閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)

王建宏，熊朝華

（1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所，江蘇南京210007；2.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)電學(xué)院，江西景德鎮(zhèn)333403）

閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)

王建宏1，2，熊朝華1

（1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所，江蘇南京210007；2.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)電學(xué)院，江西景德鎮(zhèn)333403）

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)問(wèn)題，在預(yù)測(cè)誤差辨識(shí)法的前提下，從參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性中推導(dǎo)出兩概率模型不確定性邊界及最優(yōu)的輸入濾波器形式。概率邊界及輸入濾波器是基于參數(shù)估計(jì)的漸近正態(tài)分布的方差矩陣，該方差矩陣由采樣數(shù)據(jù)估計(jì)而得。根據(jù)未知參數(shù)的漸近方差矩陣內(nèi)積形式從概率統(tǒng)計(jì)意義上構(gòu)造模型參數(shù)及互相關(guān)函數(shù)的不確定性邊界，從優(yōu)化的角度推導(dǎo)輸入濾波器的選取形式。最后用仿真算例驗(yàn)證本文辨識(shí)方法的有效性。

閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)；模型不確定；模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)；輸入濾波器

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)中控制器的設(shè)計(jì)可采用兩種策略，即基于模型的設(shè)計(jì)和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的直接設(shè)計(jì)。基于模型的首要前提是采用系統(tǒng)辨識(shí)的方法來(lái)建立閉環(huán)系統(tǒng)中被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，以此數(shù)學(xué)模型作為下步控制器設(shè)計(jì)的模型基礎(chǔ)。而基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的直接設(shè)計(jì)卻是繞開建模過(guò)程，直接采用閉環(huán)條件下得到的輸入輸出量來(lái)設(shè)計(jì)控制器。因目前采用最多的仍是基于模型的控制設(shè)計(jì)方法，故需對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的辨識(shí)展開大量的研究工作。對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)的辨識(shí)，目前的工作都集中在模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)辨識(shí)和試驗(yàn)設(shè)計(jì)，而對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)研究的甚少。常見的閉環(huán)系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)辨識(shí)方法主要可分為直接法、間接法和聯(lián)合輸入輸出法。直接法忽略反饋的存在，直接用被控對(duì)象的輸入輸出量來(lái)辨識(shí)模型；間接法則考慮反饋的作用，利用整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的輸入輸出量來(lái)辨識(shí)模型；而聯(lián)合輸入輸出法可看作間接法的一種改進(jìn)。關(guān)于閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)策略的詳細(xì)研究可參考文獻(xiàn)［1］。文獻(xiàn)［2］在時(shí)域中對(duì)整個(gè)系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域的研究進(jìn)行了具體介紹；文獻(xiàn)［3］在頻域中研究多種模型的辨識(shí)，針對(duì)頻域中的各個(gè)目標(biāo)準(zhǔn)則函數(shù)，提出采用優(yōu)化算法求解未知參數(shù)值。文獻(xiàn)［4］提出一種新的虛擬閉環(huán)辨識(shí)法，通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)虛擬控制器來(lái)參數(shù)化系統(tǒng)模型，推廣了對(duì)偶-尤拉方法在閉環(huán)辨識(shí)中的使用。文獻(xiàn)［5］在預(yù)測(cè)誤差遞推辨識(shí)算法的基礎(chǔ)上，提出閉環(huán)辨識(shí)的投影算法，并分析該投影算法在何條件下可得到參數(shù)估計(jì)的漸近性和一致性。文獻(xiàn)［6］從工程應(yīng)用實(shí)踐中分析當(dāng)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有多個(gè)輸入量時(shí)，是否可通過(guò)施加其中的部分輸入量來(lái)辨識(shí)閉環(huán)系統(tǒng)。文獻(xiàn)［7］從系統(tǒng)辨識(shí)的角度分析閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)與閉環(huán)控制間的緊密聯(lián)系，使得閉環(huán)控制器的設(shè)計(jì)可轉(zhuǎn)化為某些參數(shù)的自適應(yīng)辨識(shí)。文獻(xiàn)［8］利用線性矩陣不等式來(lái)描述閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的最優(yōu)輸入信號(hào)設(shè)計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)［9］分析閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的最小代價(jià)問(wèn)題，利用凸優(yōu)化理論來(lái)求解此錐規(guī)劃問(wèn)題。文獻(xiàn)［10］引入魯棒控制中的H∞范數(shù)來(lái)作為輸入信號(hào)設(shè)計(jì)時(shí)的準(zhǔn)則函數(shù)，在H∞范數(shù)下衡量估計(jì)模型與標(biāo)定模型間的不確定性。文獻(xiàn)［11］從參數(shù)估計(jì)的漸近性角度分析閉環(huán)系統(tǒng)輸入信號(hào)設(shè)計(jì)的選擇問(wèn)題。文獻(xiàn)［12］分析閉環(huán)系統(tǒng)的可持續(xù)性激勵(lì)，分析在存在時(shí)延條件下怎樣得到持續(xù)激勵(lì)和充分豐富的激勵(lì)？文獻(xiàn)［13］考慮閉環(huán)辨識(shí)在自適應(yīng)控制中的應(yīng)用，分離出閉環(huán)辨識(shí)的偏差項(xiàng)和方差項(xiàng)。文獻(xiàn)［14］研究在有限采樣數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)下，提出利用關(guān)于已知極點(diǎn)的正交核函數(shù)來(lái)替換傳統(tǒng)模型參數(shù)個(gè)數(shù)，可得到較為精確的近似方差矩陣式。

