變系數(shù)時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的數(shù)值算法比較

馬亮亮， 劉冬兵

（攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

變系數(shù)時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的數(shù)值算法比較

馬亮亮， 劉冬兵

（攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

文章分別采用顯式差分格式、隱式差分格式和Crank－Nicholson格式，數(shù)值求解變系數(shù)時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程，并從局部截?cái)嗾`差、穩(wěn)定性和計(jì)算量3個(gè)方面對(duì)數(shù)值算法進(jìn)行了比較分析，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了分析結(jié)果。

對(duì)流－擴(kuò)散方程；有限差分格式；穩(wěn)定性；收斂性；變系數(shù)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程具有深刻的物理背景和豐富的理論內(nèi)涵，近年來特別引人注目。目前，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分在物理、生物、化學(xué)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如具有混沌力行為的動(dòng)力系統(tǒng)、擬混沌動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)雜物質(zhì)或者多孔介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)、具有記憶的隨機(jī)游走等。

目前相對(duì)應(yīng)用較多且較成熟的方法依然是有限差分法和級(jí)數(shù)法，主要是Adomian分解和變分迭代方法。理論分析工具主要有傅里葉方法、能量估計(jì)、矩陣方法（特征值）和數(shù)學(xué)歸納法等，還有一些其他的數(shù)值方法，但大都不能作為普適性的數(shù)值方法或缺乏相對(duì)較完善的理論分析。文獻(xiàn)［1－5］研究了分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值算法，借助于一定條件下 Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Grünwald－Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的等價(jià)性，用移位的 Grünwald－Letnikov技巧逼近 Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，得到時(shí)間、空間、時(shí)間和空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的有限差分離散近似格式，進(jìn)而把相應(yīng)的離散格式解釋成時(shí)間、空間、時(shí)間和空間上的離散隨機(jī)游走模型；文獻(xiàn)［6］給出了變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的有限差分格式，并給出了誤差分析；文獻(xiàn)［7］考慮了變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，借助于移位Grünwald－Letnikov技巧和Crank－Nicolson法，得到關(guān)于空間步長一階、時(shí)間步長二階收斂的無條件穩(wěn)定數(shù)值離散格式，并對(duì)空間變量采用外推技術(shù)，使空間步長的收斂階達(dá)到二階；文獻(xiàn)［8］考慮了時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程，利用Mellin變換和拉普拉斯變換得到了此方程的基本解；文獻(xiàn)［9］將文獻(xiàn)［8］中的結(jié)論推廣到n維全空間和半空間上，得到了相應(yīng)的基本解，并考慮了空間－時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的解析解。

分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值算法研究起步不久，理論分析和對(duì)算法改進(jìn)方面的研究有限。分?jǐn)?shù)階算子本身的非局部性這一特殊結(jié)構(gòu)，使得分?jǐn)?shù)階微分方程比整數(shù)階需要花費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間和更高的存儲(chǔ)要求。

本文考慮與時(shí)間和空間都相關(guān)的變系數(shù)時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程，即

其中，0≤t≤T；0≤x≤L。

初始條件和邊界條件分別為：

其中，0＜α；β≤1；1＜γ≤2；v，d≥0。

（x，t）是 Riemann－Liouville空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)［11］，即

1 差分格式

做網(wǎng)格剖分，令τ、h分別是時(shí)間和空間步長，即xi＝ih，i＝0，1，…，N，h＝L／N；tk＝kτ，k＝0，1，…，M，τ＝T／M。

Riemann－Liouville空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用G算法［11］，由于0＜β≤1，1＜γ≤2，所以（x，t）和（x，t）的 G 算法中，最佳移位數(shù)分別是p＝0和p＝1，即采用G1和GS（1）算法離散為：

1.1 顯式差分格式

令為點(diǎn)u（xi，tk）的近似值，即有≈u（xi，tk），則（1）～（3）式的顯式差分離散可表示為：

其中，＝v（ih，kτ）；＝d（ih，kτ）；＝kτ）＝ταΓ（2－α），i＝1，2，…，N，k＝0，1，2，…，M。

初邊值條件為：

其中，i＝0，1，2，…，N；k＝0，1，2，…，M。

為了簡便起見，記＝rm，m＝1，2。當(dāng)r1－r2γ＜2－21－α＝1－b1時(shí)，顯式差分（9）式關(guān)于初值條件穩(wěn)定，且（1）～（3）式的數(shù)值解與精確解的誤差滿足［11］：

即（9）式也是條件收斂的，且收斂階為O（τ＋h）。

1.2 隱式差分格式

使用與顯式差分格式相同的時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義、時(shí)間與空間節(jié)點(diǎn)的表達(dá)方式以及步長的劃分方法。

采用（1）～（3）式，可得：

或改寫為：

（10）式是無條件收斂的，而且收斂階為O（τ＋h）。

1.3 Crank－Nicholson格式

Crank－Nicholson格式實(shí)質(zhì)上是一種隱式差分格式，它主要是在時(shí)間方向上運(yùn)用第j層與第j＋1層值的加權(quán)表示空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)［12］。

