一個(gè)礦產(chǎn)資源的最優(yōu)價(jià)格開采模型研究

王 玲，周 強(qiáng)，李凱鴻，肖海軍

(1.武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430074;2.中國地質(zhì)大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北武漢 430074)

礦產(chǎn)資源的持續(xù)利用既是可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略的重要組成部分，也是可持續(xù)發(fā)展理論的核心問題之一.礦產(chǎn)資源的最佳耗竭速度的研究為礦產(chǎn)資源的可持續(xù)利用提供了相關(guān)理論依據(jù).Hotelling［1］的經(jīng)典論文《可耗竭資源經(jīng)濟(jì)學(xué)》奠定了非再生資源經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，開創(chuàng)了可耗竭資源的持續(xù)利用研究領(lǐng)域.礦產(chǎn)資源開采的優(yōu)化目標(biāo)一般分為兩大類［2］:一是局部優(yōu)化，即使當(dāng)前開采獲得最大利潤;二是全局優(yōu)化，即使開采整個(gè)礦床獲得最大利潤.局部優(yōu)化是一種僅限于短期利益或個(gè)體利益的做法.為了使當(dāng)前效益獲得最大，無論市場價(jià)格高低，礦山都盡可能提高開采品位，多采富礦，結(jié)果是資源遭受浪費(fèi)和加速枯竭.全局優(yōu)化目標(biāo)的合理性是顯而易見的，其最常用的目標(biāo)是開采整個(gè)礦床獲得最大的凈現(xiàn)值.由于礦產(chǎn)資源的不可再生性及生產(chǎn)對象即礦床的礦化特性，使得礦山開采企業(yè)與其它工業(yè)企業(yè)的生產(chǎn)過程和形式截然不同，一些傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)理論的某些方面是難于適用的，因此，理論上就不能簡單地從局部優(yōu)化和全局優(yōu)化來研究礦產(chǎn)資源開采的優(yōu)化問題.于是，Dasgupta［3］和Conrad［4］等數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家就從可耗竭資源最佳配置問題進(jìn)行了深入的研究.文獻(xiàn)［5］則又在市場經(jīng)濟(jì)條件下，對礦產(chǎn)資源價(jià)值與最佳配置問題進(jìn)行探討.文獻(xiàn)［5］中模型的假設(shè)是:在資源壽命期限內(nèi)，不同的礦產(chǎn)經(jīng)營主體就各自所允許開采的資源限量已經(jīng)達(dá)成協(xié)議(文獻(xiàn)［5］的協(xié)議形式為每個(gè)經(jīng)營主體開采不同的礦山)，各經(jīng)營主體不允許侵犯他人的資源開采權(quán).首先，該資源限量協(xié)議也不一定能保證所有經(jīng)營主體在資源壽命期限內(nèi)獲得的經(jīng)濟(jì)效益之和達(dá)到最大，即當(dāng)總的資源儲(chǔ)量固定時(shí)，由于不同經(jīng)營主體的生產(chǎn)技術(shù)、生產(chǎn)成本等因素的不同，存在一個(gè)最佳的協(xié)議使所有經(jīng)營主體在資源壽命期限內(nèi)獲得的經(jīng)濟(jì)效益之和達(dá)到最大.其次，生產(chǎn)者的全局利益最大化可能掩蓋了生產(chǎn)者剩余與消費(fèi)者剩余之間的關(guān)系.于是，在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上，將生產(chǎn)者剩余和消費(fèi)者剩余引入改進(jìn)模型，主要工作是從生產(chǎn)者剩余、消費(fèi)者剩余以及不同偏好下的生產(chǎn)者與消費(fèi)者剩余總和出發(fā)，在礦產(chǎn)資源的最優(yōu)開采問題中，將生產(chǎn)者剩余與消費(fèi)者剩余這一永恒的博弈問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化的決策問題.通過模型的求解，得到資源最優(yōu)開采的最佳決策方案.

1 基本假設(shè)

與文獻(xiàn)［6］相同，pt為第t年礦產(chǎn)資源的價(jià)格;Q pt()為第t年礦產(chǎn)資源的需求(開采)量，是價(jià)格的函數(shù)，當(dāng)價(jià)格pt上升時(shí)，Qt需求量下降，因此有 dQ/dpt＜0;C Qt( )為成本函數(shù).其滿足:當(dāng) Qt＞0時(shí)，C Qt( )＞0，且dC/dQ＞0，d2C/dQt2＞0，即隨著開采量的增大，成本C也隨之增加，此外隨著開采時(shí)間的推移，資源品位不斷下降，單位開采成本也越來越大.St為第t年礦產(chǎn)資源的儲(chǔ)量;T為該資源耗盡時(shí)間;ρ為折現(xiàn)系數(shù)，ρ=1/1+r( );r為折現(xiàn)率.

