數學模型在軸承振動監(jiān)測過程中的應用

朱玉勝

(1.天津大學 管理學院，天津 300072；2.太重煤機有限公司，太原 030032)

1 數學模型

1.1 概念

數學模型到目前還沒有統(tǒng)一定義。一般教科書認為數學模型是“根據對研究對象所觀察到的現象及實踐經驗歸結成的一套反映其內部因素數量關系的數學公式、邏輯準則和具體算法[1]”。數學學者認為數學模型是用字母、數字和其他數學符號構成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統(tǒng)特征及其內部聯系或與外界聯系的模型。一些管理學者認為數學模型是描述系統(tǒng)變量間相互關系的動態(tài)性能的運動方程。某些研究型學者則認為數學模型是一種模擬，是用數學符號、數學式、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，其或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)或較好策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，其建立常常既需要對現實問題進行深入細微的觀察和分析，又需要靈活巧妙地利用各種數學知識。

數學模型所表達的內容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現。因此，數學模型的研究方法偏向于定量形式。

1.2 建模原則和過程

根據研究目的對所研究問題過程和現象的主要特征及主要關系，采用形式化的數學語言概括地、近似地表達出來的一種結構(即數學模型)的過程是數學建模。在數學建模的過程中一般遵循4項原則，即真實完整原則、簡化實用原則、可推導原則和反映性原則。具體建模過程如圖1所示。

圖1 具體建模過程

1.3 種類

數學模型主要有以下幾種：

(1)靜態(tài)和動態(tài)模型 靜態(tài)模型是指描述系統(tǒng)各量間的關系不隨時間的變化而變化，一般用代數方程表達；動態(tài)模型是指描述系統(tǒng)各量間隨時間變化而變化的規(guī)律的數學表達式，一般用微分方程或差分方程表達。

(2)分布參數和集中參數模型 分布參數模型是用各類偏微分方程描述系統(tǒng)的動態(tài)特性；集中參數模型是用線性或非線性常微分方程描述系統(tǒng)的動態(tài)特性。

(3)連續(xù)時間和離散時間模型 模型中的時間變量在一定區(qū)間內變化的模型稱為連續(xù)時間模型，上述各類用微分方程描述的模型都是連續(xù)時間模型；在處理集中參數模型時，也可將時間變量離散化，所獲得的模型稱為離散時間模型，用差分方程描述。

(4)隨機性和確定性模型 隨機性模型中變量間關系以統(tǒng)計值或概率分布的形式給出；確定性模型中變量間關系是確定的。

(5)參數和非參數模型 參數模型是用代數方程、微分方程、微分方程組及傳遞函數等描述的模型；非參數模型是直接或間接從實際系統(tǒng)的試驗分析中得到的響應。運用各種系統(tǒng)辨識的方法，可由非參數模型得到參數模型。

(6)線性和非線性模型 線性模型中各量間的關系是線性的，滿足疊加原理；非線性模型中各量間的關系不是線性的，不滿足疊加原理。

1.4 應用

數學因其準確性而成為最廣泛用于交流的語言，常對實際事物建立各種數學模型，以期通過對該模型的研究來描述、解釋、預計或分析與實際事物相關的規(guī)律。

數學模型的應用分為管理領域和技術領域的應用。管理領域的應用涉及企業(yè)管理、市場分類、銷售策略、經濟計量、投資決策、金融證券、數據挖掘與分析預測、物流管理、供應鏈、信息系統(tǒng)等。技術領域的應用總被機械地認為是除社會科學外的純技術范疇，這樣分類并不十分科學。但當需從定量角度分析和研究一個實際問題時，無論是管理領域還是技術領域，一般會通過對數學模型的應用和數學建模方法解決實際問題，即對研究對象進行分析與設計、預報與決策、控制與優(yōu)化、規(guī)劃與管理[2]。管理領域一般要解決的問題通常是一個非線性的復雜系統(tǒng)，面對的變量類別較多，要根據采集的原始數據量綱進行無量綱化處理，因為參數選擇不同和研究的側重點不同，得出的測量結果相差較大，而在技術方面準確性高，解決實際問題的可行性強。

2 實例分析

2.1 軸承使用過程中的問題及現象

據統(tǒng)計，30%的傳動機械故障由軸承故障引起，其運行狀態(tài)直接影響整臺設備的性能[3]。大量試驗證明，軸承疲勞壽命非常離散。在相同的試驗條件下，結構、材質和加工工藝相同的同一批軸承，其最長與最短壽命可能相差數十倍甚至上百倍[4]。可通過軸承故障檢測技術最大限度地發(fā)揮軸承的工作潛力，提前更換有安全隱患的軸承，減少故障發(fā)生率，提高設備的運行質量和可靠性。

2.2 數學模型的建立

軸承故障診斷技術較多，主要有振動診斷技術、鐵譜診斷技術、聲學診斷技術、油膜電阻診斷技術和溫度診斷技術等[5]。國內對軸承振動監(jiān)測與故障診斷的廣泛研究基本上從20世紀80年代開始[6]。軸承振動監(jiān)測過程就是當軸承零件的工作表面出現疲勞剝落、壓痕或局部腐蝕時，軸承運行中會出現周期性的脈沖信號，這種信號可由安裝在軸承座上的傳感器(速度型或加速度型)接收，并接入電流放大器進行信號放大，再通過A/D卡轉換為計算機可識別和處理的數字信號，利用計算機程序對該信號進行時域和頻域分析并提取有效特征向量，應用智能軟件判斷識別軸承狀態(tài)(故障或正常)，從而實現軸承在線監(jiān)測和智能化故障診斷[7]。試驗流程如圖2所示。

