關(guān)于《拓?fù)湎蛄靠臻g中的一類平衡問(wèn)題研究》的注記

傅俊義,王三華

(南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系,江西 南昌 330031)

關(guān)于《拓?fù)湎蛄靠臻g中的一類平衡問(wèn)題研究》的注記

傅俊義,王三華

(南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系,江西 南昌 330031)

利用比較弱的錐連續(xù)性與著名的Fan-KKM定理,得到一類具有控制結(jié)構(gòu)的強(qiáng)向量均衡問(wèn)題的解,并討論其解集的性質(zhì),改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)的主要研究結(jié)果.

強(qiáng)向量均衡問(wèn)題;錐連續(xù);控制結(jié)構(gòu);解集

1 引言

均衡問(wèn)題是變分不等式與相補(bǔ)問(wèn)題的有意義的推廣.在力學(xué)、微分方程理論、控制論、優(yōu)化理論與數(shù)理經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的很多問(wèn)題,都可化為均衡問(wèn)題來(lái)處理,因此它有較為廣泛的應(yīng)用.從上世紀(jì)60年代,由Lions,Browder,Ky Fan,Stampacchia等人提出和創(chuàng)立變分不等式與相補(bǔ)問(wèn)題的基本理論以來(lái),經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家的努力,變分不等式與相補(bǔ)問(wèn)題的理論與應(yīng)用,都取得了重要的發(fā)展,并日臻完善.近年來(lái),隨著向量?jī)?yōu)化理論的深入發(fā)展,均衡問(wèn)題的研究由數(shù)值函數(shù)發(fā)展到更為一般的向量值映射.近年來(lái),向量變分不等式與向量均衡問(wèn)題成為很多數(shù)學(xué)工作者關(guān)注的研究課題(見(jiàn)文獻(xiàn)[1-4]及其所附文獻(xiàn)).

本文研究一類具有控制結(jié)構(gòu)的強(qiáng)向量均衡問(wèn)題,利用比較弱的錐連續(xù)性與著名的 Fan-KKM定理,得到這類問(wèn)題解的存在定理,并討論其解集的性質(zhì),改進(jìn)了文獻(xiàn) [5]的主要結(jié)果.

本文安排如下:第二節(jié)闡述要研究的問(wèn)題,并回顧所用到的一些定義與已知結(jié)果;第三節(jié)給出主要結(jié)果及其證明.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X,Z是實(shí)的Hausdorf f拓?fù)湎蛄靠臻g,K?X是非空閉凸集,P?Z是閉凸點(diǎn)錐.P在Z上定義的序關(guān)系如下:

若給定集值映射P:K→2Z,?x∈K,P(x)是Z中的閉凸點(diǎn)錐,則稱集族{P(x):x∈K}是Z上的控制結(jié)構(gòu),它是Z上的一種變動(dòng)的序關(guān)系[3].給定向量映射f:K×K→Z.考慮下面的具有控制結(jié)構(gòu)的強(qiáng)向量均衡問(wèn)題(strong vector equilibrium problem with domination structure,簡(jiǎn)記為:DSVEP):求∈K,滿足

如果?x∈K,P(x)=P(一個(gè)固定錐),則(DSVEP)變?yōu)橄旅娴膹?qiáng)向量均衡問(wèn)題(簡(jiǎn)記為: SVEP):求∈K,滿足

(DSVEP)與(SVEP)就是求向量均衡問(wèn)題的強(qiáng)解.這是一種理想的解,它比向量均衡問(wèn)題的其他解,例如:弱有效解,有效解,真有效解等,都更好[3,4,6-12].因此,研究上述強(qiáng)向量均衡問(wèn)題,討論其解的存在性與解集的性質(zhì),是有意義的.

下面介紹向量映射錐連續(xù)的概念.

定義 2.1[12]設(shè)f:K→Z,而P?Z是閉凸錐.稱f在x0∈K是P-連續(xù)的,如果對(duì)于Z中零元的任何鄰V,存在x0的鄰域U(x0),使得

稱f在K是P-連續(xù)的,如果f在K的每一點(diǎn)都是P-連續(xù)的.

注 2.1由文獻(xiàn)[12]知,如果f是連續(xù)的,則f同時(shí)是P連續(xù)與?P連續(xù)的;反之,當(dāng)P具有閉凸有界基時(shí),f同時(shí)是P連續(xù)與?P連續(xù)的,才有連續(xù)性.因此,與通常的連續(xù)性相比,錐連續(xù)性是一種較弱的連續(xù)性.

定義 2.2[13]設(shè)K?X為非空凸子集,向量映射f:K→Z.

(i)稱f是凸的,如果?x,y∈K,t∈[0,1],有

(ii)稱f是真擬凸的,如果?x,y∈K,t∈[0,1],有

(iii)稱f擬凸的,如果?z∈Z,集{x∈K:z∈f(x)+P}是凸的;

(iv)稱f是凹(真擬凹,擬凹)的,如果?f是凸(真擬凸,擬凸)的.