對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)?zāi)壳拔从姓撐纳婕?，文獻(xiàn)［2］和［15］針對(duì)的是開環(huán)系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)問(wèn)題，提出標(biāo)準(zhǔn)的互相關(guān)檢驗(yàn)法，即檢驗(yàn)預(yù)測(cè)誤差與輸入量間的互相關(guān)矩陣在統(tǒng)計(jì)概率意義下的置信估計(jì)區(qū)間，開環(huán)系統(tǒng)由其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單性而極大地簡(jiǎn)化了方差矩陣的推導(dǎo)。而在工程中，對(duì)于模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)的有效策略是對(duì)原系統(tǒng)再次做相同試驗(yàn)。對(duì)原系統(tǒng)施加一組新輸入量，比較其實(shí)際輸出量是否與辨識(shí)模型下的輸出量相一致？雖這種檢驗(yàn)方法易于簡(jiǎn)單直觀，但無(wú)法在定量上分析辨識(shí)模型的準(zhǔn)確度及可信性。為從定量上體現(xiàn)辨識(shí)準(zhǔn)確度，采用統(tǒng)計(jì)概率框架，推導(dǎo)閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)中未知參數(shù)的方差矩陣，將其表示成內(nèi)積形式，以此形式建立未知參數(shù)估計(jì)值的一個(gè)不確定性邊界即置信區(qū)間估計(jì)，從而形成閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)中模型參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)域檢驗(yàn)。通過(guò)分析閉環(huán)系統(tǒng)輸出預(yù)測(cè)誤差與輸入間的互相關(guān)函數(shù)，將模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。構(gòu)造關(guān)于互相關(guān)函數(shù)的一個(gè)概率分布，以保證原假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的非偽性。因任意的輸入信號(hào)都可改寫成一個(gè)白噪聲信號(hào)通過(guò)一個(gè)成形輸入濾波器而得到，為保證閉環(huán)系統(tǒng)輸出預(yù)測(cè)與實(shí)際輸出值間的接近程度，對(duì)于此輸入濾波器的選擇設(shè)計(jì)問(wèn)題，采用一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的求解來(lái)設(shè)計(jì)輸入濾波器。因輸入濾波器從表示形式上就代表著輸入信號(hào)，而輸入信號(hào)在辨識(shí)過(guò)程中要選擇恰當(dāng)，要能充分持續(xù)激勵(lì)原閉環(huán)系統(tǒng)被辨識(shí)出來(lái)，從而輸入濾波器的選擇是整個(gè)模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)的首要步驟。

1 問(wèn)題描述

考慮如下帶有輸出反饋的實(shí)際閉環(huán)系統(tǒng)：

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 The closed loop system structure

圖1中對(duì)象模型G0(q)和噪聲濾波器H0(q)均為線性時(shí)不變的傳遞函數(shù)，K(q)為穩(wěn)定的線性時(shí)不變控制器，驅(qū)動(dòng)信號(hào)r(t)和外界干擾e(t)為互不相關(guān)，e(t)為零均值的白噪聲，其方差為λ0。v(t)為白噪聲e(t)通過(guò)噪聲濾波器H0(q)后形成的有色噪聲。u(t)和y(t)分別為被控對(duì)象G0(q)的輸入輸出信號(hào)。將r(t)改寫為零均值、方差為1的白噪聲w(t)通過(guò)輸入濾波器R(q)而得到。R(q)為關(guān)于r(t)的穩(wěn)定非最小相位的功率譜因子，q為時(shí)延算子，即存在qu(t)=u(t+1)。由于r(t)=R(q) w(t)，可得r(t)的功率譜密度為

