高等數(shù)學(xué)中幾個概念的引入

左占飛 黃怡民

（1.重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶萬州 404100）

（2.重慶三峽學(xué)院化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，重慶萬州 404100）

1 前 言

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工和經(jīng)濟類等專業(yè)的基礎(chǔ)必修課，如何讓學(xué)生盡快理解其相關(guān)的概念，并將其應(yīng)用到自己的專業(yè)中，是提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的一個重要環(huán)節(jié).現(xiàn)行的教材大多沒有經(jīng)過教學(xué)法的加工，僅從經(jīng)典教程出發(fā)，經(jīng)過改編，形成一個包含符號演算、邏輯推理、與現(xiàn)實乃至應(yīng)用毫不相干的內(nèi)容體系，如果在教學(xué)中不經(jīng)任何加工，照本宣科，就容易導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時感到枯燥，對數(shù)學(xué)知識的前因后果沒有感性認(rèn)識，更看不到數(shù)學(xué)的應(yīng)用在哪里，從而使學(xué)生失去了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.為更好地讓理工和經(jīng)濟類的學(xué)生掌握這門課程，我們應(yīng)該把握“數(shù)學(xué)為本，專業(yè)為用”的原則，盡可能地結(jié)合實例模型進行教學(xué).本文通過高等數(shù)學(xué)中幾個概念的引入過程，來探討如何將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化和實用化.

2 幾個數(shù)學(xué)概念的引入

2.1 極限概念的引入

極限概念是高等數(shù)學(xué)課程中一個非常重要的概念，它是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法，也是后面微分學(xué)和積分學(xué)的基本推理工具.因此，極限概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的一個難點，因為教材中的極限概念，一般都是采用形式化的語言來敘述，非常抽象，初次接觸的學(xué)生往往感覺非常吃力進而產(chǎn)生畏難情緒，長此以往，勢必會影響整個數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)效果，乃至影響到整個大學(xué)階段的學(xué)習(xí)質(zhì)量.因此，在教學(xué)過程中，如何引入極限慨念，讓抽象的概念生活化就顯得尤為重要.在長期數(shù)學(xué)公共課程的教學(xué)實踐中，我們發(fā)現(xiàn)對于理工和經(jīng)濟類專業(yè)開設(shè)的高等數(shù)學(xué)，運用極限實例模型來引入極限慨念，學(xué)生反映效果不錯，下面就用幾個實例模型來闡述極限慨念的引入.

當(dāng)把兩個學(xué)生的思路用板書展示后，全班學(xué)生都鼓掌表示證明方法很巧妙，課堂的氣氛變得很熱烈，大家都被數(shù)學(xué)中的運算魅力所折服，但還是有部分同學(xué)對上述的結(jié)果表示難以置信，雖然9在增多，但和1還是有差距，不會相等.當(dāng)然主要的原因就是大家還沒有學(xué)習(xí)極限的定義，此時需趁熱打鐵，從上述的例子引出數(shù)列極限的問題.首先上面兩個問題的共同思路都是把循環(huán)小數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)是大家熟知的結(jié)論，然后通過乘法的性質(zhì)得到了相應(yīng)的結(jié)論.但是我們也看出循環(huán)小數(shù)稍微復(fù)雜一些，再轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)就會變得很困難，這也是為什么大家不能很快得到的原因.而且循環(huán)小數(shù)有無數(shù)個，我們能不能想到更一般的思路，把所有的循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)呢？我們換一種方法重新考慮上述例題：

提示上面是一個等比數(shù)列的和，不過有無限項，可以先求前n項，學(xué)生容易求得前n項和再讓n→∞，大部分學(xué)生都猜測到也可得到初看起來學(xué)生覺得這種方法不如上面的方法簡單，但是通過布置例題，例如把轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)（還可以舉一些更復(fù)雜的例子

學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)上面方法的普遍性，并且也體會到了極限（上面的公比是0.01，所以0.01n→0）的妙用，從而為順利引進極限奠定了基礎(chǔ).當(dāng)然體現(xiàn)極限思想的實例還有很多[1]，如：莊子之錘、芝諾悖論、劉輝割圓術(shù)，大家可以根據(jù)自己的情況，通過軟件的繪圖功能和多媒體進行輔助教學(xué)，把抽象的概念通俗化、實用化，中間再講一些有關(guān)數(shù)學(xué)家的趣聞軼事，往往會達到很好的效果[2][3][4].