2 系統(tǒng)模型

生產(chǎn)者利潤函數(shù):

當(dāng)價(jià)格pt過低時(shí)，生產(chǎn)者無利可圖，因此存在一個(gè)價(jià)格，使得π()=0.當(dāng)價(jià)格pt過高，高到人們的最大支付意愿時(shí)，資源的開采和消費(fèi)就會(huì)被迫停止.需求被驅(qū)逐市場，并被其他代用品所取代，因此存在另一個(gè)價(jià)格，使得 π()=0.生產(chǎn)者利潤也稱為生產(chǎn)者剩余，指生產(chǎn)者出售資源Q pt()之后所獲得的利潤，在研究礦產(chǎn)資源最佳開采利用時(shí)不但要考慮生產(chǎn)者利潤，同時(shí)也要考慮消費(fèi)者剩余.

消費(fèi)者愿意花的錢與實(shí)際花的錢之差，稱為消費(fèi)者剩余.消費(fèi)者剩余可以理解為消費(fèi)者獲得的收益，具體表示為:

目標(biāo)函數(shù)中應(yīng)同時(shí)兼顧兩者利益，即生產(chǎn)者剩余與消費(fèi)者剩余總和的現(xiàn)值為最大［5］.

所以目標(biāo)函數(shù)為:

由已知礦產(chǎn)資源開發(fā)的特性可得約束條件:

式中t=0為系統(tǒng)的初始時(shí)刻;A為初期礦產(chǎn)資源的儲(chǔ)量(初始狀態(tài)已知);St為t期礦產(chǎn)資源的儲(chǔ)量，稱為狀態(tài)變量.st+1－st=－Qt(t)(t=0，1，…，T－1)是一組差分方程，給出了狀態(tài)t到狀態(tài)t+1的轉(zhuǎn)移規(guī)律.

3 模型的改進(jìn)與求解礦產(chǎn)資源最優(yōu)價(jià)格策略

首先，假設(shè)需求函數(shù)為:

總成本函數(shù)為:

那么，生產(chǎn)者剩余函數(shù)為:

消費(fèi)者剩余函數(shù)為:

由表4表明，試驗(yàn)鵝飼糧中添加不同劑量殼聚糖均能降低血清丙二醛（MDA）含量，1 000 mg/kg殼聚糖組顯著低于對照組（P＜0.05），其中500、2 000 mg/kg殼聚糖組均極顯著低于對照組（P＜0.01）。除250 mg/kg殼聚糖組略高于對照組外，其它試驗(yàn)組飼料中添加殼聚糖可極顯著提高血清超氧化物歧化酶（SOD）活性（P＜0.01）。分析結(jié)果同時(shí)顯示，飼糧中添加500 mg/kg殼聚糖能顯著提高試驗(yàn)鵝谷胱甘肽過氧化物酶（GSHPx）活性（P＜0.05），而其它試驗(yàn)組與對照組未見顯著差異（P＞0.05）。

模型(3)是文獻(xiàn)［6］研究的主要模型.現(xiàn)對模型(3)稍作修改，即在增加消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余不同的“偏好”的情形下，對其最佳開采方式進(jìn)行研究.

模型1 在消費(fèi)者剩余函數(shù)w(pt)至少為c1的前提下，希望生產(chǎn)者剩余函數(shù)π( pt)最大.

此時(shí)，問題可轉(zhuǎn)化為求最優(yōu)問題:

再由式(8)、(10)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):

對式(11)分別求導(dǎo)，令:

由方程組(12)解得:

模型2 在生產(chǎn)者剩余函數(shù)π( pt)至少為c2的前提下，希望消費(fèi)者剩余函數(shù)w(pt)最大.

此時(shí)，問題可轉(zhuǎn)化為求最優(yōu)問題:

再由式(14)和(16)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):

對(17)式分別求導(dǎo)，令:

從方程組(18)解得:

式(20)說明，將生產(chǎn)者剩余控制在某一定水平之下時(shí)，消費(fèi)者剩余可以達(dá)到最大.

模型3 針對生產(chǎn)者剩余和消費(fèi)者剩余的不同“偏好”，希望總剩余最大.

