基于滑模自適應(yīng)控制的不確定混沌系統(tǒng)修正函數(shù)投影同步

余名哲，張友安，吳華麗

（海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東煙臺(tái)264001）

基于滑模自適應(yīng)控制的不確定混沌系統(tǒng)修正函數(shù)投影同步

余名哲，張友安，吳華麗

（海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東煙臺(tái)264001）

研究了一類不確定混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步。首先，設(shè)計(jì)了一類滑模曲面；基于該曲面設(shè)計(jì)了同步控制器，并采用自適應(yīng)技術(shù)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律對(duì)不確定參數(shù)進(jìn)行逼近。在一定條件下，該同步控制方案可以實(shí)現(xiàn)2個(gè)不確定異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步。然后，為保證合適的控制量，對(duì)控制增益進(jìn)行了優(yōu)化。從同步效果來看，所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)混沌系統(tǒng)的不確定項(xiàng)的影響具有較強(qiáng)的魯棒性。最后，數(shù)值仿真驗(yàn)證了該控制器的有效性和可行性。

混沌系統(tǒng)；修正函數(shù)投影同步；滑模自適應(yīng)控制；魯棒性

混沌現(xiàn)象在工程實(shí)踐中特別是在生物醫(yī)學(xué)、保密通信、圖像加密、信息處理、光學(xué)、化學(xué)工程、航天等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。在這些領(lǐng)域，實(shí)際問題的方程建模及解法很多都體現(xiàn)出了混沌特性[1-3]，由此引起了國內(nèi)外學(xué)者們的高度關(guān)注。從1990年OGY控制方法提出以來，混沌的控制和同步方法層出不窮，但是大多基于理想的混沌層面[4-5]。實(shí)際系統(tǒng)中，理想的混沌系統(tǒng)幾乎是不存在的，工程中要面對(duì)的往往是具有種種不確定性因素的非線性系統(tǒng)，比如系統(tǒng)中含有不確定參數(shù)、結(jié)構(gòu)不確定項(xiàng)、內(nèi)部及外部擾動(dòng)等。這些不確定性因素有可能是未知的，也有可能是時(shí)變的[6-7]。這就要求研究混沌系統(tǒng)時(shí)，要充分考慮有不確定性因素情況下如何保證系統(tǒng)同步的魯棒性，即克服不確定性對(duì)混沌系統(tǒng)控制的影響。

目前，混沌同步的方式也越來越多樣化，有反同步、相同步、滯后同步、投影同步、函數(shù)同步等。投影同步是指驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步向量之比為一個(gè)常數(shù)，這種同步方式相較來說提高了一定的同步復(fù)雜性，但其結(jié)構(gòu)還是比較簡單。有學(xué)者將比例常數(shù)擴(kuò)展為函數(shù)或者常數(shù)陣，這樣就構(gòu)成了函數(shù)投影同步或修正投影同步。更有學(xué)者將常數(shù)陣擴(kuò)展成比例函數(shù)矩陣，提出了一種新的同步方法，即修正函數(shù)投影同步[8-9]，就是將驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步向量按任意給定的比例函數(shù)矩陣關(guān)系進(jìn)行同步。將該同步方式運(yùn)用于通信時(shí)，因加入了第三方不可預(yù)知的比例函數(shù)，從而增加了傳輸過程中混沌信號(hào)抗破譯的難度。因此，修正函數(shù)投影同步具有重要的研究前景和現(xiàn)實(shí)意義。

在控制方法中，自適應(yīng)控制由于其良好的魯棒控制性能，對(duì)混沌系統(tǒng)中的不確定部分進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)是十分適用的。另外，滑模變結(jié)構(gòu)控制也因?yàn)槠鋵?shí)現(xiàn)簡單，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和內(nèi)部及外部干擾具有很好的不敏感性，即具有較強(qiáng)魯棒性的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)不確定系統(tǒng)進(jìn)行控制也非常合適。本文采用自適應(yīng)控制和滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合的控制方法對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行了函數(shù)修正投影同步的研究，并依據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了同步控制器與相應(yīng)的自適應(yīng)律，并對(duì)控制增益進(jìn)行優(yōu)化[10]。本文采用的優(yōu)化增益方法與文獻(xiàn)[10]比，沒有考慮非線性項(xiàng)的假定問題，直接設(shè)定一個(gè)常數(shù)，更為便捷。仿真結(jié)果表明，該控制策略響應(yīng)速度快，具有較強(qiáng)的抗干擾能力，并且具有較高的實(shí)用價(jià)值。

