基于隨機(jī)截尾的導(dǎo)彈值班可靠性分析

唐嘉鈺，趙建印

（海軍航空工程學(xué)院a.學(xué)員旅；b.兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東煙臺(tái)264001）

基于隨機(jī)截尾的導(dǎo)彈值班可靠性分析

唐嘉鈺a，趙建印b

（海軍航空工程學(xué)院a.學(xué)員旅；b.兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東煙臺(tái)264001）

考慮到導(dǎo)彈值班環(huán)境同岸上貯存環(huán)境存在諸多明顯差異，對(duì)于導(dǎo)彈值班數(shù)據(jù)的壽命分布規(guī)律應(yīng)當(dāng)進(jìn)行單獨(dú)研究。運(yùn)用殘存比率法對(duì)某型導(dǎo)彈的值班數(shù)據(jù)進(jìn)行了可靠性數(shù)據(jù)處理和分析，分別用指數(shù)分布和三參數(shù)威布爾分布進(jìn)行擬合，并證明了三參數(shù)威布爾分布能更好地描述導(dǎo)彈值班可靠性。

導(dǎo)彈值班可靠性；隨機(jī)截尾；威布爾分布；殘存比率法

導(dǎo)彈屬于長期貯存、一次使用的作戰(zhàn)武器，也是各類水面艦艇的關(guān)鍵組成部分，其性能好壞直接影響艦艇的作戰(zhàn)效能和遂行作戰(zhàn)任務(wù)的能力。導(dǎo)彈值班、貯存狀態(tài)可靠性是導(dǎo)彈的一項(xiàng)重要戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)，其高低關(guān)系到戰(zhàn)場(chǎng)戰(zhàn)斗力能否迅速形成。近年來人們通常將艦上戰(zhàn)備值班狀態(tài)作為貯存狀態(tài)的一種特例，多采用定時(shí)截尾或定數(shù)截尾方式對(duì)導(dǎo)彈貯存可靠性進(jìn)行一般性分析[1-5]。然而，由于艦艇活動(dòng)范圍廣，續(xù)航時(shí)間長，經(jīng)歷海洋環(huán)境復(fù)雜，作戰(zhàn)任務(wù)多樣，因而艦上值班導(dǎo)彈的貯存同岸基貯存可能有差異。總體上艦艇處于一個(gè)高溫、高濕、高鹽霧的海洋環(huán)境中，非金屬材料橡膠、塑料等制品極易老化，導(dǎo)致電性能下降。同時(shí)高溫、高濕、高鹽霧會(huì)加速金屬的銹蝕，進(jìn)而影響導(dǎo)彈的可靠性[6]。又考慮到受所處環(huán)境局限，值班導(dǎo)彈發(fā)生的故障難以及時(shí)修復(fù)，因而研究導(dǎo)彈值班可靠性成為一個(gè)重要問題。

對(duì)復(fù)雜的電子儀器設(shè)備以及導(dǎo)彈等武器裝備，一般情況下默認(rèn)其壽命服從指數(shù)分布。在進(jìn)行導(dǎo)彈貯存可靠性分析時(shí)，也通常依此建立指數(shù)分布模型。然而同岸上洞庫貯存環(huán)境相比，導(dǎo)彈隨艦值班環(huán)境更加惡劣，發(fā)射箱內(nèi)溫度難于控制，受震動(dòng)環(huán)境的影響艦面穩(wěn)定性較差。諸多環(huán)境因素的影響將引起導(dǎo)彈內(nèi)部各部件、分系統(tǒng)的機(jī)械應(yīng)力、化學(xué)應(yīng)力、熱應(yīng)力等特性參數(shù)發(fā)生變化。因此，對(duì)于值班導(dǎo)彈的具體壽命分布，需要結(jié)合實(shí)地收集的值班數(shù)據(jù)進(jìn)行分析及檢驗(yàn)。