上式表明任何輸入信號(hào)都可通過(guò)對(duì)一零均值的白噪聲w(t)施以濾波器R(q)而生成獲取。對(duì)于圖1所示的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，可得其函數(shù)關(guān)系式為

進(jìn)行簡(jiǎn)單和類似的整理可得：

記敏感函數(shù)為

從而閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量y()t可改寫為

2 模型參數(shù)的置信區(qū)域檢驗(yàn)

在真實(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中引入未知參數(shù)，即（2）式對(duì)應(yīng)的參數(shù)化形式為

式中：θ表示未知參數(shù)矢量，其分別存在于參數(shù)化的系統(tǒng)模型G(q,θ)和噪聲模型H(q,θ)之中。閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的目的在于：從一組給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)集中辨識(shí)出未知參數(shù)矢量估計(jì)值θ?N，其中N表示觀測(cè)數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)。（3）式對(duì)應(yīng)的一步前向預(yù)測(cè)輸出值為

計(jì)算一步前向預(yù)測(cè)誤差或殘差為

漸近極限參數(shù)估計(jì)值θ*定義為

其中：E表示取數(shù)學(xué)期望運(yùn)算。

在通常的辨識(shí)求解過(guò)程中，均假設(shè)存在一個(gè)真實(shí)的參數(shù)矢量θ使得

上式表明辨識(shí)模型屬于所考慮的模型集中。在文獻(xiàn)［2］有：參數(shù)估計(jì)值θ?N的漸近方差矩陣式為

其中的φ定義為預(yù)測(cè)誤差的負(fù)梯度，即

因（7）式是系統(tǒng)辨識(shí)中漸近性分析的基本關(guān)系式。故聯(lián)合（3）式和（5）式可得

將（8）式代入到（5）式并進(jìn)行關(guān)于未知參數(shù)矢量θ求偏導(dǎo)可得

利用e() t和w()t間的不相關(guān)性有

在（9）式中提出一個(gè)H(θ)出來(lái)后，（9）式可改寫為

（10）式中利用參數(shù)化的敏感函數(shù)

且存在如下的關(guān)系式成立

繼續(xù)將（10）式改寫成矩陣的形式為根據(jù)（7）式的漸近方差矩陣關(guān)系式可得

其中：G′() θ和H′() θ分別表示為

以（12）式作為檢驗(yàn)基礎(chǔ)，漸近結(jié)果有

即參數(shù)估計(jì)值θ?N趨近于真實(shí)的參數(shù)值θ0，且參數(shù)估計(jì)誤差收斂于一個(gè)高斯隨機(jī)變量

其中：n為λ2分布中的自由度，此處可近似等于參數(shù)矢量中元素的個(gè)數(shù)。（13）式隱含著隨機(jī)矢量滿足如下的一個(gè)不確定性邊界

漸近結(jié)果可改寫為二次形式，得到λ2分布對(duì)應(yīng)分布中的概率水平α，為表征θ0而不是θ?N的概率不確定性式，對(duì)于θ?N的每一個(gè)實(shí)現(xiàn)值成立

上式即意味著

（14）式給出閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)中未知參數(shù)矢量估計(jì)的置信區(qū)間，即θ?N∈D() α,θ0的概率水平至少為α。

3 互相關(guān)函數(shù)的置信區(qū)域檢驗(yàn)

輸入激勵(lì)信號(hào)w(t)在統(tǒng)計(jì)概率框架下與閉環(huán)系統(tǒng)輸出值預(yù)測(cè)誤差的互相關(guān)函數(shù)要滿足一定的概率水平，為此需要首先計(jì)算預(yù)測(cè)誤差的具體表達(dá)式。由（5）式可知

以參數(shù)估計(jì)值為前提的預(yù)測(cè)誤差為

（17）式中第1項(xiàng)A1(t,G0,H0,θ*)對(duì)應(yīng)由估計(jì)模型G(θ*)的漸近偏差項(xiàng)誘導(dǎo)所導(dǎo)致的殘差信號(hào)部分；第2項(xiàng)表示由參數(shù)估計(jì)的方差項(xiàng)所導(dǎo)致的殘差信號(hào)部分；第3項(xiàng)對(duì)應(yīng)觀測(cè)噪聲e(t)對(duì)估計(jì)精度的影響，并可表示估計(jì)噪聲模型H(θ?N)中的建模誤差。根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖及殘差信號(hào)的表達(dá)式，閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題

