蝸桿傳動(dòng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

胡啟國(guó),謝國(guó)賓，庹 奎

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與汽車工程學(xué)院，重慶 400074)

蝸桿傳動(dòng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

胡啟國(guó),謝國(guó)賓，庹 奎

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與汽車工程學(xué)院，重慶 400074)

將可靠性設(shè)計(jì)理論與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論相結(jié)合，討論了在應(yīng)力及強(qiáng)度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的情況下，蝸桿傳動(dòng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題，建立了蝸桿傳動(dòng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)使用Matlab優(yōu)化工具箱對(duì)該模型進(jìn)行求解，得出了既可靠又最優(yōu)的參數(shù)值，并從蝸桿傳動(dòng)的可靠度方面驗(yàn)證了此種方法的可行性。結(jié)果顯示，該方法不僅提高了蝸桿傳動(dòng)設(shè)計(jì)的效率和可靠度，對(duì)解決其他機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題同樣具有重要的參考價(jià)值。

蝸桿傳動(dòng)；Matlab優(yōu)化工具箱；可靠性

0 引言

在機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域，優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性設(shè)計(jì)的發(fā)展給整個(gè)機(jī)械設(shè)計(jì)學(xué)科帶來(lái)了深刻的影響[1]。但優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性設(shè)計(jì)往往不能同時(shí)實(shí)現(xiàn)。所以，要使產(chǎn)品既有可靠性要求，又有最優(yōu)的設(shè)計(jì)結(jié)果，就必須將這兩個(gè)理論結(jié)合起來(lái)，即可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[2]?？煽啃詢?yōu)化設(shè)計(jì)既保證了零部件的經(jīng)濟(jì)效益，又能使其安全可靠的運(yùn)行。

機(jī)械零部件可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題一般包括三個(gè)方面的內(nèi)容：質(zhì)量(重量)、成本、可靠度。機(jī)械零部件的可靠性優(yōu)化問(wèn)題可分為兩類：①使零部件的可靠度最大；②使零部件費(fèi)用(或體積、重量等)最小或性能最好[3]。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了深入的研究，魏宗平等[4]基于非概率可靠性理論和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，提出了機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)的非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。樊立梅[5]提出了把減小斜齒輪體積和提高傳動(dòng)平穩(wěn)可靠性結(jié)合，進(jìn)行多目標(biāo)聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。Tae Min Cho等[6]提出了基于移動(dòng)漸近線法的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。張偉強(qiáng)等[7]應(yīng)用攝動(dòng)法和可靠性設(shè)計(jì)理論，在基本隨機(jī)參數(shù)的概率特性已知的情況下，對(duì)蝸桿傳動(dòng)進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)。本文以普通圓柱蝸桿傳動(dòng)為例，在蝸輪輪齒應(yīng)力及強(qiáng)度均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布情況下，以蝸輪蝸桿體積之和最小作為可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，并建立可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。

1 蝸桿傳動(dòng)可靠性優(yōu)化模型

1.1 設(shè)計(jì)要求

已知輸入功率P，輸入軸轉(zhuǎn)速n1，傳動(dòng)比i，要求在滿足蝸桿傳動(dòng)齒面接觸疲勞強(qiáng)度、齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的可靠度和幾何邊界約束的條件下，使得蝸桿傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)最緊湊。

1.2 目標(biāo)函數(shù)及設(shè)計(jì)變量

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，使蝸桿傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)最緊湊。同時(shí)考慮到在蝸桿傳動(dòng)中，通常采用淬硬磨削的鋼制蝸桿，而采用貴重的青銅等材料制造蝸輪齒圈，以使傳動(dòng)副具有良好的減磨性、耐磨性和抗膠合的能力。為了節(jié)省較貴重的有色金屬，降低成本，也常要求蝸桿傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)緊湊。故在本文中，可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為蝸輪蝸桿的體積之和最小，即

+m2(q-2.4)2(0.9mZ2-L′)]

(1)

