基于灰色-馬爾科夫理論的加工誤差預測*

鄒連龍，叢 明，何一冉

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024)

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基于灰色-馬爾科夫理論的加工誤差預測*

鄒連龍，叢 明，何一冉

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024)

為了預測加工誤差，采用灰色系統(tǒng)理論GM(1,1)模型對高速加工中心連續(xù)鉆削并鉸孔的12個mm孔的相對誤差進行了建模，求解得到時間響應序列模型及灰色預測值；采用馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣對灰色系統(tǒng)理論的預測結(jié)果進行狀態(tài)劃分并修正，并建立預測結(jié)果的對比曲線圖；采用方差比與小概率誤差對預測精度進行檢驗。結(jié)果證明，采用灰色系統(tǒng)理論與馬爾科夫概率矩陣修正方法相結(jié)合，對加工誤差進行預測是可行的，為相關誤差補償技術的研究奠定了良好的基礎。

誤差預測；灰色系統(tǒng)理論；馬爾科夫；概率轉(zhuǎn)移矩陣；

0 引言

加工誤差會降低工件的精度，影響工件的使用性能，過大的誤差甚至會導致工件報廢[1]，所以加工精度是保證工件性能的重要因素。對加工誤差進行預測在提高機床加工精度，降低生產(chǎn)成本方面可以起到關鍵的作用?，F(xiàn)有的誤差預測方法主要集中在對機床部件誤差的離線分析、刀齒軌跡分析、對加工過程進行仿真分析及預測等，并不能充分考慮加工過程中的外部影響因素，如環(huán)境溫度變化、機床振動、甚至機床擺放位置的影響等。實際上，影響加工誤差的因素有很多，包括已知因素與未知因素，因此可以將其視為灰色系統(tǒng)，可以采用灰色系統(tǒng)理論對誤差的未來發(fā)展趨勢進行預測。

灰色系統(tǒng)理論是由我國學者鄧聚龍于1982年創(chuàng)立的。它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象，主要通過對“部分”已知信息的生成和開發(fā)，提取有價值的信息，實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為的正確認識和有效控制[2-4]。GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的基本模型，根據(jù)此模型可準確預知信息的變化趨勢，但針對振幅較大的隨機數(shù)據(jù)的預測并不準確。馬爾科夫預測方法是根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來預測系統(tǒng)的未來發(fā)展[5]，是以隨機變化的數(shù)據(jù)序列為基礎，對序列的變化進行修正預測。

本文將灰色系統(tǒng)理論與馬爾科夫(Markov)理論相結(jié)合，采用灰色系統(tǒng)理論的GM(1,1)模型對加工中心連續(xù)加工的φ12mm孔x軸向誤差值進行建模，對后續(xù)數(shù)值進行預測并還原原始序列值，將預測值與真實值相比較，得出預測誤差，并運用馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣對誤差分布規(guī)律進行預測，從而修正由灰色系統(tǒng)理論得出的預測結(jié)果，通過精度檢驗證明該模型可靠，可以進行加工誤差預測。

1 加工誤差數(shù)據(jù)的采集及灰色預測

1.1 加工誤差數(shù)據(jù)的采集

本文采用某機床廠的高速四軸加工中心對鋁合金材料進行連續(xù)鉆削并鉸孔，孔徑均為12mm，采用三坐標測量儀測量各個孔的x軸向誤差值。共連續(xù)加工16個孔，取前12個孔的x軸向誤差值為原始數(shù)據(jù)，如表1所示。對其余四個孔的x軸向誤差值進行預測。

表1 原始數(shù)據(jù)的測量誤差值

為避免不同參數(shù)對不同孔的加工誤差的影響，應使每個孔的加工誤差影響因子大體相同，因此在加工過程中，各個孔應保持各項參數(shù)一致，如進給量、切削速度、切削時間等，并在過程中無換刀動作。在測量時，同樣為避免不同的測量參考點對孔精度的影響，要以同一個銷孔作為測量的坐標原點。

1.2 加工誤差的灰色GM(1,1)建模及預測

灰色系統(tǒng)理論認為，盡管客觀系統(tǒng)表象復雜，數(shù)據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內(nèi)在的規(guī)律[2]?；疑獹M(1,1)模型通過對原始數(shù)據(jù)進行累加(或累減)處理，將信息變化規(guī)律白化，可以更清楚地看到信息變化的情況，進而對信息變化進行預測。

加工誤差的灰色預測建模過程如下：

x(0)為原始非負序列為：

x(0)=[0.0036,0.0056,0.0078,0.0070,0.0025,0.0074, 0.0023,0.0090,0.0091,0.0026, 0.0017,0.0108]

對x(0)進行一階累加處理，得到x(1)為：

x(1)=[0.0036,0.0092,0.0170,0.0240,0.0265,0.0339, 0.0362,0.0452,0.0543,0.0569,0.0586,0.0694]

對x(1)建立白化方程，即GM(1,1)模型：

(1)

(2)

求解得到時間響應序列為：

(3)

其中，k=1,2…,n。

對其做累減處理后，得其預測模型為：

(4)

其中，k=1,2,…，n。

一次殘差序列w(i)與相對誤差序s(i)列分別為：

(5)

(6)

其中，i=1，2，…，n。

灰色GM(1,1)預測結(jié)果如下表2所示。

表2 灰色GM(1,1)模型預測結(jié)果

灰色GM(1,1)模型實現(xiàn)了利用離散數(shù)據(jù)序列建立連續(xù)動態(tài)微分方程模型的過程，通過模型可看出數(shù)據(jù)的變化趨勢，并對下一部分數(shù)據(jù)值進行預測。該模型對單調(diào)遞增、單調(diào)遞減序列的預測較為準確，但在對隨機序列預測方面，尚存在欠缺。

