隨機(jī)需求航線網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)下機(jī)隊(duì)魯棒優(yōu)化方法

汪 瑜，朱金福，葛 偉

(1.中國民航飛行學(xué)院航空運(yùn)輸管理學(xué)院，四川 廣漢 618307;2.南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院，江蘇 南京 210016)

明確航空公司擬運(yùn)營區(qū)域未來一段時(shí)期內(nèi)機(jī)隊(duì)的規(guī)模與結(jié)構(gòu)，是確保航空運(yùn)輸企業(yè)在需求旺季時(shí)實(shí)現(xiàn)運(yùn)營利潤最大化的前提，也是航空公司在需求淡季時(shí)降低運(yùn)營過剩運(yùn)力的保證.魯棒的機(jī)隊(duì)構(gòu)成可以提高民航企業(yè)優(yōu)化稀缺資源配置的能力，因此，合理有效的機(jī)隊(duì)魯棒優(yōu)化方法關(guān)系到民航運(yùn)輸企業(yè)的運(yùn)營成本和風(fēng)險(xiǎn)可控性，是獲取最大收益的關(guān)鍵性戰(zhàn)略決策.

文獻(xiàn)［1］在分析機(jī)隊(duì)規(guī)劃基本方程的基礎(chǔ)上，給出了宏觀規(guī)劃的經(jīng)驗(yàn)分析方法.文獻(xiàn)［2］在航空公司未來擬運(yùn)營網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的層面上建立了機(jī)隊(duì)宏觀規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型.文獻(xiàn)［3-7］從航班/航線機(jī)型分配的角度構(gòu)建了微觀機(jī)隊(duì)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，并探討了機(jī)隊(duì)的魯棒性規(guī)劃方法.文獻(xiàn)［8］利用數(shù)學(xué)模型分析了機(jī)隊(duì)構(gòu)成與航線特征的關(guān)系，指出了航空管制因素對(duì)航空公司機(jī)隊(duì)構(gòu)成的影響.文獻(xiàn)［9］利用成本分析法分析了歐盟碳排放規(guī)則對(duì)于機(jī)隊(duì)構(gòu)成的影響.文獻(xiàn)［10-11］在考慮了需求限制、機(jī)場(chǎng)交通流限制等因素的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了微觀機(jī)隊(duì)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，基于航線網(wǎng)絡(luò)層面的宏觀機(jī)隊(duì)規(guī)劃法［1］雖然簡(jiǎn)單易操作，但卻很難反映出旅客需求溢出對(duì)于擬運(yùn)營機(jī)隊(duì)構(gòu)成的影響，也無法準(zhǔn)確反映機(jī)型航線的適應(yīng)性問題.而從航線/航班層面的微觀機(jī)隊(duì)規(guī)劃法［3］又很難準(zhǔn)確反映出未來機(jī)隊(duì)擬運(yùn)營環(huán)境的特點(diǎn)，例如旅客需求的不確定性、生產(chǎn)運(yùn)營組織模式特征等.加之國內(nèi)各大航空公司生產(chǎn)運(yùn)營模式向樞紐輪輻式航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)型，大量的中轉(zhuǎn)銜接旅客在增加航段旅客流量的同時(shí)，又使得流經(jīng)航段的旅客組合更為復(fù)雜，這些現(xiàn)象導(dǎo)致傳統(tǒng)微觀機(jī)隊(duì)規(guī)劃法已經(jīng)無法準(zhǔn)確評(píng)估航段旅客組合［12-13］對(duì)于機(jī)隊(duì)構(gòu)成的影響.因此，從旅客組合優(yōu)化角度研究機(jī)隊(duì)的魯棒優(yōu)化方法，對(duì)于航空公司準(zhǔn)確把握未來擬運(yùn)營環(huán)境中所需機(jī)隊(duì)的規(guī)模與結(jié)構(gòu)有重大的現(xiàn)實(shí)意義.

