彈簧勁度系數(shù)精確測量研究

有四普 夏清華 左 偉 曾 軍

（湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 湖北 襄陽 441053）

彈簧是一種常見的物體，在實際生活中的應(yīng)用范圍比較廣且非常重要，彈簧也經(jīng)常出現(xiàn)在精密儀器中，因此能準(zhǔn)確知道彈簧的勁度系數(shù)在實際生產(chǎn)應(yīng)用中是很有意義的.故而如何精確測量彈簧勁度系數(shù)也成了一個很有意義的工作，本文對傳統(tǒng)實驗教學(xué)方法進行了改進和創(chuàng)新，利用彈簧振子做簡諧振動的特性來實現(xiàn)對彈簧勁度系數(shù)的測量.

1 教學(xué)中傳統(tǒng)實驗法對彈簧勁度系數(shù)測量的缺陷

教學(xué)中對彈簧勁度系數(shù)測量的傳統(tǒng)實驗法缺陷分別為：

（1）利用胡克定律測彈簧勁度系數(shù)的缺陷是彈簧自身重力和長度測量對實驗精度的影響；

（2）傳統(tǒng)的利用彈簧振子在氣墊導(dǎo)軌上做簡諧振動測彈簧勁度系數(shù)的缺陷是彈簧振子來回做簡諧振動時受到氣流粘滯阻力的影響，使實驗得到的數(shù)據(jù)并不精準(zhǔn).

2 彈簧質(zhì)量對振子運動周期影響的理論分析

對于一個確定的彈簧其勁度系數(shù)是確定的，為κ，振子與彈簧本身的質(zhì)量分別為M和m，而彈簧的圓頻率ω和κ滿足以下表達(dá)式［1，2］

對式（1）進行極限分析得到彈簧振子的周期關(guān)系式

可見對于已知彈簧來說彈簧振子的質(zhì)量對彈簧振子的振動周期有著決定性的作用，因此在利用彈簧振子做簡諧運動來測彈簧的勁度系數(shù)時要根據(jù)選擇的振子的質(zhì)量來選擇實驗的原理公式，即要對理想情況下做簡諧運動的彈簧振子的周期公式做相應(yīng)的修正.一般來說彈簧的簧絲越細(xì)、簧圈的節(jié)高越小、彈簧的形變越小、彈簧的匝數(shù)越多，彈簧的彈性性質(zhì)越接近理想彈性狀態(tài)［3］.

3 改進后實驗的優(yōu)點

在同等實驗環(huán)境的情況下對實驗方法與原理做了如下改進，使得傳統(tǒng)實驗法中的缺陷得到了克服.新實驗原理采用簡諧振動法測彈簧勁度系數(shù)，克服了胡克法實驗中彈簧自身重力和長度測量對實驗精度的影響.新實驗法雖然也是利用簡諧振動測彈簧的勁度系數(shù)，但是在實驗過程中我們做了兩個改進使得新法要優(yōu)于傳統(tǒng)方法，而且實驗消耗更小，

（1）對實驗原理中簡諧振動的周期表達(dá)式進行了一級和二級修正，這在原理上就已經(jīng)優(yōu)于傳統(tǒng)的實驗方法；

（2）改進了實驗操作方法，使振子在豎直方向上振動，克服了氣墊導(dǎo)軌氣流粘滯力對實驗數(shù)據(jù)的影響.實驗中還是使用相同的實驗儀器進行數(shù)據(jù)觀測，卻得到了更為精確的結(jié)果.

4 改進后實驗的原理

在忽略空氣阻力的情況下，彈簧振子諧振周期的一、二級修正公式分別為

則由（3）、（4）兩式彈簧的勁度系數(shù)分別為

5 改進后的實驗

本實驗采用MUJ－6B型電腦通用計數(shù)器來記錄彈簧振子的周期精度為10－1ms，采用JY2002型電子天平來測量振子的質(zhì)量精度為10－2g，振子是由密度較大的銅制成，使得空氣阻力對本實驗測量精度的影響更小，彈簧勁度系數(shù)未知.實驗中的彈簧質(zhì)量為11.19g.

本實驗將彈簧振子豎直懸掛，突破了傳統(tǒng)法中將彈簧振子水平放置的方式，因為水平放置的彈簧振子不嚴(yán)格滿足胡克定律，測出的數(shù)據(jù)比彈簧豎直放置測出的數(shù)據(jù)誤差要大［4］.將彈簧振子上端固定在鐵架臺上，在振子平衡位置附近安裝MUJ－6B型電腦通用計數(shù)器的數(shù)據(jù)采集端，安裝完成后調(diào)試好實驗儀器后進行實驗.實驗裝置如圖1所示.