1 隨機(jī)截尾試驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)計(jì)算

可靠性截尾試驗(yàn)通常包含定數(shù)截尾和定時(shí)截尾及隨機(jī)截尾3種試驗(yàn)方式。隨機(jī)截尾試驗(yàn)是指參加試驗(yàn)的樣本，由于某種原因中途撤離了試驗(yàn)，或在現(xiàn)場(chǎng)收集產(chǎn)品可靠性數(shù)據(jù)時(shí)，某些被收集的產(chǎn)品信息中途失去或統(tǒng)計(jì)之時(shí)產(chǎn)品尚未壽終。其中，中途失去觀測(cè)的樣本稱為刪除樣本。值班導(dǎo)彈裝入發(fā)射箱內(nèi)吊上艦后，會(huì)對(duì)導(dǎo)彈進(jìn)行一次射前檢查。導(dǎo)彈艦上值班時(shí)間通常依據(jù)每次作戰(zhàn)任務(wù)需求的不同而改變，而并不遵循特定規(guī)律。值班期滿后，裝有導(dǎo)彈的發(fā)射箱調(diào)運(yùn)回技術(shù)陣地進(jìn)行全面測(cè)試檢查，并統(tǒng)計(jì)值班期間發(fā)生的故障數(shù)。統(tǒng)計(jì)之時(shí)有極大可能存在部分樣本尚未發(fā)生故障，這一特性符合隨機(jī)截尾試驗(yàn)的情況，因而可認(rèn)為艦上戰(zhàn)斗值班的導(dǎo)彈所面對(duì)的是隨機(jī)截尾的情況。這些統(tǒng)計(jì)時(shí)尚未壽終的樣本稱為刪除樣品。

設(shè)n為參加試驗(yàn)的樣本數(shù)，k為刪除樣本數(shù)，r為故障樣本數(shù)，則有n=r+k。

下面采用殘存比率法[7]計(jì)算導(dǎo)彈值班可靠度的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

假設(shè)導(dǎo)彈在某一時(shí)刻ti的可靠度為

式中，S(ti)為樣本在時(shí)間區(qū)間(ti-1,ti)內(nèi)的殘存概率，為一條件概率。它表示在ti-1時(shí)刻無故障的樣本繼續(xù)維持可用狀態(tài)至ti時(shí)刻的概率，其計(jì)算公式為

式（2）中：ns(ti-1)為在ti-1時(shí)刻繼續(xù)受試的樣本數(shù)；Δr(ti)為在區(qū)間(ti-1,ti)內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)。

ns(ti)可由下式得到

式（3）中：n為參加試驗(yàn)的樣本總數(shù)；Δk() tj為時(shí)間(tj-1,tj)內(nèi)刪除的樣本數(shù)。

下面利用整理后的導(dǎo)彈值班數(shù)據(jù)計(jì)算某型彈可靠度經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，結(jié)果見表1。

表1某型導(dǎo)彈值班可靠性經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results of the empirical distribution function to the reliability of a type of missile

2 值班可靠性指數(shù)模型

指數(shù)分布在一定條件下可用來描述大型復(fù)雜系統(tǒng)故障間隔時(shí)間的分布。指數(shù)分布具有計(jì)算簡單、參數(shù)容易估計(jì)和故障率可加性等優(yōu)點(diǎn)。由于指數(shù)分布的故障率是常數(shù)，與時(shí)間無關(guān)，因而它具有無記憶性的特點(diǎn)，即故障的出現(xiàn)與過去的情況無關(guān)，是獨(dú)立的。依據(jù)參考文獻(xiàn)[8]的導(dǎo)彈值班評(píng)估經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)值班數(shù)據(jù)進(jìn)行導(dǎo)彈值班可靠性評(píng)估時(shí)，可假設(shè)導(dǎo)彈貯存壽命分布為指數(shù)分布。

指數(shù)分布故障密度函數(shù)為

分布函數(shù)為

式（4）、（5）中，λ為指數(shù)分布的參數(shù)，與時(shí)間無關(guān)。

已知值班數(shù)據(jù)樣本X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布，均服從指數(shù)分布，分布函數(shù)為

式中，λ為指數(shù)分布的參數(shù)，與時(shí)間無關(guān)。

由于每次值班時(shí)間隨任務(wù)要求變化而不同，因而可認(rèn)為隨機(jī)截尾時(shí)間{Li}(i=1,2,…,n)互相獨(dú)立，其分布函數(shù)為Gi(t)(i=1,2,…,n)，概率密度函數(shù)為gi(t)(i=1,2,…,n)。假設(shè)值班時(shí)故障間隔時(shí)間同截尾時(shí)間無關(guān)，即{Xi}與{Li}(i=1,2,…,n)也相互獨(dú)立。

導(dǎo)彈值班任務(wù)結(jié)束時(shí)間主要受任務(wù)要求、海域天氣環(huán)境等影響，故可合理假定隨機(jī)截尾時(shí)間的分布與未知參數(shù)λ無關(guān)。