本文首先通過比較全連通航線網(wǎng)絡(luò)與樞紐輪輻式航線網(wǎng)絡(luò)兩種不同航班運(yùn)營組織模式對(duì)于機(jī)隊(duì)構(gòu)成的影響，指出在具有旅客中轉(zhuǎn)銜接的航班組織模式(例如樞紐輪輻式航線網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營模式)下旅客需求溢出的網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)問題，同時(shí)又進(jìn)一步說明從航線網(wǎng)絡(luò)環(huán)境運(yùn)力優(yōu)化配置角度構(gòu)建機(jī)隊(duì)規(guī)劃方法的必要性;其次，以機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本最小化為目標(biāo)函數(shù)，綜合考慮未來擬運(yùn)營區(qū)域內(nèi)航班頻次限制、旅客需求限制、飛行時(shí)間限制等資源約束，構(gòu)建航空公司機(jī)隊(duì)的魯棒優(yōu)化模型;然后，通過構(gòu)造旅客需求的離散情景集，利用情景匯聚(scenario aggregation)算法求解機(jī)隊(duì)規(guī)劃問題;最后，通過算例驗(yàn)證了機(jī)隊(duì)規(guī)劃方法的有效性.

1 問題提出

從微觀層面構(gòu)建機(jī)隊(duì)規(guī)劃方法必須準(zhǔn)確模擬企業(yè)在未來一段時(shí)期內(nèi)的運(yùn)營環(huán)境，然而在樞紐航線網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營模式下，某一航段旅客的溢出很有可能會(huì)造成整個(gè)航線網(wǎng)絡(luò)環(huán)境內(nèi)旅客流量的下降，進(jìn)而導(dǎo)致傳統(tǒng)基于航段的微觀機(jī)隊(duì)規(guī)劃法無法準(zhǔn)確評(píng)估旅客溢出成本對(duì)于機(jī)隊(duì)規(guī)劃結(jié)果的影響.圖1(圈內(nèi)字母表示機(jī)場(chǎng)，線上數(shù)字表示座級(jí))給出了全連通航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與樞紐輪輻式航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，不同航班運(yùn)營模式對(duì)機(jī)隊(duì)構(gòu)成的影響.全連通航線網(wǎng)絡(luò)是指任意兩個(gè)城市之間都有直達(dá)航班的航線網(wǎng)絡(luò);樞紐輪輻式航線網(wǎng)絡(luò)是指航線的安排以某個(gè)城市為樞紐，其它城市之間沒有直達(dá)航線，而是都與樞紐相連，通過樞紐進(jìn)行中轉(zhuǎn)銜接［14］.

假設(shè)在充分考慮航班機(jī)型運(yùn)營成本的前提下，圖1(a)的全連通航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可以采用110座級(jí)的飛機(jī)運(yùn)輸8次，而在圖1(b)的樞紐輪輻式航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，H點(diǎn)成為樞紐且為其它節(jié)點(diǎn)旅客需進(jìn)行轉(zhuǎn)運(yùn)，此時(shí)需要采用260座級(jí)的飛機(jī)運(yùn)輸4次，但同時(shí)會(huì)導(dǎo)致10位旅客需求溢出，若溢出的是中轉(zhuǎn)銜接旅客，就會(huì)造成其它銜接航段上旅客同時(shí)溢出的現(xiàn)象(即航線網(wǎng)絡(luò)效應(yīng))，因此，在機(jī)隊(duì)規(guī)劃時(shí)準(zhǔn)確反映該效應(yīng)是提高機(jī)隊(duì)規(guī)劃準(zhǔn)確性的關(guān)鍵.

與全連通航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不同的是，由于樞紐航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)采用航班中轉(zhuǎn)銜接模式運(yùn)輸旅客，這使得流經(jīng)任一航段的旅客會(huì)產(chǎn)生疊加現(xiàn)象.疊加現(xiàn)象可以保證航空公司采用更大座級(jí)飛機(jī)執(zhí)飛而形成一定的網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)性，因此，準(zhǔn)確反映航線網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型對(duì)于需求的影響同樣也是保證機(jī)隊(duì)規(guī)劃結(jié)果準(zhǔn)確性的關(guān)鍵.