圖2 試驗流程

軸承振動信號時域分析的主要任務是計算振動信號的時域統(tǒng)計特征參數，再與正常值對比確定軸承狀態(tài)。常用的特征參數可分為有量綱參數和無量綱參數[5]。

設采樣數據為xi(i=1，2，…，N)，其中，i為采樣數量；N為采樣總數。

有量綱參數如下：

(1)均值

均值表示隨機過程的中心趨勢，是隨機過程的靜態(tài)分量。其屬于靜態(tài)和隨機模型，優(yōu)點是故障診斷檢測值較峰值更穩(wěn)定。

(2)方差

方差描述隨機過程在均值周圍的散布程度，是隨機過程的動態(tài)分量。其屬于動態(tài)和隨機模型，主要體現信號的穩(wěn)定程度。

(3)均方根值

均方根值反映信號下x(t)相對于零值的波動情況。其屬于連續(xù)時間模型，表示信號的平均能量。

(4)峰值

峰值是信號的最大瞬時幅值，反映信號的強度。其屬于隨機性、非參數和非線性模型，主要體現瞬時現象的指示值，適用于表面點蝕類的具有瞬時沖擊的缺陷診斷。

無量綱參數如下：

(1)峰值因子

峰值因子是反映波形是否有沖擊的指標，不受振動信號的絕對水平所影響，所以傳感器的靈敏度即使有變動，也不會出現測量誤差。

(2)峭度系數

峭度系數表示軸承工作表面出現疲勞故障時，每轉一周，工作表面缺陷處產生的沖擊脈沖。缺陷越大，沖擊響應幅值越大，故障現象越明顯。

(3)波形因子

波形因子對各類缺陷都有反應，適用于軸承早期故障預測。

(4)脈沖因子

脈沖因子對沖擊脈沖類缺陷較敏感，特別是出現早期缺陷時，其值明顯增加；當上升到一定程度后，隨著缺陷的逐漸發(fā)展，其值反而會下降。

(5)裕度因子

裕度因子是反映信號沖擊程度的一個指標，對軸承的沖擊故障較為敏感。

無量綱參數的主要優(yōu)點是在分析軸承振動信號時，能更有特點地體現軸承不同運行狀態(tài)下的振動信號，得到便于計算機讀取和識別的語言。

2.3 數學模型的求解與分析

實例中，軸承有正常和故障2種狀態(tài)，在振源頻率為20，25，30，35 Hz下，測樣點數為2 000，2種狀態(tài)各測10組數據。將檢測到的振動信號導入MATLAB，首先對信號進行零均值化處理，然后進行時域分析及特征值提取、頻域分析及特征值提取、特征值歸一化，最后實現智能軟件程序模式識別。

2.3.1 時域分析

通過編寫并在MATLAB中運行時域特征方程計算程序，可得軸承樣本的時域特征值，見表1。

表1 軸承樣本的時域特征值

由表1可知，故障和正常軸承的均方根值和波形因子無明顯差別，不能反映軸承狀態(tài)。

2.3.2 頻域分析

鑒于時域分析不能完全反映軸承狀態(tài)，故對軸承樣本進行頻域分析。對零均值化后的數據進行FFT后繪制頻譜圖。故障和正常軸承頻域如圖3～圖8所示。由圖3～圖8可知，故障和正常軸承的頻譜有明顯差別，可確定故障和正常軸承頻域值差異時頻段的大體位置。為進一步識別故障和正常軸承的頻譜差異，采用重疊頻譜的方法得到頻域特征值的提取點和較小范圍，對不同樣本正常和故障軸承的頻譜進行對比，提取5個頻域特征值，見表2。

表2 頻域特征值

圖3 故障和正常NJ226軸承頻域

圖4 故障和正常NJ230軸承頻域

圖5 故障和正常NU2232軸承頻域

圖7 故障和正常23130軸承頻域

圖8 故障和正常24060軸承頻域

2.3.3 歸一化處理

由于各特征值的幅值不同，不便于比較不同樣本間同一特征值的差異，并且考慮到后面的智能軟件程序輸入值，將所有特征值歸一化到0～1區(qū)間。

線性函數轉換表達式為

y=(x-minValue)/(maxValue-minValue)，

式中：x和y分別為轉換前、后的值；maxValue和minValue分別為樣本的最大值和最小值。正常軸承歸一化后特征值見表3。故障軸承歸一化后特征值見表4。

表3 正常軸承歸一化后特征值

表4 故障軸承歸一化后特征值

2.4 數學模型的檢驗與調試

將正常和故障軸承歸一化后的特征值作為模式識別部分輸入智能軟件程序，智能軟件根據程序設定，在線實時監(jiān)測軸承狀態(tài)，軸承正常輸出0，軸承故障輸出1，并能夠實現軸承故障報警和停機。該監(jiān)測系統(tǒng)建立完成后，首先在試驗臺上對正常和故障軸承進行測試，根據結果進行調試合格后，可將該系統(tǒng)應用到絕大多數傳動機械中，通過軸承的實時狀態(tài)監(jiān)測可發(fā)現早期故障，并及時排除，避免造成設備及其他部件的損壞。

3 結論

研究數學模型在軸承振動監(jiān)測過程中的應用有利于為研究同類技術問題或新產品開發(fā)課題提供一種實用的研究方法和思路，便于設計部門應用CAE技術根據監(jiān)測反饋數據進行優(yōu)化設計，縮短研發(fā)周期，提升產品設計質量。在產品應用階段可實現軸承的實時在線振動監(jiān)測，提前發(fā)現故障隱患并檢修、更換，有效避免機械事故發(fā)生，最大限度發(fā)揮軸承工作潛力，降低企業(yè)運行成本，具有很好的推廣價值。