使用與顯式差分格式相同的時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義、時(shí)間與空間節(jié)點(diǎn)的表達(dá)方式及步長劃分方法，運(yùn)用時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Crank－Nicholson格式對(duì)（1）～（3）式進(jìn)行離散，可得：

或改寫為：

顯然（12）式是無條件穩(wěn)定的，且方程的數(shù)值解與精確解的誤差滿足［7］：

即Crank－Nicholson差分格式（12）式無條件收斂，且收斂階為O（τ2＋h）。對(duì)（12）式中的空間變量采用外推技術(shù)，可進(jìn)一步得到關(guān)于空間步長的二階收斂階離散方法。

1.4 3種差分格式的分析與比較

根據(jù)已建立的顯式差分格式、隱式差分格式和Crank－Nicholson格式，分析比較3種差分格式的局部截?cái)嗾`差、穩(wěn)定性和計(jì)算量，結(jié)果見表1所列。

從表1可以看出，對(duì)于變系數(shù)時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程，顯式差分格式是計(jì)算量最小的一種差分格式。

但由于顯式差分格式是條件穩(wěn)定的，所以計(jì)算精度較差。另外，利用顯式差分格式進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，還需要注意其穩(wěn)定性。隱式差分格式無條件穩(wěn)定，計(jì)算量較小，且計(jì)算精度較好，是一種適中的差分方法。Crank－Nicholson格式在局部截?cái)嗾`差、穩(wěn)定性和收斂性方面都是三者之中最好的，但其計(jì)算量也最大。

表1 3種差分格式的對(duì)比

2 數(shù)值算例

分別采用顯式差分格式、隱式差分格式和Crank－Nicholson格式，對(duì)如下變系數(shù)時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程進(jìn)行數(shù)值求解：

3種差分方法得到的數(shù)值解與精確解之間的相對(duì)誤差比較，見表2所列。

表2 3種差分格式的相對(duì)誤差比較（x＝0.50）

t顯式 隱式Crank－Nicholson 0.1 0.001 557 755 8 0.000 135 973 6 0.000 052 805 3 0.2 0.001 305 128 2 0.000 379 487 2 0.002 307 692 3 0.3 0.001 223 241 6 0.000 103 975 5 0.000 146 789 0 0.4 0.001 103 448 3 0.000 239 310 3 0.000 137 931 0 0.5 0.000 976 640 0 0.000 308 906 7 0.000 017 066 7 0.6 0.000 862 745 1 0.000 345 098 0 0.000 249 019 6 0.7 0.000 769 574 9 0.000 216 554 8 0.000 109 172 3 0.8 0.000 671 544 7 0.000 565 853 7 0.000 455 284 6 0.9 0.000 427 256 0 0.000 172 081 0 0.000 153 856 4

從表2可以看出，顯式差分格式的初始相對(duì)誤差較大，而隱式差分格式和Crank－Nicholson格式則不存在該問題。另外，顯式差分格式隨著時(shí)間節(jié)點(diǎn)的增加，初始相對(duì)誤差逐漸減小，但始終無法消除初始相對(duì)誤差較大的問題。顯式差分格式的相對(duì)誤差最大，Crank－Nicholson格式的相對(duì)誤差最小，與理論分析結(jié)果一致。

3 結(jié)束語

本文分析比較了數(shù)值求解變系數(shù)時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的3種差分格式，通過比較發(fā)現(xiàn)，顯式差分格式的計(jì)算量最小，但相對(duì)誤差最大，且穩(wěn)定性欠佳；隱式差分格式無條件穩(wěn)定，但相對(duì)誤差也較大；Crank－Nicholson格式的相對(duì)誤差最小，且無條件穩(wěn)定，但計(jì)算量最大。

除本文列舉的差分方法之外，還有一些其他的近似求解方法，如有限元方法［13］、Adomian分解法［14］、配置法［15］及譜方法［16］等，但它們只能求解一些特定的對(duì)流－擴(kuò)散方程，不能作為普適性的數(shù)值算法。因此，變系數(shù)時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的數(shù)值計(jì)算問題還有待進(jìn)一步

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Comparative study of numerical algorithms for time－space fractional convection－diffusion equation with variable coefficients

MA Liang－liang， LIU Dong－bing
（College of Mathematics and Computer，Panzhihua University，Panzhihua 617000，China）

In this paper，the explicit difference scheme，implicit difference scheme and Crank－Nicholson difference scheme are used respectively to solve the time－space fractional convection－diffusion equation with variable coefficients，and their performance is analyzed in terms of local truncation error，stability and computing expense.Finally，a numerical example is given to validate the results.

convection－diffusion equation；finite difference scheme； stability； convergence；variable coefficient

O241.82

A

1003－5060（2014）06－0757－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2014.06.023

2013－06－28；

2013－09－28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10671132；60673192）；四川省科技廳資助項(xiàng)目（2013JY0125）；攀枝花學(xué)院院級(jí)培育資助項(xiàng)目（2012PY08）；攀枝花學(xué)院校級(jí)科研資助項(xiàng)目（2013YB05）和攀枝花學(xué)院院級(jí)科研創(chuàng)新資助項(xiàng)目（Y2013－04）

馬亮亮（1986－），男，甘肅天水人，攀枝花學(xué)院講師.

（責(zé)任編輯 呂 杰）