圖1 不同航線網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營模式對(duì)機(jī)隊(duì)構(gòu)成的影響Fig.1 Impact of different route network operation modes on fleet composition

2 模型建立

考慮旅客需求溢出的網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)，機(jī)隊(duì)規(guī)劃過程必須考慮旅客的組合優(yōu)化問題.航段上旅客需求的疊加現(xiàn)象，又使得機(jī)隊(duì)規(guī)劃過程必須考慮航線網(wǎng)絡(luò)運(yùn)力的優(yōu)化分配問題.鑒于此，本文在充分考慮旅客組合優(yōu)化問題的基礎(chǔ)上，利用需求運(yùn)力優(yōu)化配置技術(shù)構(gòu)建航空公司的機(jī)隊(duì)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型.

2.1 符號(hào)說明

基于航線網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)下的運(yùn)力優(yōu)化配置的機(jī)隊(duì)規(guī)劃模型決策變量與參數(shù)說明如下:

zk為決策變量，表示在機(jī)隊(duì)規(guī)劃期內(nèi)所需機(jī)型k(k∈K)飛機(jī)的架數(shù)，單位:架;

xik為決策變量，表示機(jī)型k飛機(jī)執(zhí)飛航段i(i∈I)的頻次，單位:次;

ypr為決策變量，表示同一市場(chǎng)上行程路線p(p∈P)溢出至行程路線r(r∈P)上的旅客數(shù)，單位:人次;

ak為在機(jī)隊(duì)規(guī)劃期內(nèi)機(jī)型k(k∈K)飛機(jī)的平均單位采購成本，單位:萬元;

bpr為行程路線p(p∈P)上的旅客溢出至行程路線r(r∈P)上的再捕獲率;

δpi為 0-1 變量，

cik為機(jī)型k飛機(jī)執(zhí)飛航段i發(fā)生的變動(dòng)成本，單位:萬元/次;

fp為行程路線p上旅客的平均票價(jià)，單位:萬元;

Fi為航段i上航班的最大飛行次數(shù)，單位:次;

Ccapik為機(jī)型k飛機(jī)執(zhí)飛航段i的實(shí)際可用座位數(shù)，單位:個(gè);lik為機(jī)型k飛機(jī)執(zhí)飛航段i的期望客座率;dp為行程路線p上的旅客數(shù)，為需求隨機(jī)變量，單位:人次;

tik為機(jī)型k飛機(jī)執(zhí)飛航段i的輪擋飛行時(shí)間，單位:h;

mk為機(jī)型k飛機(jī)的日期望利用率，單位:h.

2.2 數(shù)學(xué)模型

航空運(yùn)輸市場(chǎng)的季節(jié)性特征使得旅客需求具有不確定性，該現(xiàn)象使得傳統(tǒng)確定性機(jī)隊(duì)規(guī)劃法所得出的機(jī)隊(duì)構(gòu)成無法很好地適應(yīng)市場(chǎng)需求的波動(dòng).例如，在需求旺季時(shí)，會(huì)由于公司運(yùn)力不足而導(dǎo)致收益的大量流失;而在需求淡季時(shí)，又往往會(huì)由于運(yùn)力過剩而導(dǎo)致不必要的成本支出.因此，本文將旅客行程路線上的旅客需求視為隨機(jī)變量，并構(gòu)建機(jī)隊(duì)的魯棒優(yōu)化模型.判斷機(jī)隊(duì)構(gòu)成優(yōu)劣需要一個(gè)統(tǒng)一的評(píng)估指標(biāo)，本文構(gòu)建的機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本包括:

(1)機(jī)隊(duì)采購成本;

(2)機(jī)型航段運(yùn)行變動(dòng)成本;

(3)旅客需求溢出成本.