式中，B2—蝸輪齒寬,

B2=[m(q+2)-0.5m]sinγ+0.8m;

γ—蝸輪包角的一半，一般取γ=50°;

L'—蝸桿螺紋部分的長(zhǎng)度;

L'=(12.5+0.09Z2)m+25。

由式(1)可知，蝸桿的頭數(shù)Z1、蝸桿的直徑系數(shù)q和蝸輪的端面模數(shù)m決定了蝸輪蝸桿的體積之和，而式中傳動(dòng)比μ一般為給定值，故取設(shè)計(jì)變量為：

X=[x1,x2,x3]T=[Z1,q,m]T

1.3 建立約束條件

(1)接觸疲勞強(qiáng)度的可靠度約束

g1(X)=[RH]-RH≤0

(2)

假設(shè)蝸輪輪齒應(yīng)力及強(qiáng)度均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。則根據(jù)應(yīng)力—強(qiáng)度對(duì)數(shù)正態(tài)分布的干涉模型可知，可靠度R與可靠度系數(shù)ZR有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，故式(2)亦可表示為：

g1(X)=Z[RH]-ZRH≤0

式中Z[RH]的值由給定的可靠度系數(shù)[RH]的值查正態(tài)分布表得到。接觸疲勞強(qiáng)度的可靠度可表示為：

(3)

(2)彎曲疲勞強(qiáng)度的可靠度約束

g2(X)=[RF]-RF≤0

(4)

與(1)同理，式(4)亦可表示為：

g2(X)=Z[RF]-ZRF≤0

式中Z[RF]的值由給定的可靠度系數(shù)[RF]的值查正態(tài)分布表得到。彎曲疲勞強(qiáng)度的可靠度可表示為：

(5)

(3)蝸桿頭數(shù)的約束

為提高傳動(dòng)效率，對(duì)于做動(dòng)力傳遞的蝸桿頭數(shù)要求Z1=2～4。

(4)蝸輪齒數(shù)的約束

對(duì)于做動(dòng)力傳遞的蝸輪，其齒數(shù)一般要求Z2=μZ1=30～80。

(5)模數(shù)的約束

對(duì)于中小功率的蝸桿傳動(dòng)，其模數(shù)要求m=2～18。

(6)蝸桿直徑系數(shù)的約束

根據(jù)蝸桿傳動(dòng)的使用情況，其直徑系數(shù)一般推薦為q=7～20。

(7)蝸桿剛度的約束

當(dāng)蝸桿軸嚙合部位受力后，將使軸產(chǎn)生撓曲，從而造成偏載，加劇磨損。所以，一般要求蝸桿軸的最大撓度不超過(guò)0.01m，即：

(6)

式中，L—蝸桿的支撐跨度，L=0.9d2=0.9mμZ1；

E—彈性模量E=2.06×105MPa

由于材料和結(jié)構(gòu)上的原因，蝸桿螺旋部分的強(qiáng)度總是高于蝸輪輪齒的強(qiáng)度，所以失效經(jīng)常發(fā)生在蝸輪輪齒上，蝸桿很少發(fā)生疲勞破壞，所以建立約束條件時(shí)不考慮蝸桿輪齒強(qiáng)度的可靠性約束。

2 應(yīng)用實(shí)例

設(shè)計(jì)某驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)上的普通圓柱蝸桿傳動(dòng)，數(shù)據(jù)處理之后為，蝸輪轉(zhuǎn)速n2=6r/min，輸出軸扭矩T2=4.2×105N·mm，工作平穩(wěn)，齒數(shù)比μ=18，壓力角α=20°，蝸輪齒圈材料為ZCuSn10P1，接觸疲勞極限為σHlim=220MPa，彎曲疲勞極限為σFlim=56MPa，傳動(dòng)效率η=0.83，要求蝸桿傳動(dòng)的工作可靠度大于0.99，最大使用期限8年。

2.1 計(jì)算可靠度系數(shù)

(1)計(jì)算接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的均值及變異系數(shù)

蝸輪的接觸應(yīng)力均值計(jì)算公式：

(7)

