初中數(shù)學(xué)絕對(duì)值淺議

李細(xì)妹　鄒循東　周俊伽　葉青梅

摘 要： 絕對(duì)值問題是學(xué)生進(jìn)入初中階段學(xué)習(xí)后在數(shù)學(xué)上遇到的第一個(gè)攔路虎，許多學(xué)生學(xué)習(xí)存在不少疑惑.本文從絕對(duì)值的概念入手，從四個(gè)方面分析了絕對(duì)值學(xué)習(xí)中存在的障礙，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞： 絕對(duì)值 數(shù)軸 運(yùn)算 初中數(shù)學(xué)教學(xué)

絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)比較難的內(nèi)容.學(xué)好絕對(duì)值的概念，對(duì)有理數(shù)的加減法定義的理解和其在二次根式中的應(yīng)用都非常重要，對(duì)高中繼續(xù)學(xué)習(xí)絕對(duì)值方程，絕對(duì)值不等式，體會(huì)絕對(duì)值中蘊(yùn)含的分類和數(shù)形結(jié)合思想具有重要意義.下面從絕對(duì)值的概念教學(xué)、常見的有關(guān)絕對(duì)值的錯(cuò)題及錯(cuò)因分析等方面進(jìn)行論述，進(jìn)而提出中學(xué)絕對(duì)值內(nèi)容的幾點(diǎn)教學(xué)建議，希望能對(duì)一線教師有所幫助.

一、對(duì)絕對(duì)值概念教學(xué)的思考

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)概念或命題看似簡(jiǎn)單，課本上也給出了標(biāo)準(zhǔn)定義，但其真正蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)到底是什么卻令人難以捉摸，甚至在定義中也未能表現(xiàn)出來(lái)，絕對(duì)值的概念就是如此.若只抓住絕對(duì)值概念的表層意義，而未能領(lǐng)悟其實(shí)質(zhì)進(jìn)行教學(xué)，則可能出現(xiàn)的結(jié)果：一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易出現(xiàn)理解上的困難，另一方面，由于未抓住該知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)核心，在解決相關(guān)問題時(shí)只能處理較低水平的問題，解決高水平的問題則很容易出錯(cuò).此外，這種表層意義上的絕對(duì)值概念的學(xué)習(xí)不利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，汲取數(shù)學(xué)精髓，從而舉一反三.那絕對(duì)值的概念到底應(yīng)該如何理解呢？我們不妨來(lái)看看.

這種運(yùn)算與加減乘除等運(yùn)算的區(qū)別在于，后者在兩個(gè)數(shù)之間進(jìn)行，是二元運(yùn)算；而前者是對(duì)一個(gè)數(shù)自身的運(yùn)算，為一元運(yùn)算.學(xué)生在此前接觸的絕大多數(shù)運(yùn)算均為二元運(yùn)算，但中小學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的一元運(yùn)算并不少，如倒數(shù)，相反數(shù)，乘方，開方，對(duì)數(shù)，階乘等，因此，在此處講課時(shí)滲透一元運(yùn)算的思想，既可加深理解前面所學(xué)（倒數(shù)，相反數(shù)），又可為今后的學(xué)習(xí)（乘方，開方，對(duì)數(shù)，階乘）奠定基礎(chǔ).

二、有關(guān)絕對(duì)值的易錯(cuò)題及錯(cuò)因分析

1.對(duì)有理數(shù)集的分類不清.絕對(duì)值概念中涉及對(duì)有理數(shù)域這個(gè)無(wú)限集的一個(gè)本質(zhì)分類，正確掌握這個(gè)分類是掌握絕對(duì)值概念的關(guān)鍵.但學(xué)生過(guò)去僅僅是根據(jù)事物的外部特征或外部聯(lián)系進(jìn)行分類的，即對(duì)接觸到現(xiàn)象分類，因而在此感到手足無(wú)措.這時(shí)需要教師的幫助和引導(dǎo)，使之完成從現(xiàn)象分類到本質(zhì)分類的轉(zhuǎn)化.倘若這種轉(zhuǎn)化不成功，學(xué)生在解題時(shí)就很容易混亂.

3.用字母代替數(shù)未能掌握好.初中一年級(jí)學(xué)生剛接觸代數(shù)時(shí)，經(jīng)歷了由算術(shù)到代數(shù)的過(guò)渡，這其中的一個(gè)重要標(biāo)志就是字母代替數(shù).絕對(duì)值這個(gè)概念，對(duì)于一個(gè)具體的有理數(shù)的絕對(duì)值一般容易理解，而對(duì)于一個(gè)字母或含字母的式子的絕對(duì)值，有的同學(xué)就弄不清楚了.不少同學(xué)認(rèn)為|a|=a，|-a|=a.這是錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，這是將看成了一個(gè)具體的數(shù)，而不是可以代表任何數(shù)的抽象的字母符號(hào).要想正確解這道題，首先，學(xué)生就得理解字母符號(hào)a可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零等任意實(shí)數(shù)，-a也可以是任意實(shí)數(shù)，甚至于1-a，2+3a等這樣一些含有字母的式子都可以表示任意實(shí)數(shù)，也即任意實(shí)數(shù)這個(gè)概念有多種表現(xiàn)形式，這種意義單一形式多樣的不對(duì)稱性加大了理解難度.若將實(shí)數(shù)更具體地分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，則意義與其形式多得多，更難以理解.

