下滑直至停止.另外，我們也可以利用上述現(xiàn)象來(lái)測(cè)定兩物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)：只要通過(guò)調(diào)節(jié)斜面的傾角θ，恰好做到使物體沿斜面勻速下滑，測(cè)出其傾角θ，即得到動(dòng)摩擦因數(shù)為：μ=tanθ.我們把此時(shí)斜面的傾角θ又稱之為“摩擦角”.

二、正切函數(shù)在臨界問(wèn)題中的應(yīng)用

例2有一質(zhì)量為m的物體靜止放在水平地面上，物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.現(xiàn)用一個(gè)與豎直方向成θ角的推力F去推物體，如圖2所示.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.試討論當(dāng)θ角滿足什么條件時(shí)，無(wú)論用多大的推力F都不能推動(dòng)物體？

分析與解物體受力如圖3所示，要推不動(dòng)物體，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN(yùn)=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.

無(wú)論推力F多大，要使此式成立，必須有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.

點(diǎn)評(píng)由此可見(jiàn)，無(wú)論推力F多大，要使物體都處在靜止?fàn)顟B(tài)，即物體不會(huì)被推動(dòng)，也就是發(fā)生“自鎖”現(xiàn)象.因此發(fā)生“自鎖”現(xiàn)象的條件是：推力與豎直方向的夾角滿足tanθ≤μ.

三、正切函數(shù)在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

例3如圖4，一個(gè)質(zhì)量為m的小球用細(xì)線懸掛于車廂頂板上，當(dāng)車廂以加速度a向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，則細(xì)線偏離豎直方向的角度θ為多大？

分析小球受力如圖5所示，由牛頓第二定律得mgtanθ=ma,則tanθ=ag.

四、正切函數(shù)在平拋運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

例4一個(gè)質(zhì)量為m的小球以水平初速度v0拋出，不計(jì)空氣阻力，最后垂直撞在傾角為θ的斜面上，求小球在空中飛行的時(shí)間為多少？

分析小球做平拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向與斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和豎直速度vy組成，則有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飛行的時(shí)間為t=v0tanθg.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，首先想到將運(yùn)動(dòng)分解到水平方向和豎直方向來(lái)研究.而最后小球垂直撞在斜面上，則表明了運(yùn)動(dòng)的速度方向與斜面垂直，由圖可以發(fā)現(xiàn)其三角形中的兩個(gè)分速度與角θ的關(guān)系，利用正切函數(shù)得解.

五、正切函數(shù)在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的應(yīng)用

例5兩塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)的金屬板水平、平行相對(duì)放置，相距為d，如圖7所示，兩金屬板與一個(gè)電源相連，使兩板帶上等量異種電荷，在板間形成一個(gè)沿豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E.有一帶電量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，以水平速度v0從左側(cè)垂直電場(chǎng)方向射入兩板之間，不計(jì)帶電粒子的重力，試求

（1）帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離為多大？（2）帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為多大？

分析與解帶電粒子在電場(chǎng)中只受到電場(chǎng)力作用，因而做類平拋運(yùn)動(dòng)，故將運(yùn)動(dòng)分解到：沿垂直于電場(chǎng)方向做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v0.

沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a=Fm=qEm.

所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.

帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離為y=qEL22mv20.

帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為tanθ=vyvx=qELmv20.

點(diǎn)評(píng)帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，其分析、處理問(wèn)題的方法與平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法相似，都采用運(yùn)動(dòng)的分解方法.帶電粒子在電場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，對(duì)于所發(fā)生偏轉(zhuǎn)距離以及偏轉(zhuǎn)角的問(wèn)題，經(jīng)常涉及到正切函數(shù).并且由上述兩個(gè)結(jié)論我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離與偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系有y=L2tanθ，即：帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線與初速度的交點(diǎn)位于板長(zhǎng)的中點(diǎn).對(duì)于一些特殊的結(jié)論，我們?nèi)绻苁炀毜卣莆詹⒓右赃m當(dāng)?shù)乩?，?duì)我們解決有關(guān)物理問(wèn)題，提高解題的速度，增強(qiáng)解題能力會(huì)大有幫助.