式中，ZE—材料的彈性影響系數(shù)，

K—載荷系數(shù)；

蝸輪的接觸應(yīng)力變異系數(shù)：

(8)

式中，CZE,CK,CT2分別為材料彈性影響系數(shù)、載荷系數(shù)、輸出軸扭矩的變異系數(shù)。

蝸輪的彎曲應(yīng)力均值計(jì)算公式：

(9)

式中，mn—蝸輪法面模數(shù)；

b2—蝸輪齒根弧長(zhǎng)。

蝸輪的彎曲應(yīng)力變異系數(shù)：

(10)

式中，CFt2,Cb2分別為蝸輪圓周力、蝸輪齒根弧長(zhǎng)的變異系數(shù)。

(2)計(jì)算接觸疲勞極限和彎曲疲勞極限的均值及變異系數(shù)

對(duì)于本文所選取的蝸輪，根據(jù)參考文獻(xiàn)[8-9]，接觸疲勞極限的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差SlσHlim=0.1，彎曲疲勞極限的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差SlσFlim=0.2。

對(duì)數(shù)接觸疲勞極限均值

klσHlim=2.326SlσHlim+lnσHlim

接觸疲勞極限均值

同理

對(duì)數(shù)彎曲疲勞極限均值

klσFlim=2.326SlσFlim+lnσFlim

彎曲疲勞極限均值

(3)計(jì)算接觸疲勞強(qiáng)度和彎曲疲勞強(qiáng)度的均值及變異系數(shù)

接觸疲勞強(qiáng)度的均值及變異系數(shù)

式中，ZN—接觸疲勞壽命系數(shù)；

ZL—潤(rùn)滑油系數(shù)；

ZR—表面粗糙度系數(shù)；

Zv—速度系數(shù)。

彎曲疲勞強(qiáng)度的均值及變異系數(shù)

式中，YN—彎曲壽命系數(shù)；

Yω—齒根圓角敏感系數(shù)；

Yβ—尺寸系數(shù)。

(4)計(jì)算接觸疲勞強(qiáng)度和彎曲疲勞強(qiáng)度的可靠度系數(shù)

(11)

(12)

2.2 可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

目標(biāo)函數(shù)：

非線性不等式約束：

線性不等式約束：

g4(X)=x1-4≤0，g5(X)=2-x1≤0

g6(X)=18x1-80≤0，g7(X)=30-18x1≤0

g8(X)=x3-18≤0，g9(X)=2-x3≤0

g10(X)=x2-20≤0，g11(X)=7-x2≤0

2.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的求解

MATLAB在由美國(guó)的Mathwork公司發(fā)布后，就因其功能強(qiáng)大、使用簡(jiǎn)單、容易擴(kuò)展而立刻風(fēng)靡全球。在這個(gè)強(qiáng)大的計(jì)算平臺(tái)既可以利用MATLAB優(yōu)化工具箱(Optimization Toolbox)中的函數(shù)，又可以通過(guò)對(duì)算法編程實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的最優(yōu)化計(jì)算。其優(yōu)化工具箱的序列二次規(guī)劃算法(SQP)，被公認(rèn)為最優(yōu)秀的非線性約束優(yōu)化算法之一[10]。MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)使用了SQP算法，求解時(shí)可直接調(diào)用該函數(shù)，fmincon函數(shù)的調(diào)用格式為：

[x,fval,exitflag,output]=fmincon (fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)

該優(yōu)化問(wèn)題是有3個(gè)目標(biāo)變量，11個(gè)約束條件的約束優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱的fmincon函數(shù)求解該優(yōu)化問(wèn)題。編寫目標(biāo)函數(shù)的文件objf.m，非線性約束條件函數(shù)的文件nlcon.m。在MATLAB命令窗口中輸入變量的初始搜索值和線性約束，并調(diào)用優(yōu)化程序。結(jié)果為：