構(gòu)建的機(jī)隊(duì)魯棒優(yōu)化模型可以描述為

式(1)表示機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本最小化目標(biāo)函數(shù);式(2)表示任一航段i上執(zhí)飛的航班頻次不能超過其所允許的最大航班數(shù)量;式(3)和(4)是旅客組合優(yōu)化模型約束，式(3)表示任一航段i上承載的旅客人數(shù)不小于實(shí)際經(jīng)過該航段的旅客人數(shù)，式(4)表示任一旅客行程路線p上的溢出人數(shù)不能超過該行程路線的需求量;式(5)表示第k種機(jī)型機(jī)隊(duì)的實(shí)際輪擋飛行小時(shí)數(shù)不超過機(jī)隊(duì)所能提供的最大輪擋飛行小時(shí)數(shù);式(6)為決策變量的類型與取值范圍.

需要說明的是，在行程路線p與r相同時(shí)，旅客溢出的再捕獲率是相同的，即 bpp=1，此時(shí)，式(1)中第3項(xiàng)的系數(shù)(fp－bppfp)為0.

由于式(1)以機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本最小化為目標(biāo)函數(shù)，因此，決策變量ypp反映了實(shí)際承載行程路線p上的旅客數(shù)量.另外，針對(duì)旅客實(shí)際溢出問題，本文設(shè)計(jì)了虛擬旅客行程路線，用yp表示從行程路線p溢出后轉(zhuǎn)至虛擬旅客行程路線的旅客數(shù).

3 算法設(shè)計(jì)

旅客需求的不確定性使得魯棒優(yōu)化模型中旅客需求的轉(zhuǎn)移和再捕獲過程變得復(fù)雜化，因此，本文采用情景匯聚算法［7，15-17］進(jìn)行求解.情景匯聚算法的基本思想可以描述為:首先，假設(shè)旅客需求服從正態(tài)分布，按照等間距劃分需求累積概率值的原則，將每個(gè)行程路線上的旅客需求概率分布范圍進(jìn)行劃分并產(chǎn)生需求情景(scenario)集S;然后，構(gòu)造機(jī)隊(duì)規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)的增廣拉格朗日函數(shù)，且對(duì)第s(s∈S)種情景求解其增廣拉格朗日函數(shù)值，并將機(jī)隊(duì)構(gòu)成決策變量值進(jìn)行匯聚;最后得出期望機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本最小的魯棒機(jī)隊(duì)構(gòu)成.算法步驟如下:

(1)產(chǎn)生需求情景集.根據(jù)行程路線p上的旅客需求分布函數(shù)，按照等間距劃分需求累積概率值的原則，利用式(7)進(jìn)行等分并產(chǎn)生個(gè)需求，對(duì)這些需求進(jìn)行隨機(jī)排列后形成行程路線層面上的需求情景集

式中:N為行程路線數(shù)目.

式中:F為需求累積分布函數(shù).

(2)構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù).設(shè)ˉzk表示待求解魯棒機(jī)隊(duì)構(gòu)成決策變量，為了保證機(jī)隊(duì)構(gòu)成在任意情景下的一致性，在機(jī)隊(duì)規(guī)劃模型(式(1)～(6))的基礎(chǔ)上，還必須滿足約束條件式(8).因此，構(gòu)造第s種情景下的增廣拉格朗日函數(shù)如式(9)所示.

式中:f(xik(s)，ypr(s)，zk(s))為情景s下機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本的目標(biāo)函數(shù);

wk為拉格朗日乘子.

(3)計(jì)算需求再捕獲率.利用工業(yè)指標(biāo)量化市場(chǎng)份額指數(shù)(quantitative share index)［12］，計(jì)算情景s下旅客從行程路線p轉(zhuǎn)移至r(r∈P)的需求再捕獲率，如式(10)所示.

式中:qr(s)為情景s下行程路線r對(duì)旅客的吸引力.