4.數(shù)形結(jié)合的意識(shí)較淡薄.課本引入絕對(duì)值概念時(shí)是這樣定義的：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.什么是距離呢？就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的長(zhǎng)度.這也可以說(shuō)明為什么a≥0.此外，為了理解數(shù)軸的實(shí)質(zhì)，必須在教學(xué)中運(yùn)用分類思想，讓學(xué)生明白：在數(shù)軸上0是分界點(diǎn)，將有理數(shù)分成兩部分，負(fù)有理數(shù)在0的左邊，正有理數(shù)在0的右邊.在此基礎(chǔ)上著重強(qiáng)調(diào)：所有有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示.這樣學(xué)生能初步在腦子里建立數(shù)形對(duì)應(yīng)，了解新擴(kuò)充的數(shù)（負(fù)有理數(shù)）與以前學(xué)過(guò)的數(shù)（正有理數(shù)）之間的聯(lián)系，較好地克服對(duì)舊有概念的思維傾向.但是，有些教師在教學(xué)中沒有運(yùn)用分類思想，學(xué)生仍然保留對(duì)舊有概念的思維傾向，不能較好地把數(shù)形結(jié)合起來(lái)，這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)軸概念掌握不好，從而影響對(duì)絕對(duì)值概念的理解.

三、教學(xué)建議

1.對(duì)絕對(duì)值概念要從多個(gè)不同角度理解深化，可結(jié)合之前學(xué)過(guò)的倒數(shù)、相反數(shù)等概念，透過(guò)對(duì)比與分析，滲透絕對(duì)值作為一種運(yùn)算的思想，幫助學(xué)生更好地理解和運(yùn)用絕對(duì)值.

2.在擴(kuò)充數(shù)域的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)對(duì)負(fù)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，鞏固分類討論思想.例如可在講相反數(shù)時(shí)補(bǔ)充雙重符號(hào)化簡(jiǎn)-（-a）=a，這樣可以及時(shí)糾正學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)概念的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).在學(xué)習(xí)數(shù)軸概念時(shí)，應(yīng)使學(xué)生對(duì)有理數(shù)的分類有一個(gè)幾何直觀上的初步理解，并著重強(qiáng)調(diào)每一個(gè)有理數(shù)都確定數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，幫助學(xué)生在頭腦中初步建立數(shù)形對(duì)應(yīng).

3.從具體的數(shù)字到抽象的字母這一認(rèn)識(shí)上的飛躍需要反復(fù)用字母取值訓(xùn)練，因?yàn)檎_的認(rèn)識(shí)不是一次兩次通過(guò)分析和綜合就可以形成的，它需要不斷反復(fù)地進(jìn)行分析、綜合.每一次重復(fù)都會(huì)使我們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更深一步，從而使問題得到解決.絕對(duì)值定義是通過(guò)字母和數(shù)軸提煉出來(lái)的，剛進(jìn)入初中的學(xué)生對(duì)這些抽象的概念是很難適應(yīng)的，我們必須通過(guò)像2，-6，π這些具體的數(shù)字來(lái)體現(xiàn)，然后過(guò)渡到具體的字母.特別是a作為一個(gè)正數(shù)形式出現(xiàn)而可以表示任意的數(shù)表示疑惑比如：若a<0，那么-a=？搖？搖 ？搖？搖.對(duì)于剛接觸這類題目，特別是對(duì)理解力稍差的學(xué)生可以通過(guò)具體的數(shù)字幫其解惑，再通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練使其以后不再錯(cuò).

4.在絕對(duì)值教學(xué)中緊緊抓住絕對(duì)值的幾何意義，注意加深對(duì)距離、數(shù)軸等涉及形的概念的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn).例如可讓兩學(xué)生沿講臺(tái)相反的方向走任意的長(zhǎng)度體會(huì)距離的非負(fù)性，也即絕對(duì)值的非負(fù)性。數(shù)形結(jié)合是中學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)思想，貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)始終，在初一剛剛出現(xiàn)這種思想要充分應(yīng)用多種教學(xué)手段，促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種思想的適應(yīng)和理解.“數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維可以密切知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)類比聯(lián)想的能力，這對(duì)加深概念理解、開拓解決問題的思路有著非常重要的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊軍華.漫談初中數(shù)學(xué)絕對(duì)值[J].新課程學(xué)習(xí)，2011.10.

[2]左效平.談?wù)劷^對(duì)值的學(xué)習(xí)[J].中學(xué)生數(shù)理化，2010.07-08.