1 問題描述和模型建立

考慮如下混沌系統(tǒng)：

構(gòu)建引入控制輸入的響應(yīng)系統(tǒng)為

式（1）、（2）中：x,y∈?n為系統(tǒng)狀態(tài)向量；f(x,t)、g(y,t)為光滑的非線性函數(shù)向量；F(x,t),G(y,t)∈?n×n為已知的矩陣函數(shù)；θx,θy∈?n和dx(t)、dy(t)分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的未知常數(shù)項(xiàng)與擾動(dòng)項(xiàng)，且假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)均有界；u=[u1,u2,…,un]T為系統(tǒng)的輸入控制量。

[8]定義驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步誤差為：

當(dāng)使得lti→m∞‖e‖=lti→m∞‖y-Mx‖=0，e=[e1,e2,…,ei,…,en]T為系統(tǒng)誤差向量。稱為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到修正函數(shù)投影同步。

定義：比例函數(shù)矩陣

式中，mi(t)為連續(xù)可微的有界函數(shù)。（注：當(dāng)m1(t)=m2(t)=…=mn(t)時(shí)退化為函數(shù)投影同步）。

對(duì)誤差式（3）左右兩邊關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，可以得到同步誤差系統(tǒng)為

可見，在加入比例函數(shù)矩陣之后，系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)變?yōu)榉浅?fù)雜。也就是，說應(yīng)用于混沌通信的時(shí)候，抗破譯能力將大為提高。

本文的目的就是要設(shè)計(jì)修正函數(shù)投影同步控制器u，使得當(dāng)t→+∞時(shí)，有‖e‖→0。

注釋：當(dāng)f(·)≠g(·)，F(xiàn)(·)≠G(·)時(shí)，為混沌系統(tǒng)之間的異結(jié)構(gòu)同步；當(dāng)f(·)=g(·)，F(xiàn)(·)=G(·)，為同結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之間的同步。

2 同步控制器與自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

選取如下滑模面：

式中，c∈?n×n，為大于0的設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣。為簡單起見，將矩陣c取為對(duì)角陣，其且元素均為正常數(shù)。

對(duì)式（5）兩邊求導(dǎo)，并將式（4）代入，得到

現(xiàn)在給出定義：d(t)=dy(t)-Mdx(t)，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)來說，干擾一般是有界的，又由于比例函數(shù)mi有界，可知擾動(dòng)向量d中的元素di(t)也是有界的，此處假設(shè)di(t)上界di*未知。

設(shè)計(jì)同步控制器為如下形式：

定理1：在同步控制器（8）和自適應(yīng)律（9）的控制作用下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)將達(dá)到修正函數(shù)投影同步。即當(dāng)t→+∞時(shí)，‖e‖→0。

證明：將設(shè)計(jì)的控制律式（7）代入式（6），得到

參考文獻(xiàn)[10]優(yōu)化控制強(qiáng)度的方法，設(shè)計(jì)如下的Lyapunov函數(shù)：

俄國臨時(shí)政府對(duì)待唐努烏梁海問題的態(tài)度和沙皇政府相同。外蒙古因?yàn)槎韲终继婆瑸趿汉?，一直與俄國存在矛盾，曾于1915年與之交涉，但俄方態(tài)度強(qiáng)硬。之后，克穆齊克旗旗總管巴彥巴達(dá)爾呼向?yàn)醭亲衾韺T洪楨呈文，請(qǐng)求中央政府幫助解決唐努烏梁海問題，陳毅建議中央政府采取強(qiáng)硬態(tài)度，帶兵前往唐努烏梁海，但中國政府沒有采納。在俄國十月革命爆發(fā)之前，由于態(tài)度軟弱，中國政府與俄國的種種交涉也毫無結(jié)果。

將式（10）和設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律（8）代入式（11）：

式（12）中：cmin為參數(shù)矩陣c的最小特征值；‖·‖p的角標(biāo)p表示p范數(shù)。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，結(jié)合Barbalat引理，可確定滑模曲面‖s‖將漸近收斂到0。從任意初始條件出發(fā)的誤差狀態(tài)將收斂到滑模曲面‖s‖=0上，即在所設(shè)計(jì)的控制器和選擇的自適應(yīng)律的作用下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)將達(dá)到修正函數(shù)投影同步。