引入數(shù)列極限概念后，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，重點應(yīng)該是如何計算常見函數(shù)的極限，其中兩個重要極限（離散和連續(xù)的情形）的計算應(yīng)該是一個重點.不過現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材，對于兩個重要極限的處理，往往都是運用夾逼準(zhǔn)則推導(dǎo)出極限，然后就直接開始用重要極限來做題，學(xué)生雖然能照著葫蘆畫瓢進行機械的計算，但總覺得這些例題只是一些技巧，并沒有很大的實際用途，因此我們在引入這部分內(nèi)容時，還是要用生活化的例子來闡述，才能讓學(xué)生覺得我們的數(shù)學(xué)概念不是無源之水.

運用劉輝割圓術(shù)的思想，不妨假設(shè)上面圓的半徑是R，三角形OAB是內(nèi)接正n邊形的一個三角形，所以因為用到的都是初等幾何的知識，所以大部分同學(xué)運用三角形求積公式很快得到則正n邊形的面積為要想得到圓的面積，必須讓內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)逐漸增多，即n→∞，所以同學(xué)們很快就會發(fā)現(xiàn)要想求出面積，他們不得不面對一個新所以的極限而且這個極限屬于待定式型，用前面學(xué)習(xí)的方法求不出來，但可猜測到(因為圓的面積是πR2)，這樣讓學(xué)生帶著問題再來看類型的重要極限就會變得非常有趣和自然.

2.2 導(dǎo)數(shù)概念的引入

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的引進方法，現(xiàn)行的教材一般采取了變速運動的瞬時速度問題和曲線切線的斜率的求法，這兩個例子雖然在歷史上和導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生關(guān)系非常密切，但是對于剛剛接觸微積分的新生來看，理論背景顯得很重要.為了容易理解概念，我們還是用實際的例子，利用學(xué)生的好奇心，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.例如，可以在網(wǎng)上找一些簡短的視頻，內(nèi)容是跳水夢之隊比賽的精彩瞬間，引發(fā)學(xué)生討論，數(shù)學(xué)課上為什么會出現(xiàn)體育的場景？場景創(chuàng)設(shè)完畢后，就要在這個場景中找出數(shù)學(xué)的問題，提示如果不考慮空氣的阻力，運動員的跳水運動符合高中物理中的哪個運動規(guī)律，大部分同學(xué)都會想到物體的自由落體運動，然后老師就馬上讓同學(xué)把這個運動的數(shù)學(xué)表達式寫出來其中s，g，t分別表示位移，加速度和時間.然后老師又繼續(xù)提問，那么運動員的速度隨著時間又有什么變化呢？比如運動員在入水的一瞬間，速度是多少？有少數(shù)同學(xué)（物理基礎(chǔ)不錯的）會說v=gt，老師又繼續(xù)追問這個公式是怎么推導(dǎo)出來的呢？能否用公式v=s/t來計算呢？（學(xué)生說不能）此時學(xué)生會發(fā)現(xiàn)平時的計算公式只是一個平均速度，但現(xiàn)實生活中還有很多瞬時速度的問題，還沒有解決，老師再讓學(xué)生多舉一些例子，然后就把這些瞬時的變化率問題歸結(jié)成我們今天要講的導(dǎo)數(shù).這樣的一個講解過程在理工專業(yè)學(xué)生中效果比較好，既通俗又實用.

但是上述方法對于經(jīng)濟類專業(yè)的學(xué)生可能效果就沒這么明顯，因為他們對一些物理學(xué)的知識并不是很擅長，所以應(yīng)盡可能地結(jié)合經(jīng)濟實例進行教學(xué)，因此可以選取下面的例子來引入[7].給同學(xué)們設(shè)定角色，是某輛長途汽車的售票員，制定的票價為60元.現(xiàn)在車上已經(jīng)有38位乘客，突然在開車之前趕來一名乘客，可能是由于倉促，這名乘客帶的錢不夠，他想以40元的價格上車，作為售票員的你答應(yīng)嗎？這里只是從盈利的角度來考慮問題，不涉及到其它情況.假設(shè)車輛單程所需的固定成本為1 000元，而且會給每位乘客食物和飲料，成本為每人10元.

