談橢圓焦半徑的幾何轉(zhuǎn)化

馮剛

我們平時(shí)對(duì)解析幾何的認(rèn)識(shí)是幾何問題代數(shù)化，即用代數(shù)方法解決幾何問題.因此，往往將思路固定在了代數(shù)方法而忽略了其本質(zhì)還是幾何問題.事實(shí)上，解析幾何問題合理的方式是要優(yōu)先運(yùn)用幾何性質(zhì)，然后運(yùn)用代數(shù)技巧.就如老師輔導(dǎo)學(xué)生一樣，因?yàn)閷W(xué)生才是主體，若學(xué)生自身不努力，那老師的輔導(dǎo)是很艱難的.

對(duì)于江蘇高考，解析幾何有其特殊的重要地位，一般是18題，若此題做不好，那分?jǐn)?shù)不但得不高，還會(huì)產(chǎn)生焦慮，影響后兩道難題.而通過筆者的研究，解析幾何問題也是有規(guī)可循的.原因是2002年初中課改，已經(jīng)將韋達(dá)定理排除在課程之外，命題就較為單一.08年、09年高考命題是直線和圓的問題，需要緊扣圓的幾何性質(zhì)解決，而10年、11年、12年又回到了直線和橢圓問題，因此，直線和橢圓問題仍會(huì)是高考解析幾何的命題重點(diǎn).那是不是因?yàn)闄E圓的性質(zhì)少了，就純用代數(shù)方法去解決了呢？

下面筆者就“直線過橢圓焦點(diǎn)”問題來談一談.（附注：直線和橢圓的三類相交問題是指“直線過橢圓焦點(diǎn)”問題、 “直線過橢圓上已知點(diǎn)” 問題、 “直線過橢圓中心” 問題.）

例1（2012年江蘇）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直線AF1的斜率；

(ⅱ)求證:PF1+PF2是定值.

分析1第一小題求橢圓的方程就要求兩個(gè)參數(shù)，而已知條件為兩個(gè)點(diǎn)，利用方程思想即可解決.

解(1)由題設(shè)知,a2=b2+c2,e=ca,由點(diǎn)(1,e)在橢圓上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由點(diǎn)(e,32)在橢圓上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以橢圓的方程為x22+y2=1.

分析2第二小題很多人的想法就是代數(shù)運(yùn)算，設(shè)出直線AF1的方程，根據(jù)平行關(guān)系得出直線BF2的方程，從而聯(lián)立方程解出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出AF1,BF2的長，進(jìn)而解決第二小題，過程計(jì)算非常復(fù)雜，見下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因?yàn)锳F1∥BF2,

所以設(shè)AF1、BF2的方程分別為my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直線AF1的斜率為1m=62.

(ⅱ)證明:因?yàn)锳F1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由點(diǎn)B在橢圓上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函數(shù)式為y=3sinπ6t+10．

（2）由題意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化簡得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，該船在1時(shí)至5時(shí)或13時(shí)至17時(shí)能安全進(jìn)港．

若該船當(dāng)天安全離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過16 h．

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究的實(shí)際問題十分廣泛.由于周期現(xiàn)象有明顯的圖象特征，在解決這些實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)圖象的應(yīng)用，既可以加深對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，又能培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力.在學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)時(shí)，是一個(gè)值得我們引起關(guān)注的重要環(huán)節(jié)．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重視解析幾何問題的本質(zhì)還是幾何問題，優(yōu)先思考幾何性質(zhì)的運(yùn)用，那就簡單很多了.那過焦點(diǎn)的直線AF1如何求呢？關(guān)鍵是對(duì)點(diǎn)A的處理，除了上述代數(shù)上的“設(shè)點(diǎn)法”，還可以根據(jù)幾何圖形用“設(shè)角法”.如右圖，設(shè)∠AF1O=θ，點(diǎn)A到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)統(tǒng)一定義：而將d平移到對(duì)稱軸F1F2上即為OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離即為p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ為鈍角，還是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

從而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中離心率e=22，焦準(zhǔn)距p=1），則cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.運(yùn)用了幾何性質(zhì)來解題后，代數(shù)運(yùn)算過程大量減少.