(5)迭代求解情景匯聚模型.對(duì)于每一情景，求解以式(9)為目標(biāo)函數(shù)、式(1)～(6)和(8)為約束條件的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.判斷規(guī)劃結(jié)果是否滿足式(11)的終止條件，若是則停止，并按式(12)計(jì)算隨機(jī)情景下期望的機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本G，并將其作為情景匯聚算法求解的目標(biāo)函數(shù)值;否則，按式(13)和(14)分別更新拉格朗日乘子w(t)k和變量 ˉz(t)k的值，重復(fù)步驟(5)，直至滿足式(11)為止.

式中:ε為預(yù)先設(shè)定的一個(gè)充分小的非負(fù)實(shí)數(shù).

考慮到旅客需求為符合正態(tài)分布的連續(xù)型隨機(jī)變量，因此，在求解步驟(5)中的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型時(shí)，可以將變量ypr松弛為非負(fù)實(shí)數(shù).

4 算例

為了說明本文設(shè)計(jì)方法的有效性，采集圖2所示航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)運(yùn)營模式的某航空公司運(yùn)營數(shù)據(jù)(見表1和表2)，利用ILOG/CPLEX軟件對(duì)6種候選機(jī)型、12個(gè)航段、57條旅客行程路線進(jìn)行分析.根據(jù)算法的收斂性以及決策變量的類型，本文給定情景匯聚算法的收斂條件為ε=10－6.

圖2 非嚴(yán)格樞紐輪輻式航線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)運(yùn)營模式Fig.2 Operation mode of nonstrict hub-and-spoke airline network structure

表1 航線網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下機(jī)型運(yùn)營信息Tab.1 Operation information of fleet types under airline network environment

表2 航線網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下航段運(yùn)營數(shù)據(jù)Tab.2 Leg-based operation data under airline network environment

圖2中所有輪輻機(jī)場(chǎng)的旅客只能通過樞紐機(jī)場(chǎng)H1和H2進(jìn)行中轉(zhuǎn)，且輪輻機(jī)場(chǎng)之間沒有旅客中轉(zhuǎn)銜接功能.

從表3可見，與不考慮旅客網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)問題的基于航段的機(jī)隊(duì)規(guī)劃方法(傳統(tǒng)機(jī)隊(duì)規(guī)劃模型)相比較，本文所設(shè)計(jì)的機(jī)隊(duì)規(guī)劃模型的機(jī)隊(duì)構(gòu)成為:機(jī)型2/1架，機(jī)型 3/76架;機(jī)型 4/1架，機(jī)型 6/12架.機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本相應(yīng)減少了167.07萬元，而溢出人數(shù)、溢出率(指溢出人數(shù)與旅客需求總數(shù)的比值)以及溢出成本(指溢出人數(shù)與平均票價(jià)的乘積)卻分別增加了 1606.66人次、8.27% 和222.46 萬元.

另外，兩種方法所得出的飛機(jī)數(shù)目相差7架，這意味著傳統(tǒng)機(jī)隊(duì)規(guī)劃法中旅客溢出成本的減少是以增加飛機(jī)運(yùn)行頻次(飛機(jī)數(shù))為代價(jià)的，而飛機(jī)數(shù)的增加意味著更多采購成本的支出，因此，合理的旅客需求溢出對(duì)于航空公司機(jī)隊(duì)規(guī)劃決策在一定程度上是有利的.該現(xiàn)象也充分說明了樞紐航線網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作模式下本文所設(shè)計(jì)機(jī)隊(duì)規(guī)劃方法的優(yōu)勢(shì).