易見(jiàn),若f是凸(凹)的,則f是擬凸(擬凹)的;若f是真擬凸(凹)的,則f是擬凸(凹)的.反之,未必成立[13].

用數(shù)學(xué)歸納法,容易證明下面的引理(也可見(jiàn)文獻(xiàn)[5]的引理4.1).

引理 2.1(真擬凸的性質(zhì)) 設(shè)K?X為非空凸子集,向量映射f:K→Z.f是真擬凸的

當(dāng)且僅當(dāng)?x1,x2,···,xn∈K,,均存在某個(gè)i∈{1,2,···,n},使得

仿上面的定義,引進(jìn)下面的概念.

定義 2.3設(shè)f:K×K→Z,{P(x):x∈K}是Z上的控制結(jié)構(gòu).

(i)?x∈K,稱f(x,y)關(guān)于y∈K 是P(x)真擬凸的,即?x∈K,?y1,y2∈K,t∈[0,1],有

f(x,y1)∈f(x,ty1+(1?t)y2)+P(x) 或 f(x,y2)∈f(x,ty1+(1?t)y2)+P(x);

(ii)?y∈K,稱f(x,y)是P(x)連續(xù)的,即對(duì)于Z中零元的任何鄰V,?x0∈K,存在x0的鄰域U(x0),使得

定義 2.4[14]設(shè)K是線性空間X中的非空子集,稱集值映射F:K→2X是KKM映射,如果對(duì)任意的有限集{x1,x2,···,xn}?K,有

其中Co(A)表示集A的凸包.

下面熟知的Fan-KKM定理是本文的主要工具.

Fan-KKM 定理[14]設(shè)K是Hausdor ff拓?fù)渚€性空間X中的非空子集,F:K→2X是KKM映射,?x∈K,F(x)是閉集,且存在x0∈K,使得F(x0)是緊集,則

3 主要結(jié)果

最近,文獻(xiàn)[5]利用數(shù)值化方法研究了(SVEP),得到下面的主要結(jié)果,其中的不等式表示的是Z上的序關(guān)系.

定理 3.1(文獻(xiàn)[5]的定理3.1) 設(shè)X,Z是實(shí)的局部凸Hausdorf f拓?fù)湎蛄靠臻g,K?X是緊凸子集,P?Z是閉的凸點(diǎn)錐,令P的對(duì)偶錐P?有ω?緊凸基B;映射S:K→2K是一個(gè)連續(xù)的集值映射,且對(duì)每個(gè)x∈K,S(x)是非空閉凸集.若映射f:K×K→Z是連續(xù)的,且?x∈K,f(x,x)≥0;而 f(x,y)關(guān)于第一變?cè)?關(guān)于第二變?cè)獢M凸,則存在∈K,使?y∈K,有f(,y)≥0.

關(guān)于上述定理的條件,有兩點(diǎn)值得注意:

(i)作者在文中,并未給出向量映射擬凸的定義,但仔細(xì)檢查該定理的證明,從證明中的(2)式與(3)式,可看出作者利用定理中f(x,y)關(guān)于第二變?cè)獢M凸的條件,實(shí)際上是真擬凸,因此定理的這一條件應(yīng)改為:f(x,y)關(guān)于第一變?cè)?關(guān)于第二變?cè)鏀M凸.這樣,定理的條件才是確切的,不會(huì)引起誤解;

(ii)仔細(xì)檢查該定理的證明,第 444頁(yè),第 7行,作者用到條件但在定理3.1中,由現(xiàn)有的條件得不到此結(jié)論.現(xiàn)舉一簡(jiǎn)單例子說(shuō)明.

設(shè)X=R(實(shí)數(shù)全體,賦予通常的線性拓?fù)?,K=[0,1],定義集值映射S:K→2K如下:?x∈K,令S(x)=.易見(jiàn)S滿足定理的條件,但是K的真子集.因此在定理的敘述中,應(yīng)該加上該條件,否則就不能完成證明.

經(jīng)過(guò)分析與研究,上述定理的條件可簡(jiǎn)化與減弱、結(jié)論可增強(qiáng),改進(jìn)為下面的定理(詳細(xì)證明見(jiàn)后).

定理 3.2設(shè)X,Z是實(shí)的Hausdorf f拓?fù)湎蛄靠臻g,K?X是非空緊凸子集,P?Z是閉凸點(diǎn)錐,映射f:K×K→Z.如果下面條件成立:

(i)?x∈K,f(x,x)≥0;

(ii)?y∈K,f(x,y)關(guān)于x∈K是?P連續(xù)的;

(iii)?x∈K,f(x,y)關(guān)于y∈K 是真擬凸的.