此時(shí)，問題可轉(zhuǎn)化為求最優(yōu)問題:

對式(21)分別求導(dǎo)，令:

式(23)給出了生產(chǎn)者剩余和消費(fèi)者剩余總和最大時(shí)，礦產(chǎn)資源的生產(chǎn)偏好于消費(fèi)者的“偏好”大小的計(jì)算公式.

4 實(shí)證分析

式(21)中的權(quán)重系數(shù)λ表示消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余之間的“偏好”.權(quán)重系數(shù)ω的值越大，說明總剩余源于生產(chǎn)者剩余越大，即生產(chǎn)者剩余占總剩余的比例就越大.此時(shí)，礦業(yè)生產(chǎn)是“偏好”于礦產(chǎn)企業(yè)的;反之，礦業(yè)生產(chǎn)“偏好”于消費(fèi)者.

以汽油價(jià)格為例，假定pt表示當(dāng)前的汽油價(jià)格，p－表示人們愿意購買的最大價(jià)格.

情形1 假定人們愿意購買汽油的最大市場價(jià)格(p－)為5.5元/升，根據(jù)式(22)可得市場價(jià)格pt與權(quán)重系數(shù)ω之間的關(guān)系，如圖1所示.

結(jié)論1 汽油的市場價(jià)格pt越接近于人們愿意購買的最大價(jià)格p－，權(quán)重系數(shù)ω的值越小，即生產(chǎn)者剩余對總剩余的貢獻(xiàn)比例越小，消費(fèi)者剩余偏大，礦業(yè)生產(chǎn)“偏好”于消費(fèi)者;反之，生產(chǎn)者剩余對總剩余的貢獻(xiàn)比例越大，消費(fèi)者剩余偏小，礦業(yè)生產(chǎn)“偏好”于礦產(chǎn)企業(yè).

情形2 假定當(dāng)前汽油的市場價(jià)格pt為6元/升時(shí)，根據(jù)式(23)可得人們最大可接受價(jià)格p－與權(quán)重系數(shù)ω之間的關(guān)系，如圖2所示.

結(jié)論2 汽油的市場價(jià)格pt一定時(shí)，人們愿意購買的最大價(jià)格p－越接近于市場價(jià)格pt，權(quán)重系數(shù)的值就越大，即生產(chǎn)者剩余對總剩余的貢獻(xiàn)比例越大，消費(fèi)者剩余偏小，礦業(yè)生產(chǎn)“偏好”于礦產(chǎn)企業(yè);反之，生產(chǎn)者剩余對總剩余的貢獻(xiàn)比例越小，消費(fèi)者剩余偏大，礦業(yè)生產(chǎn)“偏好”于消費(fèi)者.

圖2 最大可接受價(jià)格與利潤偏好之間的關(guān)系Fig.2 The relationship between the maximum acceptable and prefit preference

圖1 市場價(jià)格與利潤偏好之間的關(guān)系 Fig.1 The relationship between the market price and the profit preference

5 研究的局限性以及后續(xù)研究的方向

礦產(chǎn)資源最優(yōu)開采問題通常研究的是資源利潤的最大化問題，它往往取決于資源的開采速度，折現(xiàn)率，市場需求，開采周期和消費(fèi)者剩余價(jià)值等因素，如文獻(xiàn)［7－8］所述.但是，在研究資源利潤最大化的同時(shí)，也有必要對消費(fèi)者剩余、生產(chǎn)者剩余以及兩者的共同剩余等因素進(jìn)行深入的研究，如本文所述.文章將生產(chǎn)者剩余和消費(fèi)者剩余引入改進(jìn)模型，在礦產(chǎn)資源的最優(yōu)開采問題中，將生產(chǎn)者剩余與消費(fèi)者剩余這一永恒的博弈問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題.理論研究表明，在消費(fèi)者剩余首先得到一定保證的前提下，生產(chǎn)者剩余是不可能達(dá)到最大.然而，在生產(chǎn)者剩余控制在某一定水平之下時(shí)，消費(fèi)者剩余可以達(dá)到最大.最后還得到了兩者的共同剩余與不同偏好之間的關(guān)系.

當(dāng)然，在研究資源總剩余最大化的問題時(shí)，模型還應(yīng)該進(jìn)一步地考慮技術(shù)創(chuàng)新、替代資源的發(fā)現(xiàn)、資源危機(jī)甚至金融危機(jī)等突發(fā)事件對市場需求的影響，此外，還應(yīng)考慮勘探活動(dòng)對于礦產(chǎn)資源價(jià)格和開采率的影響.這是都是今后需要進(jìn)一步研究的問題.

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