為了說明情景匯聚算法的有效性，將本文設(shè)計(jì)算法求解得出的期望解與確定解的隨機(jī)期望值進(jìn)行比較.通過表4可以發(fā)現(xiàn)，在情景數(shù)目為20、40和60個(gè)時(shí)，隨機(jī)規(guī)劃期望解的各項(xiàng)指標(biāo)(機(jī)隊(duì)構(gòu)成、機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本、旅客溢出數(shù)、旅客溢出率和旅客溢出成本)的偏差保持了一定的穩(wěn)定性，這說明情景數(shù)目的取值對(duì)于情景匯聚算法求解結(jié)果穩(wěn)定性的影響較小.另外，對(duì)比隨機(jī)規(guī)劃的期望解與確定解的隨機(jī)期望值，可以發(fā)現(xiàn)在情景數(shù)目為20、40和60個(gè)時(shí)，利用情景匯聚算法所得出的機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本分別減少了19.88、21.02 與 17.55 萬元，這表明了在需求不確定性前提下，本文所設(shè)計(jì)算法的有效性.3種情景下的旅客溢出數(shù)、溢出率以及溢出成本的變化也充分說明了機(jī)隊(duì)在需求不確定性前提下，雖然提供更多運(yùn)力會(huì)引起額外的固定成本支出，但可以有效的避免旅客溢出所帶來的成本損失，而當(dāng)這種旅客溢出損失大于機(jī)隊(duì)固定成本增加時(shí)，那么就應(yīng)該選擇更多運(yùn)力的機(jī)隊(duì)決策方案.

綜上所述，本文在考慮需求不確定性前提下所設(shè)計(jì)的算法能夠有效地降低機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本，因此，所得出的機(jī)隊(duì)構(gòu)成能夠更好的適應(yīng)市場(chǎng)需求的波動(dòng)，具有更好的魯棒特點(diǎn).

需要說明的是，隨機(jī)規(guī)劃模型的期望解是指相應(yīng)決策變量與目標(biāo)函數(shù)的解，以及在此基礎(chǔ)上所形成的相關(guān)指標(biāo)的解;確定解的隨機(jī)期望值是指以旅客需求均值為基礎(chǔ)求解得出的機(jī)隊(duì)規(guī)劃的確定解，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步求解得出的各種情景下最小機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本的相關(guān)解的期望值.

表3 與傳統(tǒng)機(jī)隊(duì)規(guī)劃模型計(jì)算結(jié)果的相關(guān)指標(biāo)比較Tab.3 Comparison to the results from traditional fleet planning model on related indices

表4 隨機(jī)規(guī)劃的期望解與確定解的隨機(jī)期望值的比較Tab.4 Comparison between the expected solution to stochastic planning and the deterministic solution to stochastic expectation

5 結(jié)束語

本文利用需求運(yùn)力優(yōu)化配置技術(shù)，結(jié)合各航段機(jī)型最大飛行頻次限制、最大旅客需求限制以及機(jī)隊(duì)最大飛行時(shí)間限制等因素，將旅客組合優(yōu)化方法應(yīng)用到機(jī)隊(duì)規(guī)劃問題之中，在考慮旅客溢出再捕獲情況的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于航線網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)下運(yùn)力優(yōu)化配置的機(jī)隊(duì)魯棒優(yōu)化模型，并在旅客需求不確定性的基礎(chǔ)上，利用情景匯聚算法求解機(jī)隊(duì)的魯棒性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型.案例分析表明，基于航線網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)的機(jī)隊(duì)規(guī)劃方法能夠有效降低機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本;利用情景匯聚算法求解得出的機(jī)隊(duì)隨機(jī)規(guī)劃期望成本值比確定解下的機(jī)隊(duì)規(guī)劃成本最小期望值更低.因此，本文設(shè)計(jì)的機(jī)隊(duì)規(guī)劃方法所得出的機(jī)隊(duì)構(gòu)成能夠更好的適應(yīng)市場(chǎng)需求的波動(dòng)，且是有效可行的.考慮航空公司備份運(yùn)力以及因維修計(jì)劃所需周轉(zhuǎn)運(yùn)力的需要，公司實(shí)際運(yùn)營所需的飛機(jī)數(shù)應(yīng)多于本文計(jì)算結(jié)果.

［1］彭語冰，張永莉，張曉全.機(jī)隊(duì)規(guī)劃模型的建立及其應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程:理論與實(shí)踐，2001，21(6):100-103.PENG Yubing，ZHANG Yongli，ZHANG Xiaoquan.Fleetplanning modeling and its applications［J］.Systems Engineering:Theoryand Practice， 2001，21(6):100-103.