2 馬爾科夫理論對灰色預測值的修正

2.1 馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移理論

由于灰色模型預測要求其累加生成序列具有指數(shù)性質(zhì)，這樣才能用微分方程擬合[6-7]，但在原始數(shù)列隨機性較強、振幅較大的情況下，累加序列未必會有指數(shù)性質(zhì)，故此時灰色預測數(shù)據(jù)誤差較大。馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣是隨機動態(tài)系統(tǒng)的預測模型[8]，通過馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣對灰色預測所產(chǎn)生的誤差進行修正，可以提高灰色預測精度，滿足預測要求。

根據(jù)馬爾科夫理論，將數(shù)據(jù)序列分為若干狀態(tài)[9]，以E1，E2，…En來表示，Pij(k)表示由狀態(tài)Ei經(jīng)過k步變?yōu)镋j的概率，即：

(7)

其中，nij(k)表示Ei狀態(tài)經(jīng)過k步變?yōu)镋j的次數(shù)；Ni表示Ei出現(xiàn)的總次數(shù)。

則k步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

(8)

若初始狀態(tài)Ei的初始向量為V(0)，則經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移后，向量V(k)為：

V(k)=V(0)·R(k)

(9)

2.2 加工誤差灰色預測結(jié)果的馬爾科夫修正

根據(jù)灰色預測結(jié)果，將前12組數(shù)據(jù)的相對誤差情況依次分為編號為1～6的六個狀態(tài)區(qū)間：[-0.759,-0.4)，[-0.4,-0.2)，[-0.2,0)，[0,0.2)，[0.2,0.4)，[0.4,0.73)。相對誤差所在的狀態(tài)區(qū)間如表3所示。

表3 預測誤差概率狀態(tài)劃分

依據(jù)馬爾科夫預測方法，取7步概率轉(zhuǎn)移矩陣，其中：

同理可得其余步數(shù)的轉(zhuǎn)移矩陣R(k)其中k=2，3，…，7。

取預測序列的最后7組預測值，根據(jù)以上7步概率轉(zhuǎn)移矩陣，預測第13組數(shù)據(jù)的誤差概率轉(zhuǎn)移過程如表4所示。

表4 馬爾科夫預測概率轉(zhuǎn)移過程

根據(jù)式(9)對其他3組預測數(shù)據(jù)進行馬爾科夫修正，并對其他還原值進行相應步數(shù)的馬爾科夫修正，得到新的修正值及誤差如表5所示。

表5 馬爾科夫理論修正的預測結(jié)果

由馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣方法修正原始灰色預測值后，將原始值與灰色預測值、馬爾科夫修正值擬合成同一坐標系內(nèi)的曲線，如圖1所示。

圖1 原始值與灰色預測值、馬爾科夫修正值擬合曲線圖

由圖中可見，真實值波動較大，采用灰色系統(tǒng)理論得出的預測值較平滑，近似于一條平滑直線，反映了真實值的緩慢上升的變化趨勢，這也符合實際的加工情況，由刀具磨損帶來的誤差會隨著加工次數(shù)的增多而加大，但加工誤差的灰色預測值較原始值偏差較大。由馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣方法修正后的預測值波動趨勢與原始值相似，預測較為準確，得到修正后的預測結(jié)果較原預測值在精度上有了很大的提高。

2.3 預測精度檢驗

以后驗指標均方差比c與小誤差概率P來檢驗預測精度[10]。原始序列x(0)及一次殘差序列w'(i)的標準差S1和S2分別為：

均方差比與小誤差概率分別為：

c=S2/S1=0.2374

由c<0.35，P>0.95可知，精度等級為1級，該模型可靠，所以對加工誤差的預測可以根據(jù)灰色-馬爾科夫理論進行預測。

3 結(jié)束語

本文采用灰色GM(1,1)模型對加工中心連續(xù)鉆削并鉸孔的16個φ12孔x軸向誤差的大小進行了建模與預測，并用馬爾科夫概率轉(zhuǎn)移矩陣方法對灰色預測值進行了修正，使精度有所提高。精度檢驗結(jié)果表明，采用灰色-馬爾科夫理論方法對加工誤差進行預測是可行的，效果理想。通過對加工誤差的預測，可預知加工誤差的大小，提前采取相應的誤差補償措施，提高加工精度。

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(編輯 李秀敏)

Machining Error Prediction Based on Grey-Markov Theory

ZOU Lian-long, CONG Ming, HE Yi-ran

(School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116023, China)

In order to predict machining error, the model of relative error of 12 holes, which were drilled and reamed with machining center and the diameter of each one is 12, was made with the GM (1, 1) model of grey system theory and the time response sequence of the model and grey prediction results were achieved. Using Markov probability transfer matrix, the classification of grey prediction results were stated and modified and the graph of comparison of prediction results was established. The accuracy was tested based on the variance ratio and small error probability. The results prove that the combination of the grey theory and Markov probability matrix correction method is feasible to the machining error prediction, laid a good foundation for error compensation.

error prediction; grey system theory; markov; transfer matrix;

1001-2265(2014)01-0014-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.004

2013-04-01

國家“高檔數(shù)控機床與基礎制造設備”科技重大專項課題(2011ZX04015-021)

鄒連龍(1988—)，男，長春人，大連理工大學碩士研究生，主要研究方向為高速切削與精密加工技術， (E-mail)zll114@hotmail.com。

TH161; TG65

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