一道高考題解法的再探究

王佩成+徐雪琴

2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷（理科）第10題為：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊對(duì)該題給出了如下解析和答案：

由題意B1，B2在以O(shè)為圓心的單位圓上，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心半徑為12圓內(nèi).又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上.當(dāng)P與O點(diǎn)重合時(shí)，|OA|最大，為2，當(dāng)P在半徑為12的圓周上時(shí)，|OA|最小，為72，故選D.

這種答案簡(jiǎn)潔.按其思路，筆者對(duì)這種方法進(jìn)行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

圖（1）當(dāng)O與P重合且B1、B2分別是單位圓與x軸、y軸的交點(diǎn)時(shí)，|OA|=2，排除A、B;圖（2）當(dāng)P在O∶x2+y2=14上時(shí)，不妨取直線y=x與O∶x2+y2=14在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，過(guò)

點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，交單位圓于B1、B2兩點(diǎn)，交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，則△PDO為等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，以22為半徑的圓的內(nèi)部（不包括圓周），排除C，故選D.

在考場(chǎng)上，高效靈活的解題方法值得贊賞. 在平時(shí)教學(xué)中， 筆者認(rèn)為更應(yīng)該關(guān)注通性通法，下面介紹兩種解決此類問(wèn)題的一般方法.

解法二（向量法）

因?yàn)锳B1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因?yàn)锳P=AB1+AB2,所以O(shè)P-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

將①式代入上式化簡(jiǎn)得：|OP|=2-OA2，因?yàn)?≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐標(biāo)法)

建系如圖(3).

因?yàn)锳B1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四邊形AB1PB2為矩形， 所以PB1⊥PB2.

設(shè)B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圓O∶x2+y2=14內(nèi)）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化簡(jiǎn)得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

將②式代入上式化簡(jiǎn)得：

|OA|=2-(x2+y2).因?yàn)?/p>

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

簡(jiǎn)評(píng)解法一采用了特殊值法的思想，有風(fēng)險(xiǎn)但求解效率較高; 解法二是運(yùn)用純向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐標(biāo)法，由于A點(diǎn)在動(dòng)，引起其他點(diǎn)動(dòng)，不好確定，筆者采用了先確定P點(diǎn)，從而將運(yùn)動(dòng)的量固定，轉(zhuǎn)化為可以用點(diǎn)的坐標(biāo)去運(yùn)算的量，問(wèn)題迎刃而解.

一堂課結(jié)束以后，還需要有深入的分析和歸納：哪些數(shù)學(xué)概念適合用舊有的知識(shí)引入，哪些概念更適合用實(shí)例引入，教學(xué)中有哪些成功之處，又有哪些需要改進(jìn)的不足？尤其應(yīng)該重視學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生之間的差距.

因?yàn)?，任何理論的?shí)踐都不可能是一帆風(fēng)順的，理論服務(wù)于實(shí)踐，也完善于實(shí)踐，只有不斷的探索，才能夠讓概念課教學(xué)在高中數(shù)學(xué)的課堂上充分發(fā)揮出自己的優(yōu)勢(shì).

綜上所述，對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，概念課教學(xué)從理論走向?qū)嵺`的探索過(guò)程，無(wú)疑具有劃時(shí)代的意義.它能夠從根本上改變“生搬硬套”的學(xué)習(xí)模式，從更為本質(zhì)的角度出發(fā)，變“輕概念、重解題”為“重概念、巧解題”，真正做到以學(xué)生為本、以“漁”為重，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、提高學(xué)習(xí)效率.

2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷（理科）第10題為：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊對(duì)該題給出了如下解析和答案：

由題意B1，B2在以O(shè)為圓心的單位圓上，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心半徑為12圓內(nèi).又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上.當(dāng)P與O點(diǎn)重合時(shí)，|OA|最大，為2，當(dāng)P在半徑為12的圓周上時(shí)，|OA|最小，為72，故選D.

這種答案簡(jiǎn)潔.按其思路，筆者對(duì)這種方法進(jìn)行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

圖（1）當(dāng)O與P重合且B1、B2分別是單位圓與x軸、y軸的交點(diǎn)時(shí)，|OA|=2，排除A、B;圖（2）當(dāng)P在O∶x2+y2=14上時(shí)，不妨取直線y=x與O∶x2+y2=14在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，過(guò)

點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，交單位圓于B1、B2兩點(diǎn)，交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，則△PDO為等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，以22為半徑的圓的內(nèi)部（不包括圓周），排除C，故選D.

在考場(chǎng)上，高效靈活的解題方法值得贊賞. 在平時(shí)教學(xué)中， 筆者認(rèn)為更應(yīng)該關(guān)注通性通法，下面介紹兩種解決此類問(wèn)題的一般方法.

解法二（向量法）

因?yàn)锳B1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因?yàn)锳P=AB1+AB2,所以O(shè)P-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

將①式代入上式化簡(jiǎn)得：|OP|=2-OA2，因?yàn)?≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐標(biāo)法)

建系如圖(3).

