人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)（上）常見(jiàn)的分類討論

高學(xué)軍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。把數(shù)學(xué)思想、方法作為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出來(lái)，這不僅是課標(biāo)體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對(duì)學(xué)生實(shí)施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證。由于初一學(xué)生剛升入初中，受小學(xué)數(shù)學(xué)思維定式的影響，往往對(duì)分類討論的問(wèn)題容易出錯(cuò)，得出的答案不全，這就需要我們教師逐步滲透分類討論思想。

所謂分類討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)果，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。分類討論思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。分類的過(guò)程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性和條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問(wèn)題、探索規(guī)律的能力。分類討論一般應(yīng)遵循同一性原則、相稱性原則、互斥性原則、層次性原則。下面就七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)中引起分類討論的一些常見(jiàn)情況作一歸納。

一、在定義中滲透分類思想

有些數(shù)學(xué)概念是分類定義的，例如，對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類。將有理數(shù)按性質(zhì)分為正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)，將有理數(shù)按定義分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生辨別不同分類的依據(jù)，初步體會(huì)分類要不重復(fù)，不遺漏，標(biāo)準(zhǔn)不同則分類不同的基本原則，所以應(yīng)用這些概念解題時(shí)，就需進(jìn)行分類討論。再如，“-a一定是負(fù)數(shù)嗎？”啟發(fā)學(xué)生分a>0，a=0，a<0三種情況考慮。在學(xué)習(xí)絕對(duì)值的定義時(shí)，要有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生從有理數(shù)分類進(jìn)行認(rèn)知的遷移，幫助學(xué)生概括a>0，a=0，a<0時(shí)應(yīng)如何表示，并要求學(xué)生能做一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)題?；?jiǎn)式子

二、在法則、定理、公式中體現(xiàn)分類討論思想

兩個(gè)有理數(shù)比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來(lái)比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識(shí)點(diǎn)，這就突出了學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該不斷重視法則、定理、公式的論證過(guò)程，注意歸納、揭示公式之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生增強(qiáng)分類意識(shí)，體驗(yàn)分類思想方法的作用。

三、根據(jù)圖形中位置的不同分類

在解題過(guò)程中有些幾何問(wèn)題的圖形位置或形狀不能確定，如果解題時(shí)進(jìn)行統(tǒng)一處理，將會(huì)遇到較大困難，這時(shí)就必須進(jìn)行討論，把問(wèn)題分成幾類或幾部分來(lái)處理，采取分而治之的方法來(lái)各個(gè)擊破。比如在教學(xué)線段的相關(guān)計(jì)算時(shí)，學(xué)生對(duì)以下這類題特別容易出錯(cuò)，已知A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，且線段AB=7 cm，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，線段BC=3 cm，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)。

解析：（1）點(diǎn)C在線段AB上：

（2）點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上

再如角度的計(jì)算，在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。

（1）射線OC在內(nèi)；（2）射線OC在外。

在講解時(shí)既滲透了分類討論思想，又滲透了數(shù)形結(jié)合思想，一

舉兩得。

四、根據(jù)條件的不確定性分類

有些題目中的條件開放，致使求解結(jié)果不唯一，若對(duì)這類問(wèn)題考慮不全面，時(shí)常發(fā)生漏解現(xiàn)象。例如，甲、乙兩人分別從相距30 km的A、B兩地同時(shí)相向而行，甲的速度是每小時(shí)6千米，乙的速度是每小時(shí)4千米，問(wèn)兩人幾小時(shí)后相距10千米？就要討論相遇還是沒(méi)有相遇兩種情況。

當(dāng)然，上面歸納的這幾種分類根據(jù)不是相互獨(dú)立的，也不是很全面，有時(shí)這幾種分類根據(jù)常常要交叉使用，尤其對(duì)一些較復(fù)雜的討論題更是如此。

總之，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來(lái)必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。教師在日常的教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地突出分類討論思想，自覺(jué)地重視和加強(qiáng)分類討論思想的教學(xué)，這也是實(shí)施素質(zhì)教育的具體表現(xiàn)，數(shù)學(xué)中的分類討論教學(xué)與素質(zhì)教育中提出的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與探索精神是一致的。在教學(xué)中，我們要多研究、多實(shí)踐、多探索，讓學(xué)生更好地掌握好初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想。

（作者單位 青海油田昆侖石油中學(xué)）