［2］朱金福.航空運(yùn)輸規(guī)劃［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008:238-240.

［3］汪瑜，孫宏.基于航班機(jī)型分配技術(shù)的機(jī)隊(duì)規(guī)劃啟發(fā)式算法［J］.系統(tǒng)工程:理論與實(shí)踐，2011，31(2):371-378.WANG Yu，SUN Hong.Heurist algorithm of fleet planning based on airline fleet assignment［J］.Systems Engineering:Theory and Practice，2011，31(2):371-378.

［4］汪瑜，孫宏.航空公司機(jī)隊(duì)的魯棒性規(guī)劃啟發(fā)式算法［J］.系統(tǒng)工程:理論與實(shí)踐，2013，33(4):963-970.WANG Yu， SUN Hong. Heuristic algorithm to incorporating robustness into airline fleet planning［J］.Systems Engineering:Theory and Practice， 2013，33(4):963-970.

［5］孫宏，張培文，汪瑜.基于航線網(wǎng)絡(luò)運(yùn)力優(yōu)化分配的機(jī)隊(duì)規(guī)劃方法［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，45(1):111-115.SUNHong， ZHANG Peiwen， WANG Yu. Fleet planning approach based on route fleet assignment optimizing［J］. Journal of Southwest Jiaotong University，2010，45(1):111-115.

［6］段曉江，馮允成.啟發(fā)式民用飛機(jī)機(jī)隊(duì)規(guī)劃［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，1996，22(4):504-508.DUAN Xiaojiang，F(xiàn)ENG Yuncheng.Efficient heuristic algorithm to airline fleet planning［J］. Beijing University of Aeronautics and Astronautics， 1996，22(4):504-508.

［7］LISTES O，DEKKER R.A scenario aggregation-based approach for determining a robust airline fleet composition for dynamic capacity allocation［J］.Transportation Science，2005，39(3):367-382.

［8］BROWN J H. Airline fleet composition and deregulation［J］. Review of Industrial Organization，1992，8(4):435-449.

［9］TSAI W H，LEE K C，LIU J Y，et al.A mixed activity-based costing decision model for green airline fleet planning under the constraints of the European Union Emissions Trading Scheme［J］.Energy，2012，39(1):218-226.

［10］ZHURBENKO N G，PINAEY E G，SHOR N Z，et al.Choice of fleet composition and allocation of aircraft to civilairline routes［J］. Cybernetics and Systems Analysis，1976，12(4):636-640.

［11］都業(yè)富.機(jī)隊(duì)規(guī)劃的優(yōu)化［J］.系統(tǒng)工程:理論與實(shí)踐，1997，23(7):136-138.DU Yefu.Optimization of fleet planning［J］.Systems Engineering:Theory and Practice，1997，23(7):136-138.

［12］BARNHART C，KNIKER T S，MANOJ L.Itinerary-based airline fleet assignment［J］. Transportation Science，2002，36(2):199-217.

［13］JACOBS TL， SMITH BC， JOHNSON EL.Incorporating network flow effects into the airline fleet assignment process［J］.Transportation Science，2008，42(4):514-529.

［14］柏明國，朱金福.全連通航線網(wǎng)絡(luò)和樞紐航線網(wǎng)絡(luò)的比較研究［J］.系統(tǒng)工程:理論與實(shí)踐，2006，26(9):113-117.BAI Mingguo，ZHU Jinfu.Comparative study on fully-connected and hub-and-spoke airline networks［J］.Systems Engineering:Theory and Practice，2006，26(9):113-117.

［15］ROCKAFELLAR R T，WETS R J B.Scenarios and policy aggregation in optimization under uncertainty［J］. Mathematics Operation Research，1991，16(1):119-147.

［16］CAROE C C，SCHULTZ R.Dual decomposition in stochastic integer programming［J］. Operation Research Letters，1999，24(2):37-45.

［17］WATSON J P，WOODRUFF D L.Progressive hedging innovations for a class of stochastic mixed-integer resource allocation problems［J］. Computer Management Science，2011，8:355-370.