雙勢(shì)阱中玻色-愛(ài)因斯坦凝聚系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)分析

劉 君， 邱海波， 惠小強(qiáng)

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121； 2.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710121)

雙勢(shì)阱中玻色-愛(ài)因斯坦凝聚系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)分析

劉 君1，2， 邱海波2， 惠小強(qiáng)2

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121； 2.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710121)

在準(zhǔn)經(jīng)典理論下，研究雙勢(shì)阱中的兩組分玻色-愛(ài)因斯坦凝聚系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)屬性。利用平均場(chǎng)近似寫(xiě)出該量子系統(tǒng)的經(jīng)典哈密頓量，通過(guò)數(shù)值及線性化分析，找到系統(tǒng)的對(duì)稱型、反對(duì)稱型、各向同性型及非對(duì)稱型共四類不動(dòng)點(diǎn)。分別討論兩種特殊模式下的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目的變化情況和穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)兩種模式出現(xiàn)不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目的上下限，且兩種模式下不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性與對(duì)應(yīng)系數(shù)矩的陣特征值有關(guān)。

兩組分玻色-愛(ài)因斯坦凝聚系統(tǒng)；不動(dòng)點(diǎn)；哈密頓系統(tǒng)

由于材料科學(xué)和納米微加工技術(shù)的進(jìn)步，電子器件尺寸越來(lái)越小，電子器件的大小進(jìn)入了介觀和納米尺度，現(xiàn)代物理學(xué)器件的研究進(jìn)入了量子可調(diào)控時(shí)期[1]。與此同時(shí)隨著社會(huì)信息處理和存儲(chǔ)量的爆脹，微處理器制造技術(shù)已經(jīng)達(dá)到了經(jīng)典極限，量子信息和量子計(jì)算將會(huì)是未來(lái)電子信息輸運(yùn)技術(shù)發(fā)展的重要方向和支柱，而雙勢(shì)阱下的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)(Bose-Einstein Condensates, BECs)所具有的量子隧穿特性將對(duì)其發(fā)展提供很有利的幫助[2-3]。

近年來(lái)，有很多關(guān)于單組分BECs在雙阱下的研究，見(jiàn)文[4-6]及其參考文獻(xiàn)。與單組分情形相比較，多組分BECs由于存在種間相互作用而表現(xiàn)出更為豐富的物理特性[7]。如，自囚禁和約瑟夫振蕩現(xiàn)象的出現(xiàn)就與不動(dòng)點(diǎn)的分析密切相關(guān)[8-10]，其根源在于量子特征值和經(jīng)典不動(dòng)點(diǎn)之間存在聯(lián)系[11]。不動(dòng)點(diǎn)是20世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)，1909年，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維創(chuàng)立了不動(dòng)點(diǎn)理論。在此基礎(chǔ)上，不動(dòng)點(diǎn)理論有了進(jìn)一步的發(fā)展，并產(chǎn)生了用迭代法求不動(dòng)點(diǎn)的迭代思想。美國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨1923年發(fā)現(xiàn)了更為深刻的不動(dòng)點(diǎn)理論，稱為萊布尼茨不動(dòng)點(diǎn)理論。1927年，丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森研究不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，并提出了尼爾森數(shù)的概念。不動(dòng)點(diǎn)目前主要的研究方向是受限或不限于歐氏空間中多面體上的映射，同時(shí)不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的定理和理論也廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模、非線性動(dòng)力學(xué)、分岔理論等研究[12]。

本文將由BECs系統(tǒng)的哈密頓量得到正則方程，繼而得到不動(dòng)點(diǎn)的表達(dá)式，據(jù)此對(duì)其進(jìn)行分類，并以兩種特殊模式下的不動(dòng)點(diǎn)為例，分析不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目的變化和穩(wěn)定性情況。

1 不動(dòng)點(diǎn)的分類

在實(shí)驗(yàn)上，兩個(gè)耦合的玻色-約瑟夫遜結(jié)可通過(guò)囚禁雙勢(shì)阱中兩組分BECs來(lái)實(shí)現(xiàn)[13]。根據(jù)準(zhǔn)經(jīng)典理論，相應(yīng)的哈密頓量為[14]

(1)

其中Sσ為雙勢(shì)阱中原子a和原子b的布居率差，而

θσ=θσL-θσR

是不同原子在左阱(L)和右阱(R)中的相對(duì)相位差，vσ是不同原子在勢(shì)阱間的隧穿率，uσ是種內(nèi)耦合強(qiáng)度，uab是種間耦合強(qiáng)度，a和b表示不同種的BECs，此外，以

表示單組分BECs的隧穿動(dòng)力學(xué)行為，而記

HI=uabSaSb

為耦合項(xiàng)。該哈密頓系統(tǒng)的正則方程為

(2)

只考慮兩組分BECs具有相同的動(dòng)力學(xué)特性的情形，即

ua=ub=u，va=vb=v。

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，正則方程(2)的等式右側(cè)為零時(shí)可解得不動(dòng)點(diǎn)的表達(dá)式