X*= [2.1622 9.1917 4.5270]

f(X*)=1.1701×106mm3

對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行圓整，取其離散最優(yōu)解：蝸桿齒數(shù)Z1=2，蝸桿直徑系數(shù)q=9，模數(shù)m=5，此時(shí)蝸輪和蝸桿的體積為V=1.34×106mm3。

2.4 可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)與常規(guī)設(shè)計(jì)的對(duì)比

(1)基本參數(shù)對(duì)比

可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)與常規(guī)設(shè)計(jì)的參數(shù)的對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)的對(duì)比

(2)可靠度的對(duì)比

在閉式蝸桿傳動(dòng)中，其失效形式主要為點(diǎn)蝕或膠合，為證明此可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的合理性，本文從蝸輪輪齒接觸疲勞強(qiáng)度的可靠度方面與常規(guī)設(shè)計(jì)可靠度進(jìn)行了對(duì)比。設(shè)蝸輪轉(zhuǎn)數(shù)N=60nt，t=8×300a，壽命系數(shù)為

按上述條件及式(11)可計(jì)算出可靠度與時(shí)間的變化關(guān)系，與常規(guī)設(shè)計(jì)可靠度的對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 可靠度的對(duì)比

注：0.99表示在小數(shù)點(diǎn)后有9個(gè)9，其他同理。

3 結(jié)論

(1)將可靠性設(shè)計(jì)理論與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論相結(jié)合，并采用MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行求解，解決了在應(yīng)力及強(qiáng)度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的情況下，蝸桿傳動(dòng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題；由表1及表2得出的結(jié)果來(lái)看，MATLAB優(yōu)化工具箱不僅算法可靠，而且編程簡(jiǎn)單，使設(shè)計(jì)效率也有很大提高。

(2)與常規(guī)的設(shè)計(jì)方法相比較，可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的效益十分可觀。首先蝸桿傳動(dòng)副的整體體積得到了很大減少；其次，按常規(guī)設(shè)計(jì)所得到的蝸桿傳動(dòng)的可靠度在使用10年后仍能達(dá)到0.951066，這很顯然造成了材料的浪費(fèi)。而按本文的設(shè)計(jì)方法所得到的蝸桿傳動(dòng)的可靠度在8年內(nèi)均能達(dá)到所要求的可靠度0.99，剛好滿足設(shè)計(jì)使用期限，實(shí)現(xiàn)零部件的合理利用。

[1] 劉混舉. 機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2012.

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[3] 張義民. 機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)的內(nèi)涵與遞進(jìn)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46(14)：167-188.

[4] 魏宗平，李飛舟. 機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2009(12)：17-20.

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[10] 龔純，王正林. 精通MATLAB最優(yōu)化計(jì)算(第二版)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2012.

(編輯 李秀敏)

Research on Reliability Optimization Design of Worm-Drive

HU Qi-guo，XIE Guo-bin，TUO Kui

(College of Mechatronics and Automotive Engineering , Chongqing Jiaotong University , Chongqing 400074 , China)

Based on the integration of reliability design theory and optimization design theory, the reliability optimization design of the worm-drive is extensively discussed when its stress and intensity obey logarithmic normal distribution, and the mathematic model of reliability optimization design of the worm-drive is built. It obtains the reliable and optimal parameter by using the Matlab optimization toolbox, and demonstrates the feasibility of this method in the reliability of worm-drive. The optimal results show that this method not only improves the efficiency and reliability of the worm-drive design, but also can be of significance reference value in solving optimal design issue of the other mechanisms.

worm-drive；optimization toolbox of Matlab；reliability

1001-2265(2014)07-0042-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.07.012

2013-10-19

胡啟國(guó)(1968—)，男，重慶人，重慶交通大學(xué)教授，博士，主要從事機(jī)械可靠性及機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的教學(xué)與研究，(E-mail)swpihqg@126.com；通訊作者:謝國(guó)賓(1988—)，男，河南扶溝人，重慶交通大學(xué)碩士研究生，主要從事機(jī)械可靠性及機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究，(E-mail)xgbin008vip@126.com。

TH122;TG65

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