值班期滿后，裝有導(dǎo)彈的發(fā)射箱調(diào)運(yùn)回技術(shù)陣地進(jìn)行全面測(cè)試檢查。對(duì)于受試樣本只能觀察到

顯然，δi=1 表示值班期滿后經(jīng)測(cè)試檢查發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈有故障，δi=0表示值班結(jié)束后導(dǎo)彈仍處于正常狀態(tài)。因此，對(duì)第i個(gè)值班樣本Xi(i=1,2,…,n)而言，可用一對(duì)隨機(jī)變量(Yi,δi) (i=1,2,…,n)描述試驗(yàn)是否截尾，以及試驗(yàn)的時(shí)間長度。試驗(yàn)終止時(shí)可得到n組觀察值：

根據(jù)這些觀察值估計(jì)指數(shù)分布中的未知參數(shù)λ。當(dāng)δi=1時(shí)，

式（8）對(duì)yi求導(dǎo)，得

同理，當(dāng)δi=0時(shí)，

由此可得(Yi,δi) (i=1,2,…,n)的聯(lián)合密度為

進(jìn)一步，(Y1,δ1) ,(Y2,δ2) ,…,(Yn,δn) 的聯(lián)合密度為

由于截尾時(shí)間分布中不含未知參數(shù)λ，故式（13）可寫為

式中，A=i=1，為與λ無關(guān)的函數(shù)。

記值班期滿觀察到的故障總數(shù)為

由(Y1,δ1) ,(Y2,δ2),…,(Yn,δn) 的聯(lián)合密度可知，似然函數(shù)為

四川省城鎮(zhèn)家庭可提供家政服務(wù)崗位約120萬個(gè)。目前，四川省已使用家政服務(wù)員64萬個(gè)，還有近40萬個(gè)家政崗位可以開發(fā)。

式中，A與λ無關(guān)。由此可得導(dǎo)彈值班故障率λ的最大似然估計(jì)λ^為

據(jù)此，對(duì)某型導(dǎo)彈值班可靠性進(jìn)行分析[9]，計(jì)算得到其故障率的最大似然估計(jì)值為0.001 3，均方差值（RMSE）為0.032 61，殘差平方和（SSE）為0.014 89。

本文主要采用柯爾莫哥洛夫—斯米爾諾夫檢驗(yàn)法（簡稱K-S檢驗(yàn)法）來判斷值班數(shù)據(jù)的實(shí)際分布是否與理論分布相符合[10]。將值班數(shù)據(jù)的分布和指數(shù)分布進(jìn)行比較，確定兩者之間符合程度，最終確定是否有理由認(rèn)為值班導(dǎo)彈壽命的觀察結(jié)果來自指數(shù)分布的總體。K-S單樣本檢驗(yàn)法通過值班數(shù)據(jù)樣本的累積分布函數(shù)Fp(t)與理論的指數(shù)分布函數(shù)F(t)的比較來進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

假設(shè)：

則檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為兩分布函數(shù)之間的最大偏差，

依據(jù)試驗(yàn)樣本容量n和顯著性水平α可查出臨界值Dαn，通過比較Dn和Dαn的大小可判斷值班壽命分布與指數(shù)分布的擬合情況。若Dn＜Dnα，則可認(rèn)為擬合是滿意的。取置信度為1-α=0.95，計(jì)算理論分布和經(jīng)驗(yàn)分布的差異度Dn=0.039 3，查表得Dαn=0.349 0。Dn＜Dαn，所以接受假設(shè)，可認(rèn)為值班故障分布服從上述參數(shù)的指數(shù)分布。

3 值班可靠性威布爾分布模型

威布爾分布在可靠性工程中，因?yàn)槠渚哂休^大的適應(yīng)性而得到廣泛的應(yīng)用[11]。對(duì)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)采集的值班數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性分析與評(píng)估，采用兩參數(shù)威布爾分布易帶來較大誤差，故選取三參數(shù)威布爾分布數(shù)值計(jì)算法來進(jìn)行擬合及參數(shù)估計(jì)，這樣可得到較高的精度并能較為準(zhǔn)確地反映導(dǎo)彈值班可靠性的實(shí)際情況[12]。