六、正切函數(shù)在圖象問(wèn)題中的應(yīng)用

物理圖象具有形象、直觀、簡(jiǎn)潔明了的特點(diǎn)，它能形象直觀地展示出物理情景以及各物理量間的函數(shù)關(guān)系.應(yīng)用物理圖象來(lái)解題可以起到簡(jiǎn)便快捷，使較為復(fù)雜的問(wèn)題變得形象易懂.通過(guò)理解、分析圖像能幫助我們弄清具體的物理過(guò)程，構(gòu)建物理情景，探尋物理量之間的函數(shù)關(guān)系，達(dá)到數(shù)與形相結(jié)合.物理圖象不僅是分析、計(jì)算的工具，而且對(duì)于物理概念和規(guī)律的形成以及運(yùn)用物理知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.同時(shí)，圖像問(wèn)題也是當(dāng)前高考熱點(diǎn)和重點(diǎn).在許多情況下，由于物理量間是線性函數(shù)關(guān)系，其物理圖象往往可用一條直線來(lái)表示，解題時(shí)經(jīng)常涉及到直線傾角的正切函數(shù)（即直線的斜率）.

例如，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)我們會(huì)用到位移-時(shí)間的圖象（x-t圖象）如圖8所示，反映物體的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系，其斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，用到速度－時(shí)間的圖象（v-t圖象）如圖9所示，反映物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，則斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.

再如,一導(dǎo)體的電流與電壓的關(guān)系如圖10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示導(dǎo)體的電阻R.閉合電路的路端電壓與電流關(guān)系如圖11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，則表示電源的內(nèi)電阻r.

通過(guò)上述例子的分析表明正切函數(shù)在高中物理解題中有著廣泛應(yīng)用.我們?cè)诮鉀Q實(shí)際物理問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)作圖，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理規(guī)律等基礎(chǔ)知識(shí)外，還需要具有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)技巧，做到“數(shù)形結(jié)合”、“數(shù)理結(jié)合”，以拓展解題的思路，不斷提高自己靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力.

高中物理新課標(biāo)中“應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力”是高中物理教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考物理能力考查的重點(diǎn).數(shù)學(xué)中的正切函數(shù)反映了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，在高中物理中，有關(guān)物理量之間的關(guān)系往往構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用正切函數(shù)可使相關(guān)物理問(wèn)題迎刃而解.本文通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明正切函數(shù)在高中物理解題中的重要地位以及巧妙應(yīng)用.

一、正切函數(shù)在物體平衡問(wèn)題中的應(yīng)用

例1一塊長(zhǎng)木板傾斜放置，與水平面間的傾角為θ.當(dāng)一個(gè)質(zhì)量為m的木塊沿著長(zhǎng)木板勻速下滑時(shí)，試求：木塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ多大？

分析與解木塊沿著長(zhǎng)木板勻速下滑時(shí)受力如圖1所示，且三力的合力為零，則有

N=mgcosθ，f=μN(yùn)=mgsinθ.

因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)物體沿斜面下滑時(shí)，比較μ和tanθ的大小關(guān)系就可以判別物體運(yùn)動(dòng)情況.例如：假設(shè)斜面的傾角θ＝37°，當(dāng)μ=tan37°=0.75時(shí)，物體就沿斜面勻速下滑；當(dāng)μ=0.5tan37°=0.75時(shí)，物體就沿斜面向下勻減速下滑直至停止.另外，我們也可以利用上述現(xiàn)象來(lái)測(cè)定兩物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)：只要通過(guò)調(diào)節(jié)斜面的傾角θ，恰好做到使物體沿斜面勻速下滑，測(cè)出其傾角θ，即得到動(dòng)摩擦因數(shù)為：μ=tanθ.我們把此時(shí)斜面的傾角θ又稱之為“摩擦角”.

二、正切函數(shù)在臨界問(wèn)題中的應(yīng)用

例2有一質(zhì)量為m的物體靜止放在水平地面上，物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.現(xiàn)用一個(gè)與豎直方向成θ角的推力F去推物體，如圖2所示.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.試討論當(dāng)θ角滿足什么條件時(shí)，無(wú)論用多大的推力F都不能推動(dòng)物體？

分析與解物體受力如圖3所示，要推不動(dòng)物體，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN(yùn)=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.

無(wú)論推力F多大，要使此式成立，必須有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.

點(diǎn)評(píng)由此可見(jiàn)，無(wú)論推力F多大，要使物體都處在靜止?fàn)顟B(tài)，即物體不會(huì)被推動(dòng)，也就是發(fā)生“自鎖”現(xiàn)象.因此發(fā)生“自鎖”現(xiàn)象的條件是：推力與豎直方向的夾角滿足tanθ≤μ.

三、正切函數(shù)在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

例3如圖4，一個(gè)質(zhì)量為m的小球用細(xì)線懸掛于車廂頂板上，當(dāng)車廂以加速度a向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，則細(xì)線偏離豎直方向的角度θ為多大？

分析小球受力如圖5所示，由牛頓第二定律得mgtanθ=ma,則tanθ=ag.