此外,如果添加條件(iv)?y∈K,f(x,y)關(guān)于x∈K是凹的,則問(wèn)題的解集是K的非空緊凸子集.

比較上面兩個(gè)定理,可看出定理3.2有如下的改進(jìn):

(1)X,Z不必是局部凸空間;

(2)不需要P的對(duì)偶錐P?具有ω?緊凸基,以及與集值映射S有關(guān)的條件.眾所周知,對(duì)偶錐具有ω?緊凸基的條件,等價(jià)于P有非空的拓?fù)鋬?nèi)部[15],這是一個(gè)比較強(qiáng)的條件.因?yàn)樵诤芏嗲闆r下,例如,經(jīng)典的Banach空間?p,Lp(?)(p>1)中的標(biāo)準(zhǔn)序錐,其拓?fù)鋬?nèi)部可以是空集 [15];

(3)不需要f關(guān)于兩個(gè)變?cè)B續(xù)的條件,而用比較弱的、關(guān)于第一變?cè)清F連續(xù)的條件代替;

(4)如果僅證明解集是K的非空緊子集,則不需要f關(guān)于第一變?cè)嫉臈l件;如果添加這一條件,則得到解集是K的非空緊凸子集.

事實(shí)上,可以得到下面比定理3.2更一般的結(jié)果,即討論具有控制結(jié)構(gòu)的強(qiáng)向量均衡問(wèn)題(DSVEP)的解.

定理 3.3設(shè) X,Z是實(shí)的 Hausdorf f拓?fù)湎蛄靠臻g,K ?X 是非空閉凸集.集值映射P:K→2Z,?x∈K,P(x)是Z中的閉凸點(diǎn)錐.映射f:K×K→Z.如果下面條件成立:

(i)?x∈K,f(x,x)∈P(x);

(ii)?y∈K,f(x,y)是?P(x)連續(xù)的;

(iii)?x∈K,f(x,y)關(guān)于y∈K是P(x)真擬凸的;

(iv)映射P上半連續(xù);

(v)存在非空緊凸子集B?K,與y0∈B,使得?x∈KB,滿足f(x,y0)/∈P(x).則(DSVEP)有解,即存在∈B,使得?y∈K,f(,y)∈P(),并且其解集是K的緊子集.

證明定義集值映射F:K→2Z如下:

(I)對(duì)任何y∈K,F(y)是K的非空閉子集.

斷言(1)式成立.如果(1)式不對(duì),則f(x0,y)/∈P(x0).因P(x0)閉,故由文獻(xiàn)[16]的定理3知,存在Z中零元的鄰域V,使得

因P(x0)是凸錐,由上式得

由條件(ii),存在x0的鄰域U(x0),使得

因xα→x0,故存在α0,使得?α≥α0,有xα∈U(x0)∩K.由(3)式,得

由(2)式和(4)式,得

另一方面,由條件(iv),存在x0的鄰域(x0),使得

因xα→x0,故存在α?≥α0,使得?α≥α?,xα∈U(x0)∩(x0)∩K.由(6)式得

由xα∈G(y),得

由(7)式與(8)式,得

這與(5)式矛盾.

(II)F是KKM映射.

用反證法.若不然,則存在

即

但由條件(iii)以及真擬凸的性質(zhì)知,存在某個(gè)i0,使得

(10)式與(9)式是矛盾的.所以,F是KKM映射.

(III)F(y0)?B.

因條件(v),KB?KF(y0).已知B緊,又由第(I)段證明知,F(y0)閉,因此,F(y0)是緊的.

定理 3.2的證明在定理3.3中,令P(x)=P,?x∈K;又令B=K,易見(jiàn),定理3.3的條件(iv)與(v)均成立.由定理3.3,(SVEP)的解集是K的非空緊子集.

記該解集為 E,并設(shè)定理 3.2的條件 (iv)成立,下面證明 E是 K 的凸子集.事實(shí)上,設(shè) x1,x2∈E,t∈(0,1),記=tx1+(1?t)x2,要證:∈E.對(duì)于任意給定的 y∈K,因x1,x2∈E,所以有

由條件(iv),有

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Remark on“study of equilibrium problem in topological space”

Fu Junyi,Wang Sanhua
(Department of Mathematics,Nanchang University,Nanchang 330031,China)

Using the cone-continuity of vector mappings which is weaker than the usual continuity,and the well-known Fan-KKM theorem,we prove existence theorems of solutions for strong vector equilibrium problems with domination structure,and discuss the property of solution sets.A main result in the related work is improved.

strong vector equilibrium problem,cone-continuity,domination structure,solution set

O224

A

1008-5513(2014)02-0129-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.002

2013-07-04.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201216,11061023).

傅俊義(1941-),教授,研究方向:向量變分不等式.

2010 MSC:90C33,49J40