3 數(shù)值仿真及分析

選取2個(gè)實(shí)際的混沌系統(tǒng)分別作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)來說明控制策略的有效性。以不確定Lorenz混沌系統(tǒng)和Lü氏混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步為例。選擇Lorenz混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

當(dāng)式（13）中參數(shù)選取a1=10、b1=28、c1=8 3時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)。

選取Lü氏混沌系統(tǒng)加入控制輸入構(gòu)建響應(yīng)系統(tǒng)：

當(dāng)參數(shù)選取a2=36、b2=20、c2=3時(shí)，Lü系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)。ε1、ε2為時(shí)變系數(shù)。接下來選擇比例函數(shù)矩陣，要注意在選擇的時(shí)候函數(shù)不能為零。

由定理1可以得到系統(tǒng)的控制律：

將給定的比例函數(shù)陣式M的分量代入式（16）得到具體系統(tǒng)同步控制律。定理1還可以得到不確定項(xiàng)各自的自適應(yīng)律。

選取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初值為(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,0,0.5)，(y1(0),y2(0),y3(0))=(0.5,1,0.5)，選取ci=2，r=30，擾動(dòng)幅值δxi=0.5，δyi=0.8，待定控制強(qiáng)度的初始值=(1,1,1),(i=1,2,3)，自適應(yīng)參數(shù)向量初值(10,30,20)，得到如圖1～4的仿真結(jié)果。

圖1施加控制的系統(tǒng)同步誤差曲線Fig.1 States of error system with control

圖2控制增益k1隨時(shí)間變化曲線Fig.2 Curve of the control gaink1

圖3驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)不確定參數(shù)自適應(yīng)變化曲線Fig.3 Adaptive parameters of drive system

圖4響應(yīng)系統(tǒng)不確定參數(shù)自適應(yīng)變化曲線Fig.4 Adaptive parameters of response system

仿真結(jié)果證明，控制器在有限時(shí)間內(nèi)很好地將同步誤差收斂到零，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，也就是說驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到了修正函數(shù)投影同步。

4 結(jié)論

本文針對(duì)受擾且含有不確定參數(shù)的混沌系統(tǒng)修正函數(shù)投影同步問題設(shè)計(jì)了控制策略。該策略基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，選擇自適應(yīng)控制方法，設(shè)計(jì)了參數(shù)自適應(yīng)律，對(duì)系統(tǒng)不確定項(xiàng)進(jìn)行了估計(jì)，為了克服干擾的影響設(shè)計(jì)了具有較強(qiáng)魯棒性的滑模曲面，并根據(jù)滑?？蛇_(dá)條件設(shè)計(jì)自適應(yīng)同步控制器。該控制器將系統(tǒng)在空間中的軌線都能收斂到滑模面上，在其作用下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了修正函數(shù)投影同步。該方法對(duì)異結(jié)構(gòu)和同結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)具有一般性，不僅對(duì)外界或內(nèi)部干擾具有較好的魯棒性能，而且對(duì)控制增益進(jìn)行了優(yōu)化。數(shù)學(xué)推理和仿真分析驗(yàn)證了該方法的有效性。

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Modified Function Projective Synchronization Base on Sliding Mode Adaptive Control for Chaotic Systems with Uncertainties

YU Ming-zhe,ZHANG You-an,WU Hua-li
（Department of Control Engineering,NAAU,Yantai Shandong 264001,China）

A modified function projective synchronization of a class of chaotic systems with uncertainties was investigated. Firstly,a sliding mode was designed based on the sliding mode,the synchronization controller was designed,and the adaptive technology was used to design the adaptive laws to approach the unknown parameters.Under certain conditions,the modified function projective synchronization could be realized between two non-identical chaotic systems.Then,in order to get the appropriate control input,the control gain was optimized.From view point of the effect of the synchronization,the controller was robust for the uncertainties of systems.Finally,the simulations verified the feasibility and effectiveness of the method.

chaotic systems;modified function projective synchronization;adaptive sliding mode control;robustness

TP391

A

1673-1522（2014）02-0101-04

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.02.001

2013-12-20；

2014-02-24

余名哲（1982-），男，博士生；張友安（1963-），男，教授，博導(dǎo)，博士。