四、正切函數(shù)在平拋運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

例4一個(gè)質(zhì)量為m的小球以水平初速度v0拋出，不計(jì)空氣阻力，最后垂直撞在傾角為θ的斜面上，求小球在空中飛行的時(shí)間為多少？

分析小球做平拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向與斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和豎直速度vy組成，則有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飛行的時(shí)間為t=v0tanθg.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，首先想到將運(yùn)動(dòng)分解到水平方向和豎直方向來(lái)研究.而最后小球垂直撞在斜面上，則表明了運(yùn)動(dòng)的速度方向與斜面垂直，由圖可以發(fā)現(xiàn)其三角形中的兩個(gè)分速度與角θ的關(guān)系，利用正切函數(shù)得解.

五、正切函數(shù)在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的應(yīng)用

例5兩塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)的金屬板水平、平行相對(duì)放置，相距為d，如圖7所示，兩金屬板與一個(gè)電源相連，使兩板帶上等量異種電荷，在板間形成一個(gè)沿豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E.有一帶電量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，以水平速度v0從左側(cè)垂直電場(chǎng)方向射入兩板之間，不計(jì)帶電粒子的重力，試求

（1）帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離為多大？（2）帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為多大？

分析與解帶電粒子在電場(chǎng)中只受到電場(chǎng)力作用，因而做類平拋運(yùn)動(dòng)，故將運(yùn)動(dòng)分解到：沿垂直于電場(chǎng)方向做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v0.

沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a=Fm=qEm.

所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.

帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離為y=qEL22mv20.

帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為tanθ=vyvx=qELmv20.

點(diǎn)評(píng)帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，其分析、處理問(wèn)題的方法與平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法相似，都采用運(yùn)動(dòng)的分解方法.帶電粒子在電場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，對(duì)于所發(fā)生偏轉(zhuǎn)距離以及偏轉(zhuǎn)角的問(wèn)題，經(jīng)常涉及到正切函數(shù).并且由上述兩個(gè)結(jié)論我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離與偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系有y=L2tanθ，即：帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線與初速度的交點(diǎn)位于板長(zhǎng)的中點(diǎn).對(duì)于一些特殊的結(jié)論，我們?nèi)绻苁炀毜卣莆詹⒓右赃m當(dāng)?shù)乩?，?duì)我們解決有關(guān)物理問(wèn)題，提高解題的速度，增強(qiáng)解題能力會(huì)大有幫助.

六、正切函數(shù)在圖象問(wèn)題中的應(yīng)用

物理圖象具有形象、直觀、簡(jiǎn)潔明了的特點(diǎn)，它能形象直觀地展示出物理情景以及各物理量間的函數(shù)關(guān)系.應(yīng)用物理圖象來(lái)解題可以起到簡(jiǎn)便快捷，使較為復(fù)雜的問(wèn)題變得形象易懂.通過(guò)理解、分析圖像能幫助我們弄清具體的物理過(guò)程，構(gòu)建物理情景，探尋物理量之間的函數(shù)關(guān)系，達(dá)到數(shù)與形相結(jié)合.物理圖象不僅是分析、計(jì)算的工具，而且對(duì)于物理概念和規(guī)律的形成以及運(yùn)用物理知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.同時(shí)，圖像問(wèn)題也是當(dāng)前高考熱點(diǎn)和重點(diǎn).在許多情況下，由于物理量間是線性函數(shù)關(guān)系，其物理圖象往往可用一條直線來(lái)表示，解題時(shí)經(jīng)常涉及到直線傾角的正切函數(shù)（即直線的斜率）.

例如，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)我們會(huì)用到位移-時(shí)間的圖象（x-t圖象）如圖8所示，反映物體的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系，其斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，用到速度－時(shí)間的圖象（v-t圖象）如圖9所示，反映物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，則斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.

再如,一導(dǎo)體的電流與電壓的關(guān)系如圖10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示導(dǎo)體的電阻R.閉合電路的路端電壓與電流關(guān)系如圖11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，則表示電源的內(nèi)電阻r.

通過(guò)上述例子的分析表明正切函數(shù)在高中物理解題中有著廣泛應(yīng)用.我們?cè)诮鉀Q實(shí)際物理問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)作圖，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理規(guī)律等基礎(chǔ)知識(shí)外，還需要具有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)技巧，做到“數(shù)形結(jié)合”、“數(shù)理結(jié)合”，以拓展解題的思路，不斷提高自己靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力.