在幾何光學(xué)中感受感性與理性的統(tǒng)一

馬國偉

筆者想通過這一課使學(xué)生認識到物理學(xué)習(xí)中也需要感性圖形的輔助

【新課引入】人類對事物的認知一般都是從感性到理性，從具體到抽象，今天我們體驗幾何光學(xué)中的感性與理性

【進入新課】

一、由感性到理性表述幾何光學(xué)概念規(guī)律

（1）感性圖形的表述

曾經(jīng)有位同學(xué)問過這樣一個問題：光線發(fā)生全發(fā)射為什么一定要從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)才會發(fā)生呢？

在光線由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)時折射角小于入射角，在光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時折射角大于入射角.所以光線由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)一定有折射光線，但光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時，如果入射角達到一定大小，折射角會達到或超過90°，此時發(fā)生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介質(zhì)折射率等于真空中的（或空氣中的）除以介質(zhì)中的

;③全反射時 sinC=1n.

二、由感性到理性解決幾何光學(xué)問題

例1（2011年蘇錫常鎮(zhèn)一模）一組平行的細激光束，垂直于半圓柱玻璃的平面射到放于真空中的半圓柱玻璃上，如圖3所示．已知光線I沿直線穿過玻璃，它的入射點是O，光線Ⅱ的入射點為A，穿過玻璃后兩條光線交于一點．已知玻璃截面的圓半徑為R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速為c．求：

①兩條光線射出玻璃后的交點與O點的距離；

②光線Ⅱ從A點入射到與光線I相交所用的時間．

解析①作出光路圖如圖4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由幾何關(guān)系可得OB=BP，所以O(shè)P=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,帶入可得 t=5R2c.

備注本題第一問的難點為規(guī)范作圖中的法線為半徑，如這一關(guān)突破則是第二關(guān)幾何關(guān)系中△OBP底腳為30°的等腰三角形.可能會有不少學(xué)生解決不了.第二問的難度則在于求時間時學(xué)生很可能會忘記光線在介質(zhì)中的速度不是c.所以本題學(xué)生的正誤不容樂觀.

從例題中我們可以看到，要解決幾何光學(xué)問題需要3步:

（1）根據(jù)題意作出光路圖——感性的圖形;

（2）根據(jù)題意，利用光路圖尋找?guī)缀侮P(guān)系——理性的抽象;

（3）根據(jù)對問題的分析寫表達式，并根據(jù)必要的推理寫表達式求解——問題的解決.

例2（2013年江蘇高考）圖5為單反照相機取景器的示意圖, ABCDE五棱鏡的一個截面AB⊥BC. 光線垂直AB 射入,分別在CD和EA上發(fā)生反射,且兩次反射的入射角相等,最后光線垂直BC射出.若兩次反射都為全反射,則該五棱鏡折射率的最小值是多少?(計算結(jié)果可用三角函數(shù)表示)

解析作出光路圖如右圖所示.設(shè)光線到達CD邊的入射角為i，因在CD邊和AE邊反射，且兩次反射角相等.由幾何關(guān)系可得4i=90°,所以i=22.5°，根據(jù)sinC=1n，所以折射率的最小值為nmin=1sin22.5°.

備注本題的重點在于光路的規(guī)范作圖①法線用虛線作圖.②光線實線箭頭標示.本題最大的難點在于學(xué)生作圖時需要將五棱鏡中的入射光線和出射光線先行畫好.

例3（2010年重慶高考）如圖7所示，空氣中有一折射率為2的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90°、半徑為R的扇形OAB.一束平行光平行于橫截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考慮首次入射到圓弧AB上的光，則圓弧AB上有光透出部分的弧長為().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假設(shè)從E點入射的光線經(jīng)折射到達D點為光線發(fā)生全反射的臨界點，此時有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射區(qū)域圓心角α=45°.

所以圓弧長為B.

本題有一個難點一個易錯點，難點為學(xué)生能不能找到臨界條件，易錯點為從O點入射的光線為圓弧出射光線的最低點.

從感性到理性，從具體到抽象，這是人類認識世界的過程，也是研究物理問題的過程.幾何光學(xué)很好的詮釋了這一過程，其他的部分也在做著詮釋，比如動力學(xué)問題作出受力分析圖和運動過程圖，電路問題的電路圖，電磁學(xué)中的電場線和磁感線等.請同學(xué)們在以后的物理學(xué)習(xí)中要勤于作圖將抽象復(fù)雜的物理問題轉(zhuǎn)化為具體感性的圖形分析，以達到解決物理問題的目的.