第二小題同樣可以運(yùn)用幾何性質(zhì)來解決，

因?yàn)锳F1∥BF2，則△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因?yàn)锽F1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②兩式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根據(jù)以上研究，筆者將兩種方法的結(jié)構(gòu)整合，考慮直線過橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，只需考慮焦點(diǎn)弦AB，因而只需焦半徑AF（或BF），那如何確定焦半徑，可以設(shè)角（設(shè)θ=∠AFO）或設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)A(x,y)），即“設(shè)角法”（就是有人認(rèn)為所謂的極坐標(biāo)法）與“設(shè)點(diǎn)法”.“設(shè)點(diǎn)法”表面上好像有兩個(gè)變量x,y，實(shí)際上由于點(diǎn)在橢圓上即滿足橢圓方程，即由一個(gè)變量決定點(diǎn)A的位置.但每次計(jì)算成為這種純代數(shù)法的弊端.而如果注重了解析幾何問題的幾何性質(zhì)，利用“設(shè)角法”， 學(xué)生很容易在幾何圖形上根據(jù)橢圓的定義推導(dǎo)出焦半徑公式，更不需要去死記硬背多種情況下的焦半徑公式.因此，解析幾何問題合理的方式是要優(yōu)先運(yùn)用幾何性質(zhì)，然后運(yùn)用代數(shù)技巧.

我們平時(shí)對(duì)解析幾何的認(rèn)識(shí)是幾何問題代數(shù)化，即用代數(shù)方法解決幾何問題.因此，往往將思路固定在了代數(shù)方法而忽略了其本質(zhì)還是幾何問題.事實(shí)上，解析幾何問題合理的方式是要優(yōu)先運(yùn)用幾何性質(zhì)，然后運(yùn)用代數(shù)技巧.就如老師輔導(dǎo)學(xué)生一樣，因?yàn)閷W(xué)生才是主體，若學(xué)生自身不努力，那老師的輔導(dǎo)是很艱難的.

對(duì)于江蘇高考，解析幾何有其特殊的重要地位，一般是18題，若此題做不好，那分?jǐn)?shù)不但得不高，還會(huì)產(chǎn)生焦慮，影響后兩道難題.而通過筆者的研究，解析幾何問題也是有規(guī)可循的.原因是2002年初中課改，已經(jīng)將韋達(dá)定理排除在課程之外，命題就較為單一.08年、09年高考命題是直線和圓的問題，需要緊扣圓的幾何性質(zhì)解決，而10年、11年、12年又回到了直線和橢圓問題，因此，直線和橢圓問題仍會(huì)是高考解析幾何的命題重點(diǎn).那是不是因?yàn)闄E圓的性質(zhì)少了，就純用代數(shù)方法去解決了呢？

下面筆者就“直線過橢圓焦點(diǎn)”問題來談一談.（附注：直線和橢圓的三類相交問題是指“直線過橢圓焦點(diǎn)”問題、 “直線過橢圓上已知點(diǎn)” 問題、 “直線過橢圓中心” 問題.）

例1（2012年江蘇）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直線AF1的斜率；

(ⅱ)求證:PF1+PF2是定值.

分析1第一小題求橢圓的方程就要求兩個(gè)參數(shù)，而已知條件為兩個(gè)點(diǎn)，利用方程思想即可解決.

解(1)由題設(shè)知,a2=b2+c2,e=ca,由點(diǎn)(1,e)在橢圓上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由點(diǎn)(e,32)在橢圓上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以橢圓的方程為x22+y2=1.

分析2第二小題很多人的想法就是代數(shù)運(yùn)算，設(shè)出直線AF1的方程，根據(jù)平行關(guān)系得出直線BF2的方程，從而聯(lián)立方程解出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出AF1,BF2的長，進(jìn)而解決第二小題，過程計(jì)算非常復(fù)雜，見下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因?yàn)锳F1∥BF2,

所以設(shè)AF1、BF2的方程分別為my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直線AF1的斜率為1m=62.