分情形進(jìn)行討論。當(dāng)Sa=Sb時(shí)，有

當(dāng)Sa≠Sb,且Sa和Sn互為相反數(shù)時(shí)，有

根據(jù)Sa和Sb的關(guān)系,可將不動(dòng)點(diǎn)分為對(duì)稱型(Sa=Sb)、反對(duì)稱型(Sa=-Sb或Sb=-Sa)、各向同性型(Sa=Sb=0)以及非對(duì)稱型(|Sa|≠|(zhì)Sb|)共4類[15]。

2 不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目的變化分析

接下來(lái)討論

(θa,θb)=(0,0), (θa,θb)=(π,π)

兩種模式下不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目的變化情況。

利用正則方程(2)等式右邊等于0和模式條件，可以得到

(3)

這里的θa和θb同時(shí)是0或π。

方程(3)定義了在平面(sa,sb)上的兩條曲線。對(duì)應(yīng)于不同的u,uab和v 的值,兩種模式下所描繪出的曲線分別如圖1和圖2所示。在每幅圖中，兩條曲線的交叉點(diǎn)代表著相應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)。

圖1(a)對(duì)應(yīng)的是1個(gè)各向同性型不動(dòng)點(diǎn)，而圖1(b)對(duì)應(yīng)的是1個(gè)各向同性型不動(dòng)點(diǎn)和2個(gè)反對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)。圖2(a)對(duì)應(yīng)著1個(gè)各向同性型不動(dòng)點(diǎn)，圖2(b)對(duì)應(yīng)著1個(gè)各向同性型和2個(gè)對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)，圖2(c)對(duì)應(yīng)著1個(gè)各向同性型、2個(gè)對(duì)稱型和2個(gè)反對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)，圖2(d)對(duì)應(yīng)著1個(gè)各向同性型、2個(gè)對(duì)稱型、2個(gè)反對(duì)稱型和4個(gè)非對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)?？梢?jiàn)，各向同性型不動(dòng)點(diǎn)始終存在的，對(duì)稱型和反對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)的出現(xiàn)則取決于相應(yīng)的邊界條件，而非對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)僅存在數(shù)值分析性而不具有解析分析性。

模式(θa,θb)=(0,0)的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目變化比模式(θa,θb)=(π,π)簡(jiǎn)單，前者只有各向同性型、反對(duì)稱型和對(duì)稱型3種，且不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目最多出現(xiàn)了3個(gè)，而后者則包含了全部4種類型，且不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目最多有9個(gè)。

3 不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性的分析

另記

(4)

根據(jù)正則方程(2)，模式(θa,θb)=(π,π)下的運(yùn)動(dòng)方程可線性化為

(5)。

由系數(shù)矩陣Ω可以得到相應(yīng)特征值的平方項(xiàng)

(6)

其中

模式(θa,θb)=(0,0)中特征值平方項(xiàng)的推導(dǎo)更為簡(jiǎn)單，詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)表1，由于非對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)不存在解析解，故未列舉。

表1 兩種特殊模式的不動(dòng)點(diǎn)特征值解析表達(dá)式

由表1可知，只要相應(yīng)類型的不動(dòng)點(diǎn)的特征值λ+和λ-都是實(shí)數(shù)，那么此時(shí)該類型的不動(dòng)點(diǎn)就是穩(wěn)定的，反之亦然。

圖3和圖4分別給出兩種模式的不動(dòng)點(diǎn)在一定范圍內(nèi)的分布。不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目及相應(yīng)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性隨著uab和u取值的不同會(huì)有所變化。

在圖3(a)中，從區(qū)域A到區(qū)域B，不動(dòng)點(diǎn)的數(shù)目從1個(gè)變?yōu)榱?個(gè)；各向同性型不動(dòng)點(diǎn)始終存在但由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定；區(qū)域B中出現(xiàn)了2個(gè)穩(wěn)定的反對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)。

在圖4(a)中，區(qū)域A、B、C和D中的不動(dòng)點(diǎn)的數(shù)目分別為1個(gè)、3個(gè)、5個(gè)和9個(gè)，各向同性型不動(dòng)點(diǎn)始終存在但僅在區(qū)域A中是穩(wěn)定的；區(qū)域B、C、D中都有2個(gè)穩(wěn)定的對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)；區(qū)域C、D中都有2個(gè)反對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)穩(wěn)定，另一個(gè)不穩(wěn)定；非對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)僅出現(xiàn)在區(qū)域D中，均不穩(wěn)定。

圖3(b)和圖4(b)分別與圖3(a)和圖4(a)的情況類似，相應(yīng)區(qū)間不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性并沒(méi)有變化，只是某些不動(dòng)點(diǎn)的類型發(fā)生了變化：各向同性型和非對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)的類型未發(fā)生變化，對(duì)稱型和反對(duì)稱型的不動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)到了彼此相反的類型。

4 結(jié)語(yǔ)