筆者想通過這一課使學(xué)生認識到物理學(xué)習(xí)中也需要感性圖形的輔助

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一、由感性到理性表述幾何光學(xué)概念規(guī)律

（1）感性圖形的表述

曾經(jīng)有位同學(xué)問過這樣一個問題：光線發(fā)生全發(fā)射為什么一定要從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)才會發(fā)生呢？

在光線由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)時折射角小于入射角，在光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時折射角大于入射角.所以光線由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)一定有折射光線，但光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時，如果入射角達到一定大小，折射角會達到或超過90°，此時發(fā)生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介質(zhì)折射率等于真空中的（或空氣中的）除以介質(zhì)中的

;③全反射時 sinC=1n.

二、由感性到理性解決幾何光學(xué)問題

例1（2011年蘇錫常鎮(zhèn)一模）一組平行的細激光束，垂直于半圓柱玻璃的平面射到放于真空中的半圓柱玻璃上，如圖3所示．已知光線I沿直線穿過玻璃，它的入射點是O，光線Ⅱ的入射點為A，穿過玻璃后兩條光線交于一點．已知玻璃截面的圓半徑為R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速為c．求：

①兩條光線射出玻璃后的交點與O點的距離；

②光線Ⅱ從A點入射到與光線I相交所用的時間．

解析①作出光路圖如圖4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由幾何關(guān)系可得OB=BP，所以O(shè)P=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,帶入可得 t=5R2c.

備注本題第一問的難點為規(guī)范作圖中的法線為半徑，如這一關(guān)突破則是第二關(guān)幾何關(guān)系中△OBP底腳為30°的等腰三角形.可能會有不少學(xué)生解決不了.第二問的難度則在于求時間時學(xué)生很可能會忘記光線在介質(zhì)中的速度不是c.所以本題學(xué)生的正誤不容樂觀.

從例題中我們可以看到，要解決幾何光學(xué)問題需要3步:

（1）根據(jù)題意作出光路圖——感性的圖形;

（2）根據(jù)題意，利用光路圖尋找?guī)缀侮P(guān)系——理性的抽象;

（3）根據(jù)對問題的分析寫表達式，并根據(jù)必要的推理寫表達式求解——問題的解決.

例2（2013年江蘇高考）圖5為單反照相機取景器的示意圖, ABCDE五棱鏡的一個截面AB⊥BC. 光線垂直AB 射入,分別在CD和EA上發(fā)生反射,且兩次反射的入射角相等,最后光線垂直BC射出.若兩次反射都為全反射,則該五棱鏡折射率的最小值是多少?(計算結(jié)果可用三角函數(shù)表示)

解析作出光路圖如右圖所示.設(shè)光線到達CD邊的入射角為i，因在CD邊和AE邊反射，且兩次反射角相等.由幾何關(guān)系可得4i=90°,所以i=22.5°，根據(jù)sinC=1n，所以折射率的最小值為nmin=1sin22.5°.

備注本題的重點在于光路的規(guī)范作圖①法線用虛線作圖.②光線實線箭頭標示.本題最大的難點在于學(xué)生作圖時需要將五棱鏡中的入射光線和出射光線先行畫好.

例3（2010年重慶高考）如圖7所示，空氣中有一折射率為2的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90°、半徑為R的扇形OAB.一束平行光平行于橫截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考慮首次入射到圓弧AB上的光，則圓弧AB上有光透出部分的弧長為().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假設(shè)從E點入射的光線經(jīng)折射到達D點為光線發(fā)生全反射的臨界點，此時有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射區(qū)域圓心角α=45°.

所以圓弧長為B.

本題有一個難點一個易錯點，難點為學(xué)生能不能找到臨界條件，易錯點為從O點入射的光線為圓弧出射光線的最低點.

從感性到理性，從具體到抽象，這是人類認識世界的過程，也是研究物理問題的過程.幾何光學(xué)很好的詮釋了這一過程，其他的部分也在做著詮釋，比如動力學(xué)問題作出受力分析圖和運動過程圖，電路問題的電路圖，電磁學(xué)中的電場線和磁感線等.請同學(xué)們在以后的物理學(xué)習(xí)中要勤于作圖將抽象復(fù)雜的物理問題轉(zhuǎn)化為具體感性的圖形分析，以達到解決物理問題的目的.