(ⅱ)證明:因?yàn)锳F1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由點(diǎn)B在橢圓上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函數(shù)式為y=3sinπ6t+10．

（2）由題意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化簡得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，該船在1時(shí)至5時(shí)或13時(shí)至17時(shí)能安全進(jìn)港．

若該船當(dāng)天安全離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過16 h．

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究的實(shí)際問題十分廣泛.由于周期現(xiàn)象有明顯的圖象特征，在解決這些實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)圖象的應(yīng)用，既可以加深對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，又能培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力.在學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)時(shí)，是一個(gè)值得我們引起關(guān)注的重要環(huán)節(jié)．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重視解析幾何問題的本質(zhì)還是幾何問題，優(yōu)先思考幾何性質(zhì)的運(yùn)用，那就簡單很多了.那過焦點(diǎn)的直線AF1如何求呢？關(guān)鍵是對(duì)點(diǎn)A的處理，除了上述代數(shù)上的“設(shè)點(diǎn)法”，還可以根據(jù)幾何圖形用“設(shè)角法”.如右圖，設(shè)∠AF1O=θ，點(diǎn)A到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)統(tǒng)一定義：而將d平移到對(duì)稱軸F1F2上即為OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離即為p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ為鈍角，還是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

從而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中離心率e=22，焦準(zhǔn)距p=1），則cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.運(yùn)用了幾何性質(zhì)來解題后，代數(shù)運(yùn)算過程大量減少.

第二小題同樣可以運(yùn)用幾何性質(zhì)來解決，

因?yàn)锳F1∥BF2，則△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因?yàn)锽F1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②兩式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根據(jù)以上研究，筆者將兩種方法的結(jié)構(gòu)整合，考慮直線過橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，只需考慮焦點(diǎn)弦AB，因而只需焦半徑AF（或BF），那如何確定焦半徑，可以設(shè)角（設(shè)θ=∠AFO）或設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)A(x,y)），即“設(shè)角法”（就是有人認(rèn)為所謂的極坐標(biāo)法）與“設(shè)點(diǎn)法”.“設(shè)點(diǎn)法”表面上好像有兩個(gè)變量x,y，實(shí)際上由于點(diǎn)在橢圓上即滿足橢圓方程，即由一個(gè)變量決定點(diǎn)A的位置.但每次計(jì)算成為這種純代數(shù)法的弊端.而如果注重了解析幾何問題的幾何性質(zhì)，利用“設(shè)角法”， 學(xué)生很容易在幾何圖形上根據(jù)橢圓的定義推導(dǎo)出焦半徑公式，更不需要去死記硬背多種情況下的焦半徑公式.因此，解析幾何問題合理的方式是要優(yōu)先運(yùn)用幾何性質(zhì)，然后運(yùn)用代數(shù)技巧.

我們平時(shí)對(duì)解析幾何的認(rèn)識(shí)是幾何問題代數(shù)化，即用代數(shù)方法解決幾何問題.因此，往往將思路固定在了代數(shù)方法而忽略了其本質(zhì)還是幾何問題.事實(shí)上，解析幾何問題合理的方式是要優(yōu)先運(yùn)用幾何性質(zhì)，然后運(yùn)用代數(shù)技巧.就如老師輔導(dǎo)學(xué)生一樣，因?yàn)閷W(xué)生才是主體，若學(xué)生自身不努力，那老師的輔導(dǎo)是很艱難的.

對(duì)于江蘇高考，解析幾何有其特殊的重要地位，一般是18題，若此題做不好，那分?jǐn)?shù)不但得不高，還會(huì)產(chǎn)生焦慮，影響后兩道難題.而通過筆者的研究，解析幾何問題也是有規(guī)可循的.原因是2002年初中課改，已經(jīng)將韋達(dá)定理排除在課程之外，命題就較為單一.08年、09年高考命題是直線和圓的問題，需要緊扣圓的幾何性質(zhì)解決，而10年、11年、12年又回到了直線和橢圓問題，因此，直線和橢圓問題仍會(huì)是高考解析幾何的命題重點(diǎn).那是不是因?yàn)闄E圓的性質(zhì)少了，就純用代數(shù)方法去解決了呢？

下面筆者就“直線過橢圓焦點(diǎn)”問題來談一談.（附注：直線和橢圓的三類相交問題是指“直線過橢圓焦點(diǎn)”問題、 “直線過橢圓上已知點(diǎn)” 問題、 “直線過橢圓中心” 問題.）

例1（2012年江蘇）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P.

(ⅰ)若AF1-BF2=62,求直線AF1的斜率；

(ⅱ)求證:PF1+PF2是定值.

分析1第一小題求橢圓的方程就要求兩個(gè)參數(shù)，而已知條件為兩個(gè)點(diǎn)，利用方程思想即可解決.

解(1)由題設(shè)知,a2=b2+c2,e=ca,由點(diǎn)(1,e)在橢圓上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.

由點(diǎn)(e,32)在橢圓上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.

所以橢圓的方程為x22+y2=1.