因?yàn)锳B1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四邊形AB1PB2為矩形， 所以PB1⊥PB2.

設(shè)B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圓O∶x2+y2=14內(nèi)）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化簡(jiǎn)得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

將②式代入上式化簡(jiǎn)得：

|OA|=2-(x2+y2).因?yàn)?/p>

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

簡(jiǎn)評(píng)解法一采用了特殊值法的思想，有風(fēng)險(xiǎn)但求解效率較高; 解法二是運(yùn)用純向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐標(biāo)法，由于A點(diǎn)在動(dòng)，引起其他點(diǎn)動(dòng)，不好確定，筆者采用了先確定P點(diǎn)，從而將運(yùn)動(dòng)的量固定，轉(zhuǎn)化為可以用點(diǎn)的坐標(biāo)去運(yùn)算的量，問(wèn)題迎刃而解.

一堂課結(jié)束以后，還需要有深入的分析和歸納：哪些數(shù)學(xué)概念適合用舊有的知識(shí)引入，哪些概念更適合用實(shí)例引入，教學(xué)中有哪些成功之處，又有哪些需要改進(jìn)的不足？尤其應(yīng)該重視學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生之間的差距.

因?yàn)?，任何理論的?shí)踐都不可能是一帆風(fēng)順的，理論服務(wù)于實(shí)踐，也完善于實(shí)踐，只有不斷的探索，才能夠讓概念課教學(xué)在高中數(shù)學(xué)的課堂上充分發(fā)揮出自己的優(yōu)勢(shì).

綜上所述，對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，概念課教學(xué)從理論走向?qū)嵺`的探索過(guò)程，無(wú)疑具有劃時(shí)代的意義.它能夠從根本上改變“生搬硬套”的學(xué)習(xí)模式，從更為本質(zhì)的角度出發(fā)，變“輕概念、重解題”為“重概念、巧解題”，真正做到以學(xué)生為本、以“漁”為重，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、提高學(xué)習(xí)效率.

2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷（理科）第10題為：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊對(duì)該題給出了如下解析和答案：

由題意B1，B2在以O(shè)為圓心的單位圓上，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心半徑為12圓內(nèi).又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上.當(dāng)P與O點(diǎn)重合時(shí)，|OA|最大，為2，當(dāng)P在半徑為12的圓周上時(shí)，|OA|最小，為72，故選D.

這種答案簡(jiǎn)潔.按其思路，筆者對(duì)這種方法進(jìn)行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

圖（1）當(dāng)O與P重合且B1、B2分別是單位圓與x軸、y軸的交點(diǎn)時(shí)，|OA|=2，排除A、B;圖（2）當(dāng)P在O∶x2+y2=14上時(shí)，不妨取直線y=x與O∶x2+y2=14在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，過(guò)

點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，交單位圓于B1、B2兩點(diǎn)，交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，則△PDO為等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，以22為半徑的圓的內(nèi)部（不包括圓周），排除C，故選D.

在考場(chǎng)上，高效靈活的解題方法值得贊賞. 在平時(shí)教學(xué)中， 筆者認(rèn)為更應(yīng)該關(guān)注通性通法，下面介紹兩種解決此類問(wèn)題的一般方法.

解法二（向量法）

因?yàn)锳B1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因?yàn)锳P=AB1+AB2,所以O(shè)P-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

將①式代入上式化簡(jiǎn)得：|OP|=2-OA2，因?yàn)?≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐標(biāo)法)

建系如圖(3).

因?yàn)锳B1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四邊形AB1PB2為矩形， 所以PB1⊥PB2.

設(shè)B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圓O∶x2+y2=14內(nèi)）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化簡(jiǎn)得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

將②式代入上式化簡(jiǎn)得：

|OA|=2-(x2+y2).因?yàn)?/p>

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

簡(jiǎn)評(píng)解法一采用了特殊值法的思想，有風(fēng)險(xiǎn)但求解效率較高; 解法二是運(yùn)用純向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐標(biāo)法，由于A點(diǎn)在動(dòng)，引起其他點(diǎn)動(dòng)，不好確定，筆者采用了先確定P點(diǎn)，從而將運(yùn)動(dòng)的量固定，轉(zhuǎn)化為可以用點(diǎn)的坐標(biāo)去運(yùn)算的量，問(wèn)題迎刃而解.

一堂課結(jié)束以后，還需要有深入的分析和歸納：哪些數(shù)學(xué)概念適合用舊有的知識(shí)引入，哪些概念更適合用實(shí)例引入，教學(xué)中有哪些成功之處，又有哪些需要改進(jìn)的不足？尤其應(yīng)該重視學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生之間的差距.

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綜上所述，對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，概念課教學(xué)從理論走向?qū)嵺`的探索過(guò)程，無(wú)疑具有劃時(shí)代的意義.它能夠從根本上改變“生搬硬套”的學(xué)習(xí)模式，從更為本質(zhì)的角度出發(fā)，變“輕概念、重解題”為“重概念、巧解題”，真正做到以學(xué)生為本、以“漁”為重，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、提高學(xué)習(xí)效率.