在輸入信號(hào)持續(xù)激勵(lì)的條件下，該假設(shè)檢驗(yàn)成立的條件為

在γ0成立的條件下，預(yù)測(cè)誤差ε(t,θ?N)可退化成如下僅含有兩項(xiàng)的殘差項(xiàng)

計(jì)算該殘差項(xiàng)與輸入間的采樣互相關(guān)函數(shù)為

n為可自由選擇的一個(gè)參數(shù)值，此處仍可選擇為參數(shù)矢量中元素的個(gè)數(shù)。定義如下的矢量：

將上式進(jìn)行重新整理可得

利用假設(shè)條件中e(t)和w(t)之間是互不相關(guān)，且由（17）式可知上式可簡(jiǎn)化為

由（20）式可見，預(yù)測(cè)誤差與輸入信號(hào)間的互相關(guān)函數(shù)滿足

對(duì)A4中括號(hào)內(nèi)的差值使用泰勒級(jí)數(shù)展開可近似得

上式中的covG表示系統(tǒng)對(duì)象辨識(shí)G() θ?N的方差，其展開式為

根據(jù)上述漸近分析的應(yīng)用可知：R?ε1w() 0以漸近N的形式收斂于一零均值的高斯分布。

即假設(shè)檢驗(yàn)為非偽的條件是當(dāng)下式成立

其中cλ() α,n表示帶有n個(gè)自由度的λ2分布的概率水平() 1-α，或有

（24）式或（26）式給出了閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)中預(yù)測(cè)誤差與輸入信號(hào)間互相關(guān)函數(shù)的置信區(qū)間估計(jì)。

4 輸入濾波器的檢驗(yàn)

為表征輸入濾波器R() q的具體形式，可聯(lián)立如下的真實(shí)系統(tǒng)輸出方程和對(duì)應(yīng)的參數(shù)化輸出方程。

對(duì)上式的兩項(xiàng)分別利用泰勒級(jí)數(shù)近似展開可得

將兩個(gè)泰勒級(jí)數(shù)展開式代入至預(yù)測(cè)誤差中得

利用巴塞伐爾定理有

為了計(jì)算上式中的各個(gè)方差矩陣，對(duì)（12）式展開并進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)整理可得

其中的逆矩陣求解為

在求解逆矩陣過(guò)程中使用到了如下的恒等式

從而得到如下的方差式

將（32）式代入（30）式并進(jìn)行初等數(shù)學(xué)運(yùn)算整理可得

又因?yàn)楸豢貙?duì)象的輸入量u(t)為

由上式可得輸入量u(t)的功率譜密度為

對(duì)于輸入濾波器R的選擇可求解如下的優(yōu)化問(wèn)題

優(yōu)化問(wèn)題中L為一個(gè)任意自由選擇的正常數(shù)，其用來(lái)限制實(shí)際應(yīng)用時(shí)關(guān)于所用輸入信號(hào)的功率譜大小。對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題（35）式的具體求解過(guò)程可參考文獻(xiàn)［16］，此處僅給出最后的求解結(jié)果。即該優(yōu)化問(wèn)題中優(yōu)化變量R2的選擇應(yīng)滿足：

其中的常量μ應(yīng)滿足如下的等式成立

（36）式和（37）式共同構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)中關(guān)于輸入濾波器的選擇，從而也就構(gòu)成外部輸入激勵(lì)信號(hào)r(t)和u(t)的功率譜形式，此即為模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)過(guò)程中對(duì)于輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)要求。

5 仿真算例

為了驗(yàn)證上述閉環(huán)系統(tǒng)的模型檢驗(yàn)策略，考慮如下的仿真系統(tǒng)。

其中的各個(gè)量依次為

此時(shí)噪聲模型為1，其表明作用于閉環(huán)系統(tǒng)的外部干擾退化為最為簡(jiǎn)單的白噪聲干擾，反饋取為單位正反饋。干擾e（t）為零均值的白噪聲，且其方差值為λ0，輸入w（t）為零均值、方差為1的白噪聲激勵(lì)信號(hào)。為了便于分析驗(yàn)證模型參數(shù)和互相關(guān)函數(shù)的置信區(qū)域，令輸入濾波器R（q）=1，即此時(shí)僅白噪聲激勵(lì)信號(hào)w（t）作用于整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。選取N=500的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)，對(duì)該閉環(huán)系統(tǒng)采用直接法來(lái)辨識(shí)模型G0（q）中的9個(gè)未知參數(shù)值。9個(gè)模型參數(shù)辨識(shí)的好壞直接作用于閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。因此可用原閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)來(lái)衡量辨識(shí)精度或模型參數(shù)辨識(shí)的可信度。