解決這個問題，需要讓學(xué)生充分發(fā)揮獨立解決問題的能力，給出答案.學(xué)生的答案肯定會有所不同，有的認(rèn)為60元票價他只給40元，會虧20元，所以不能讓他上車；有的還會去計算到目前為止每位乘客的平均成本，然后來衡量40元是否夠這個平均成本……梳理完學(xué)生的答案后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生進入更為準(zhǔn)確的思路：這次交易中增加最后一位乘客，使得營運的總成本只是增加10元，但卻使得營運的總收益增加40元，因此增加的收益大于增加的成本，所以應(yīng)該讓這位乘客上車.許多同學(xué)會有一種頓悟的感覺，也再一次讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用其實就在我們身邊，需要大家多去思考和觀察.然后教師再趁熱打鐵，提出上述問題其實就是經(jīng)濟學(xué)中的邊際分析過程，指經(jīng)濟函數(shù)自變量在某個值的基礎(chǔ)上再改變一個單位時，因變量的變化率，從而引出導(dǎo)數(shù)的概念.

2.3 定積分概念的引入

定積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要概念，也是絕大多數(shù)理工類和經(jīng)濟類學(xué)生覺得最難理解的概念之一.現(xiàn)行的教材，不管是高等數(shù)學(xué)還是經(jīng)濟數(shù)學(xué)在講解定積分時，都采用了求曲邊梯形的面積或物理學(xué)中變速直線運動物體在一段時間走過的距離兩個例子，然后運用數(shù)學(xué)分析中經(jīng)典的方法：分割、近似代替、做和、求極限四個步驟給出定積分的精確定義.這樣的教學(xué)過程不僅給出了定積分直觀的幾何、物理模型，也從理論層面歸納出了定積分的精確定義，體現(xiàn)了從實踐上升到理論的科學(xué)發(fā)展過程，對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生是很好的引入方法.但這種方法對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)來說，理論性太強，比較抽象.在公共基礎(chǔ)課的教學(xué)中，我們應(yīng)根據(jù)不同的授課對象，采取不同的引入方式.

對于理工類的學(xué)生，物理學(xué)的基礎(chǔ)還是可以，所以完全可以采取物體的自由落體運動問題，不過要把問題反過來設(shè)計，首先知道了瞬時速度v=gt，怎么算出在一段時間內(nèi)走過的距離，能否直接采用s=vt？如果不行，應(yīng)該怎么計算？

對于經(jīng)濟類的學(xué)生，應(yīng)結(jié)合經(jīng)濟實例進行數(shù)學(xué)教學(xué)，將定積分的知識、方法應(yīng)用于經(jīng)濟問題中，而不是只進行一些抽象公式的推導(dǎo).因此可選取一些經(jīng)濟學(xué)中常見的函數(shù)，比如設(shè)某種商品的價格函數(shù)為P=18-Q/6（問學(xué)生為什么是減函數(shù)），其中p為價格，Q為銷售量，求銷售量從16個單位增加到20個單位時的收益為多少？問學(xué)生能否用銷售量直接乘以價格來算收益？如果不行，應(yīng)該怎么辦？

上面例題講解的過程盡量采取開放式的教學(xué)[8]，通過不斷地提出問題、分析問題、解決問題，使學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，在分析和解決問題的過程中學(xué)習(xí)新知識，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，順利的引入我們的新概念.

3 結(jié) 語

通過實例模型來引入數(shù)學(xué)中的抽象概念[1]，既摘掉了數(shù)學(xué)概念抽象冰冷的面紗，又增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生從實例中學(xué)到了新知識，認(rèn)識到數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用，從而為非數(shù)學(xué)專業(yè)后續(xù)內(nèi)容的教學(xué)實施提供了很好的借鑒.

[1]吳明海.極限實例模型與未定式極限[J].理科考試研究，2013（4）：6-7.

[2]左占飛.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強數(shù)學(xué)史的教育[J].三峽高教研究，2010（6）.

[3]左占飛.數(shù)學(xué)軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用中的一些體會[J].電腦知識與技術(shù)，2012（8）：7311-7313.

[4]左占飛.Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].考試周刊，2012（62）：75-76.

[5]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學(xué)—微積分[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]高婷婷，張明會.數(shù)學(xué)分析中幾類基本概念及其否定概念的邏輯結(jié)構(gòu)[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報，2013（3）：23-28.

[8]鄭飛，李逢玲.開放教育中《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程的教學(xué)探討[J].教育教學(xué)論壇，2012（38）：111-112.