分析2第二小題很多人的想法就是代數(shù)運(yùn)算，設(shè)出直線AF1的方程，根據(jù)平行關(guān)系得出直線BF2的方程，從而聯(lián)立方程解出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出AF1,BF2的長，進(jìn)而解決第二小題，過程計(jì)算非常復(fù)雜，見下方答案：

(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因?yàn)锳F1∥BF2,

所以設(shè)AF1、BF2的方程分別為my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

所以x212+y21=1，

my1=x1+1

(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②

(ⅰ)由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0,所以m=2.

所以直線AF1的斜率為1m=62.

(ⅱ)證明:因?yàn)锳F1∥BF2,所以PBPF1=BF2AF1,

即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

所以PF1=AF1AF1+BF2BF1 .

由點(diǎn)B在橢圓上知,

BF1+BF2=22,

所以PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2).

同理PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1).

所以PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22

函數(shù)式為y=3sinπ6t+10．

（2）由題意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5, t∈［0,24］．化簡得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．

所以，該船在1時(shí)至5時(shí)或13時(shí)至17時(shí)能安全進(jìn)港．

若該船當(dāng)天安全離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過16 h．

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究的實(shí)際問題十分廣泛.由于周期現(xiàn)象有明顯的圖象特征，在解決這些實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)圖象的應(yīng)用，既可以加深對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，又能培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力.在學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)時(shí)，是一個(gè)值得我們引起關(guān)注的重要環(huán)節(jié)．

-AF1)=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1·BF2=m2+1m2+2,

所以PF1+PF2=22-22=322.

所以PF1+PF2是定值.

分析3如果能重視解析幾何問題的本質(zhì)還是幾何問題，優(yōu)先思考幾何性質(zhì)的運(yùn)用，那就簡單很多了.那過焦點(diǎn)的直線AF1如何求呢？關(guān)鍵是對(duì)點(diǎn)A的處理，除了上述代數(shù)上的“設(shè)點(diǎn)法”，還可以根據(jù)幾何圖形用“設(shè)角法”.如右圖，設(shè)∠AF1O=θ，點(diǎn)A到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)統(tǒng)一定義：而將d平移到對(duì)稱軸F1F2上即為OC，因此AF1=ed=e·OC=e·(CF1+F1O).而CF1是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離即為p，且在直角△AF1O中，OF1=AF1·cosθ，哪怕θ為鈍角，還是成立的.所以，AF1=e(p+AF1·cosθ).

從而解出AF1=ep1-ecosθ.

同理：BF2=ep1+ecosθ.

所以AF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62 （其中離心率e=22，焦準(zhǔn)距p=1），則cosθ=63，所以kAF1=tanθ=22.運(yùn)用了幾何性質(zhì)來解題后，代數(shù)運(yùn)算過程大量減少.

第二小題同樣可以運(yùn)用幾何性質(zhì)來解決，

因?yàn)锳F1∥BF2，則△PAF1∽△PF2B，

所以PF1PB=AF1BF2.①

又因?yàn)锽F1+BF2=2a,即PF1+PB+ep1+ecosθ=2a.②

由①②兩式可得PF1=324+cosθ.同理可得PF2=324-cosθ.

所以 PF1+PF2=322,即PF1+PF2是定值.

根據(jù)以上研究，筆者將兩種方法的結(jié)構(gòu)整合，考慮直線過橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，只需考慮焦點(diǎn)弦AB，因而只需焦半徑AF（或BF），那如何確定焦半徑，可以設(shè)角（設(shè)θ=∠AFO）或設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)A(x,y)），即“設(shè)角法”（就是有人認(rèn)為所謂的極坐標(biāo)法）與“設(shè)點(diǎn)法”.“設(shè)點(diǎn)法”表面上好像有兩個(gè)變量x,y，實(shí)際上由于點(diǎn)在橢圓上即滿足橢圓方程，即由一個(gè)變量決定點(diǎn)A的位置.但每次計(jì)算成為這種純代數(shù)法的弊端.而如果注重了解析幾何問題的幾何性質(zhì)，利用“設(shè)角法”， 學(xué)生很容易在幾何圖形上根據(jù)橢圓的定義推導(dǎo)出焦半徑公式，更不需要去死記硬背多種情況下的焦半徑公式.因此，解析幾何問題合理的方式是要優(yōu)先運(yùn)用幾何性質(zhì)，然后運(yùn)用代數(shù)技巧.