圖2表示在辨識(shí)模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的輸出頻率響應(yīng)曲線。圖2中紅色曲線為真實(shí)閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)Bode plot振幅曲線，紅色曲線上下方相鄰曲線為當(dāng)辨識(shí)模型參數(shù)在不確定性邊界（14）式中取值時(shí)對(duì)應(yīng)的99%置信Bode plot振幅曲線。由圖2可見，3條曲線非常接近，其表明紅色振幅曲線恰好夾在兩99%置信Bode plot振幅曲線之間。因在利用Matlab仿真出閉環(huán)系統(tǒng)的Bode plot輸出響應(yīng)時(shí)，相位圖是與振幅圖是同時(shí)產(chǎn)生的。因此對(duì)于圖3的解釋與圖2是相似的，同樣可說(shuō)明紅色相位曲線恰好夾在兩99%置信Bode plot相位曲線之間。

在Matlab系統(tǒng)辨識(shí)仿真工具箱中，對(duì)殘差和輸入計(jì)算互相關(guān)檢驗(yàn)。圖4給出殘差和輸入間的采樣互相關(guān)函數(shù)，由圖4可見藍(lán)色曲線代表的采樣互相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)處以小偏差的形式來(lái)回，隨著時(shí)間的推移，采樣互相關(guān)函數(shù)也逐漸趨于零值。此即表明殘差和輸入間的采樣互相關(guān)函數(shù)在開始時(shí)刻存在較小的變化，慢慢地向零值靠攏，殘差和輸入將會(huì)成為不相關(guān)的關(guān)系。圖4中的兩紅色直線表示殘差和輸入采樣互相關(guān)函數(shù)的上下界，該采樣互相關(guān)函數(shù)夾在這兩紅色直線構(gòu)成的置信區(qū)間中。

圖2 Bode plot中振幅的置信區(qū)間Fig.2 The confidence interval of the amplitude in Bode plot

圖3 Bode plot中相位的置信區(qū)間Fig.3 The confidence interval of the phase in Bode plot

圖4 標(biāo)準(zhǔn)互相關(guān)檢驗(yàn)的置信區(qū)間Fig.4 The confidence interval of the standard cross correlation test

6 結(jié)語(yǔ)

從模型參數(shù)的置信區(qū)域、互相關(guān)函數(shù)的置信區(qū)域和輸入濾波器的選擇三方面來(lái)分析閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)問(wèn)題。根據(jù)未知參數(shù)的漸近方差矩陣內(nèi)積形式從概率統(tǒng)計(jì)意義上構(gòu)造模型參數(shù)及互相關(guān)函數(shù)的不確定性邊界，從優(yōu)化的角度推導(dǎo)輸入濾波器以及輸入激勵(lì)信號(hào)的選取形式。

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Model Structure Validity in Closed Loop System Identification

Wang Jianhong1,2,Xiong Zhaohua1
(1.The 28th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation,Nanjing 210007,China; 2.School of Mechanical and Electronic Engineering,Jingdezhen Ceramic Institute,Jingdezhen 333403,China)

Aiming at the problem of themodel structure validity in closed loop system identification,this paper de?rives two probabilisticmodel uncertainties and optimum input filter from statistical properties of the parameter esti?mation with the prediction error identificationmethod.The probabilistic bounds and optimum input filter are based on an asymptotic normal distribution of the parameter estimator,accompanied by a covariancematrix,which has to be estimated from sampled data.The uncertainties bounds about themodel parameter and cross-correlation function are constructed in the probability sense by using the inner product form of the asymptotic covariancema?trix.And the input filter is derived from the point of optimization.Finally the simulation results verify the effective?ness of the proposed identificationmethod.

closed loop system identification;model uncertainty;model structure validity;input filter

TP273

A

2014-05-13

江西省教育廳科學(xué)基金項(xiàng)目（GJJ13638）

王建宏（1980—），男，副教授，博士后，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)辨識(shí)與凸優(yōu)化。

1005-0523（2014）04-0044-10