圖1 測量彈簧勁度系數(shù)的實驗裝置

采用如圖1所示實驗裝置進行實驗測得的實驗數(shù)據(jù)如表1.

表1 實驗測得的數(shù)據(jù)

5.1 彈簧的勁度系數(shù)

利用貝塞爾公式對表1數(shù)據(jù)進行處理并根據(jù)拉依達(dá)準(zhǔn)則和肖維涅準(zhǔn)則對數(shù)據(jù)進行驗證處理知實驗所得數(shù)據(jù)全部合格，可信度很高.為了能直觀反映出彈簧勁度系數(shù)大小以及對無修正、一級修正、二級修正后得到的數(shù)據(jù)進行對比，于是對表1數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后得到彈簧的勁度系數(shù)κ，一級修正和二級修正之差a，無修正和二級修正之差b，a占二級修正的百分比c，b占二級修正的百分比d，具體處理數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 彈簧的勁度系數(shù)

5.2 實驗分析

不妨設(shè)彈簧振子的質(zhì)量M與彈簧的質(zhì)量m之比為λn，其中n取1，2，3，4分別表示實驗中振子的質(zhì)量為54.50g，64.44g，84.34g，104.59g這幾種情況，將實驗數(shù)據(jù)代入得

分析上式得：λ1＜λ2＜λ3＜λ4，而且根據(jù)實驗觀測數(shù)據(jù)得到的a，b，c，d值的變化趨勢剛好相反為

a，b，c，d值變化的趨勢正好反映了實驗數(shù)據(jù)的精確性隨著λn值的增大而變得更加精確，這與文獻［5］中得到的結(jié)論是一致的，同時也檢驗了本實驗觀測數(shù)據(jù)的可信度.結(jié)合實驗中的觀測數(shù)據(jù)與文獻［5］中的相關(guān)分析我們也可以得出同樣的結(jié)論：彈簧振子和彈簧的質(zhì)量之比越大，彈簧振子的運動越接近于簡諧振動.

6 結(jié)論

分析表2中的數(shù)據(jù)我們可以得出如下結(jié)論：

（1）無修正和二級修正之差b是一級修正和二級修正之差a的5～10倍；

（2）修正后的數(shù)據(jù)要比無修正的數(shù)據(jù)精確度高一個數(shù)量級；

（3）無修正的實驗結(jié)果與二級修正后的實驗結(jié)果之間的浮動在10%以內(nèi)，而一級修正和二級修正后的實驗結(jié)果之間的浮動在1%以內(nèi)，這說明無修正的實驗結(jié)果與修正后的實驗結(jié)果相差很大，因此要做精度在10－2N／m級別的實驗，必須要對實驗原理進行修正，而在這個級別上一級和二級修正則對觀測結(jié)果影響不大；

（4）在彈簧的彈性形變內(nèi)振子的質(zhì)量越大，實驗觀測的數(shù)據(jù)復(fù)現(xiàn)率越高，即環(huán)境對本實驗的影響越小實驗的精度越高；

（5）當(dāng)彈簧振子的質(zhì)量大于彈簧質(zhì)量的5倍時，彈簧可以近似認(rèn)為是輕質(zhì)彈簧［6］，但是沒有修正的傳統(tǒng)方法得到的數(shù)據(jù)與修正后得到的數(shù)據(jù)差別仍然很大而且這個差別在5%左右；

（6）綜合前5個結(jié)論來看，實驗原理的改進的確使實驗觀測數(shù)據(jù)的精度得到了提高，這說明改進后的實驗從原理和實際操作結(jié)果來看都是優(yōu)于傳統(tǒng)實驗的.

1 沈鐘偉，張峰.彈簧質(zhì)量對振動周期的影響.大學(xué)物理，2013，32（3）：44～45

2 Robert Weinstock.Oscillations of a particle attached to a heavy spring：An application of the Stieltjes integral.American Journal of Physics，1979，47（6）：508～514

3 江昌龍.能量法求解彈簧的彈性系數(shù).力學(xué)與實踐，2008，30（6）：93

4 蔣毅.也談彈簧振子計及彈簧質(zhì)量的問題.昭通師專學(xué)報（自然科學(xué)版），1987（5）

5 康文秀.彈簧質(zhì)量對振子運動的影響.保定師范?？茖W(xué)校學(xué)報，2004，17（2）：25～27

6 徐月明.彈簧質(zhì)量對振子振動周期影響的實驗研究.物理通報，2011（11）：64～65