威布爾分布的概率密度函數(shù)為

累積分布函數(shù)為

式（20）、（21）中：m為形狀參數(shù)；γ為位置參數(shù)；t0為尺度參數(shù)。

將分布函數(shù)整理變換得

令

式中：b=m；x=ln() t-t0；a=-lnt0。威布爾分布的線性回歸方程為

威布爾分布的線性回歸方程為

依據(jù)最小二乘法原理可知，回歸系數(shù)和相關(guān)系數(shù)分別可由下式計(jì)算得到：

采用右逼近法對(duì)γ進(jìn)行估計(jì)，對(duì)于導(dǎo)彈值班數(shù)據(jù)(ti,F(ti)),i=1,2,…,n，取γ1=min{ti}為位置參數(shù)t0的初始值，并求得此時(shí)相關(guān)系數(shù)r01。選取步長Δ（一般可選Δ=0.05γ1），然后從γ2=γ1-Δ開始下降，分別重復(fù)上述步驟進(jìn)行計(jì)算，求出每次的相關(guān)系數(shù)r0i，當(dāng){r0i}最大時(shí)，所對(duì)應(yīng)的ti即為所求位置參數(shù)的估計(jì)值。

用上式公式計(jì)算導(dǎo)彈值班數(shù)據(jù)得：

t0=1.059 2×105，γ=-17.203 1，m=1.940 3，此時(shí)，RMSE=0.016 49，SSE=0.003 81。

同樣采用K-S單樣本檢驗(yàn)法進(jìn)行威布爾分布的假設(shè)檢驗(yàn)。取置信度為1-α=0.95，計(jì)算理論分布和經(jīng)驗(yàn)分布的差異度Dn=0.040 1，查表得Dαn=0.349 0。Dn＜Dαn，故同樣可接受假設(shè)，認(rèn)為故障分布服從上述估計(jì)參數(shù)的威布爾分布。

4 值班可靠性指數(shù)模型與威布爾模型比較

前文所述2種模型的函數(shù)擬合曲線如圖1所示。

圖1導(dǎo)彈值班故障指數(shù)分布、威布爾分布函數(shù)曲線圖Fig.1 Function graph of the exponential distributionand the weibull distribution to on-duty fault of the missile

通過前文分析結(jié)合圖1可知，指數(shù)模型與三參數(shù)威布爾模型均可較好地描述導(dǎo)彈值班可靠性，但威布爾分布更接近于數(shù)據(jù)的實(shí)際變化趨勢(shì)。利用相關(guān)軟件分別用2種模型進(jìn)行擬合時(shí)，相關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)值如表2所示。相關(guān)系數(shù)平方R2，即決定系數(shù)，它通過數(shù)據(jù)的變化來表征擬合效果。R2越接近于1，表明自變量對(duì)于因變量的解釋能力越強(qiáng)，模型的擬合效果越好。SSE計(jì)算的是擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的誤差平方和，SSE越接近于0，說明模型擬合的效果越好，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)也越成功。均方根誤差（RMSE）則可由下式獲得：

表2兩種擬合模型統(tǒng)計(jì)參數(shù)值Tab.2 Statistical parameters of two fitting models

通過比較統(tǒng)計(jì)參數(shù)和函數(shù)曲線可發(fā)現(xiàn)，同指數(shù)分布模型相比，三參數(shù)威布爾分布能更好地描述導(dǎo)彈值班時(shí)的可靠性。

5 結(jié)束語

導(dǎo)彈戰(zhàn)備值班時(shí)所處的艦上環(huán)境與庫房貯存環(huán)境截然不同，因而其可靠性分析與保障要求也有著特殊性。本文通過某型導(dǎo)彈值班數(shù)據(jù)的具體處理分析對(duì)于導(dǎo)彈值班故障經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)進(jìn)行了非線性擬合。擬合結(jié)果表明指數(shù)分布和威布爾分布都可用于描述導(dǎo)彈值班可靠性，但經(jīng)過上述分析，威布爾分布較指數(shù)分布擬合精度更高。

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Analysis of On-Duty Missiles Reliability Based on Random Censoring

TANG Jia-yua,ZHAO Jian-yinb
（Naval Aeronautical and Astronautical Institute a.Students’Brigade; b.Department of Ordnance Science and Technology,Yantai Shandong 264001,China）

Considering the obvious differences between on-duty state and storage in warehouse,the reliability of missiles on duty should be specially discussed.The data collected from some on-duty missile was processed based on survival ratio method.And exponential distribution model and Weibull distribution model of three parameters were used for fitting and it’s verified that Weibull distribution model of three parameters worked better.

on-duty missile reliability;random censoring;Weibull distribution;residual ratio method

TJ761.1

A

1673-1522（2014）02-0173-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.02.015

2014-01-20；

2014-02-14

唐嘉鈺（1992-），女，大學(xué)。