分析在一個(gè)對(duì)稱的雙勢(shì)阱下BECs系統(tǒng)模型的不動(dòng)點(diǎn)情況，結(jié)果表明，所有不動(dòng)點(diǎn)分成四大類：對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)、反對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)、各向同性型不動(dòng)點(diǎn)及非對(duì)稱型不動(dòng)點(diǎn)。通過(guò)正則方程線性化，先得到系數(shù)矩陣，再得到系數(shù)矩陣得到特征值，進(jìn)而可說(shuō)明(θa,θb)=(0,0)和(θa,θb)=(π,π)兩種模式不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目的變化情況，并結(jié)合穩(wěn)定性的分析畫(huà)出了這兩種動(dòng)力學(xué)模式下不動(dòng)點(diǎn)分布的相圖。對(duì)非線性系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的分析結(jié)果可用于研究非線性系統(tǒng)測(cè)度同步和分岔現(xiàn)象。

[1] Taglieber M, Voigt A C, Aoki T, et al. Quantum Degenerate Two-Species Fermi-Fermi Mixture Coexisting with a Bose-Einstein Condensate[J]. Physical Review Letters, 2008, 100(1): 401-403.

[2] Grifoni M, H?nggi P. Driven quantum tunneling[J]. Physics Reports, 1998, 304(5): 229-233.

[3] Timmermans E, Tommasini P, Hussein M, et al. Feshbach resonances in atomic Bose-Einstein condensates[J]. Physics Reports, 1999, 315(2): 199-205.

[4] Tsukada N, Gotoda M, Nomura Y. Laser-assisted coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review A, 1999, 59(5): 3862-3867.

[5] Papp S B, Pino J M, Wieman C E. Tunable Miscibility in a Dual-Species Bose-Einstein Condensate[J]. Physical Review Letters, 2008, 101(4): 402-405.

[6] Myatt C J, Burt E A, Christ R W, et al. Production of Two Overlapping Bose-Einstein Condensates by Sympathetic Cooling[J]. Physical Review A, 1997, 78(4): 586-589.

[7] Smerzi A, Fantoni S, Giovanazzi S, et al. Quantum coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review Letters, 1997, 79(25): 4950-4953.

[8] Milburn G J, Corney J, Wright E M, et al. Quantum dynamics of an atomic Bose-Einstein condensate in a double-well potential[J]. Physical Review A, 1997, 55(6): 4318-4324.

[9] Raghavan S, Smerzi A, Fantoni S, et al. Coherent oscillations between two weakly coupled Bose-Einstein condensates: Josephson effects, π oscillations, and macroscopic quantum self-trapping[J]. Physical Review A, 1999, 59(1): 620-633.

[10] Mahmud K W, Perry H, Reinhardt W P. Quantum phase-space picture of Bose-Einstein condensates in a double well[J]. Physical Review A, 2005, 71(2): 615-622.

[11] Creffield C E, Monteiro T S. Tuning the mott transition in a Bose-Einstein condensate by multiple photon absorption[J]. Physical Review Letters, 2006, 96(21): 403-406.

[12] Pu H, Bigelow N P. Properties of Two-Species Bose Condensates[J]. Physical Review Letters, 1998, 80(6): 1130-1133.

[13] Ng H T, Law C K, Leung P T. Quantum-correlated double-well tunneling of two-component Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review A, 2003, 68(1): 604-609.

[14] Qiu Haibo, Tian Jing, Fu Libin. Collective dynamics of two-species Bose-Einstein-condensate mixtures in a double-well potential[J]. Physical Review A, 2010, 81(4): 613-617.

[15] Xu Xiaoqiang, Lu Lihua, Li Youquan. Stability and dynamical property for two-species ultracold atoms in double wells[J]. Physical Review A, 2008, 78(4): 609-615.

[責(zé)任編輯:王輝]

Analysis of the fixed point for two components Bose-Einstein condensates in a double-well potential

LIU Jun1,2, QIU Haibo2, XI Xiaoqiang2

(1.School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China; 2. School of Science, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

The dynamic properties of the two components Bose-Einstein condensates system in a double-well potential is studied within classical theory in this paper. The mean-field approximation is used to write the classical Hamiltonian of the quantum system, and then the numerical and linear analysis is used to find four types of the fixed point: symmetrical, antisymmetrical, isotropic and asymmetrical. The variety of the fixed point number and their stability of the two special modes are discussed. The results show that the stability of the fixed point is related to the eigenvalues of the matrix.

two components Bose-Einstein condensates system, the fixed point, Hamiltonian system

10.13682/j.issn.2095-6533.2014.01.012

2013-09-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11104217, 11174165)

劉君(1989-)，男，碩士研究生,研究方向?yàn)樾盘?hào)與信息處理。E-mail: 1009170148@qq.com 邱海波(1982-)，男，博士，講師,從事耦合哈密頓系統(tǒng)測(cè)度同步的研究。E-mail: tooladde@gmail.com

O552.6

A

2095-6533(2014)01-0058-04