筆者想通過這一課使學(xué)生認識到物理學(xué)習(xí)中也需要感性圖形的輔助

【新課引入】人類對事物的認知一般都是從感性到理性，從具體到抽象，今天我們體驗幾何光學(xué)中的感性與理性

【進入新課】

一、由感性到理性表述幾何光學(xué)概念規(guī)律

（1）感性圖形的表述

曾經(jīng)有位同學(xué)問過這樣一個問題：光線發(fā)生全發(fā)射為什么一定要從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)才會發(fā)生呢？

在光線由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)時折射角小于入射角，在光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時折射角大于入射角.所以光線由光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)一定有折射光線，但光線由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時，如果入射角達到一定大小，折射角會達到或超過90°，此時發(fā)生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介質(zhì)折射率等于真空中的（或空氣中的）除以介質(zhì)中的

;③全反射時 sinC=1n.

二、由感性到理性解決幾何光學(xué)問題

例1（2011年蘇錫常鎮(zhèn)一模）一組平行的細激光束，垂直于半圓柱玻璃的平面射到放于真空中的半圓柱玻璃上，如圖3所示．已知光線I沿直線穿過玻璃，它的入射點是O，光線Ⅱ的入射點為A，穿過玻璃后兩條光線交于一點．已知玻璃截面的圓半徑為R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速為c．求：

①兩條光線射出玻璃后的交點與O點的距離；

②光線Ⅱ從A點入射到與光線I相交所用的時間．

解析①作出光路圖如圖4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由幾何關(guān)系可得OB=BP，所以O(shè)P=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,帶入可得 t=5R2c.

備注本題第一問的難點為規(guī)范作圖中的法線為半徑，如這一關(guān)突破則是第二關(guān)幾何關(guān)系中△OBP底腳為30°的等腰三角形.可能會有不少學(xué)生解決不了.第二問的難度則在于求時間時學(xué)生很可能會忘記光線在介質(zhì)中的速度不是c.所以本題學(xué)生的正誤不容樂觀.

從例題中我們可以看到，要解決幾何光學(xué)問題需要3步:

（1）根據(jù)題意作出光路圖——感性的圖形;

（2）根據(jù)題意，利用光路圖尋找?guī)缀侮P(guān)系——理性的抽象;

（3）根據(jù)對問題的分析寫表達式，并根據(jù)必要的推理寫表達式求解——問題的解決.

例2（2013年江蘇高考）圖5為單反照相機取景器的示意圖, ABCDE五棱鏡的一個截面AB⊥BC. 光線垂直AB 射入,分別在CD和EA上發(fā)生反射,且兩次反射的入射角相等,最后光線垂直BC射出.若兩次反射都為全反射,則該五棱鏡折射率的最小值是多少?(計算結(jié)果可用三角函數(shù)表示)

解析作出光路圖如右圖所示.設(shè)光線到達CD邊的入射角為i，因在CD邊和AE邊反射，且兩次反射角相等.由幾何關(guān)系可得4i=90°,所以i=22.5°，根據(jù)sinC=1n，所以折射率的最小值為nmin=1sin22.5°.

備注本題的重點在于光路的規(guī)范作圖①法線用虛線作圖.②光線實線箭頭標示.本題最大的難點在于學(xué)生作圖時需要將五棱鏡中的入射光線和出射光線先行畫好.

例3（2010年重慶高考）如圖7所示，空氣中有一折射率為2的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90°、半徑為R的扇形OAB.一束平行光平行于橫截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考慮首次入射到圓弧AB上的光，則圓弧AB上有光透出部分的弧長為().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假設(shè)從E點入射的光線經(jīng)折射到達D點為光線發(fā)生全反射的臨界點，此時有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射區(qū)域圓心角α=45°.

所以圓弧長為B.

本題有一個難點一個易錯點，難點為學(xué)生能不能找到臨界條件，易錯點為從O點入射的光線為圓弧出射光線的最低點.

從感性到理性，從具體到抽象，這是人類認識世界的過程，也是研究物理問題的過程.幾何光學(xué)很好的詮釋了這一過程，其他的部分也在做著詮釋，比如動力學(xué)問題作出受力分析圖和運動過程圖，電路問題的電路圖，電磁學(xué)中的電場線和磁感線等.請同學(xué)們在以后的物理學(xué)習(xí)中要勤于作圖將抽象復(fù)雜的物理問題轉(zhuǎn)化為具體感性的圖形分析，以達到解決物理問題的目的.