混合入侵雜草算法用于陣列天線波束賦形

劉 燕， 焦永昌， 張亞明， 王新寬

(1. 西安電子科技大學(xué) 天線與微波技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；2. 西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710129)

陣列天線波束賦形是指通過(guò)確定陣列天線的一些參數(shù)，使天線陣的輻射方向圖盡可能地接近期望的方向圖，這是典型的非線性多維數(shù)全局優(yōu)化問題．傳統(tǒng)的基于梯度尋優(yōu)的數(shù)值方法大都針對(duì)某一類特定的問題，無(wú)法對(duì)任意波束進(jìn)行賦形．而智能優(yōu)化算法不需目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)信息，可以對(duì)任意形狀的方向圖進(jìn)行設(shè)計(jì)，因此這類算法，如遺傳算法(GA)[1-2]、粒子群算法(PSO)[2-3]和差分進(jìn)化算法(DE)[4-5]等，成為陣列天線波束賦形的主要方法．

2006年，Mehrabian等[6]提出一種新穎的智能優(yōu)化算法——入侵雜草算法(Invasive Weed Optimization，IWO)．該算法模擬雜草入侵的種子在空間擴(kuò)散、生長(zhǎng)、繁殖和競(jìng)爭(zhēng)性消亡的過(guò)程，原理簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，不需要遺傳操作算子，具有很強(qiáng)的魯棒性和自適應(yīng)性，能簡(jiǎn)單有效地收斂于問題的最優(yōu)解．因此，入侵雜草算法一經(jīng)提出就引起國(guó)外天線研究領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注和研究[7-11]．Karimkashi等[7]研究了入侵雜草算法在解決天線問題時(shí)的特殊性能表現(xiàn)，通過(guò)不同的天線設(shè)計(jì)實(shí)例驗(yàn)證了入侵雜草算法在收斂速度、穩(wěn)定性等方面均優(yōu)于粒子群算法和遺傳算法．但基本的入侵雜草算法在處理高維數(shù)、復(fù)雜問題時(shí)收斂速度較慢，進(jìn)化后期容易陷入早熟收斂，因此出現(xiàn)了各種形式的改進(jìn)入侵雜草算法．比如改變基本入侵雜草算法的非線性調(diào)節(jié)因子和標(biāo)準(zhǔn)差[8-9]，或者把入侵雜草算法與粒子群算法、差分進(jìn)化算法等其他優(yōu)化算法相結(jié)合[10-11]．這些改進(jìn)后的算法均被應(yīng)用于對(duì)陣列天線進(jìn)行副瓣降低或深零點(diǎn)生成[8-11]，并取得了好的結(jié)果．而在實(shí)際中，不僅對(duì)天線的副瓣有指標(biāo)要求，很多時(shí)候還需要一個(gè)具有特殊形狀的主瓣，即對(duì)主瓣的形狀進(jìn)行設(shè)計(jì)．正是基于這方面的考慮，筆者用一種全新的思路改進(jìn)入侵雜草算法，并把該改進(jìn)算法應(yīng)用于陣列天線波束賦形的實(shí)例中．

在入侵雜草算法中，雜草個(gè)體通過(guò)一個(gè)滿足正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差獨(dú)立地散播種子．該標(biāo)準(zhǔn)差的值決定了散播的種子分布在距離雜草多遠(yuǎn)的距離范圍，而且標(biāo)準(zhǔn)差的值隨著進(jìn)化代數(shù)的增加而減?。竭M(jìn)化后期，越來(lái)越小的標(biāo)準(zhǔn)差使得產(chǎn)生的新種子分布在距父代雜草很近的范圍內(nèi)，容易陷入局部最優(yōu)，不利于算法收斂．為了改善該問題，筆者提出一種混合入侵雜草算法(HIWO)．首先設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)改進(jìn)基本的入侵雜草算法，該自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差在隨著進(jìn)化代數(shù)的增加而變化的同時(shí)，還隨每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值變化，這樣不僅能提高收斂速度，而且還有助于幫助種子跳出局部最優(yōu)，更好地平衡了全局和局部收斂；然后把簡(jiǎn)化的二次插值法(Simplified Quadratic Interpolation，SQI)作為一種局部搜索方法嵌入到入侵雜草算法框架中，利用簡(jiǎn)化的二次插值法較強(qiáng)的局部搜索能力改善算法的整體性能，提高算法的收斂速度和精度．

1 算法描述

1.1 入侵雜草算法基本原理

入侵雜草算法的實(shí)現(xiàn)包括4個(gè)步驟：初始化、繁殖、空間擴(kuò)散、競(jìng)爭(zhēng)性排除．

第1步: 種群初始化．在D維搜索空間，隨機(jī)產(chǎn)生一組初始解X= (X1，X2，…，XM)，其中M為初始種群個(gè)數(shù)(小于最大種群數(shù)Pmax)，Xi= (xi1，xi2，…，xiD)，i=1，2，…，D，為第i個(gè)個(gè)體．

第2步: 繁殖．每個(gè)雜草個(gè)體能夠散播的種子數(shù)根據(jù)其適應(yīng)度值由最小值到最大值線性變化，越優(yōu)秀的雜草產(chǎn)生的種子越多．筆者研究的是最小化問題，即適應(yīng)度值越小的雜草可產(chǎn)生更多的種子:

(1)

其中，f(Xi)為第i個(gè)雜草個(gè)體的適應(yīng)度值，F(xiàn)max和Fmin為該代進(jìn)化中最大、最小適應(yīng)度值，smax和smin為可產(chǎn)生的最大種子數(shù)和最小種子數(shù)，ffloor(x)函數(shù)表示向下取整．

(2)

式中，σinitial和σfinal分別為初始標(biāo)準(zhǔn)差和最終標(biāo)準(zhǔn)差，w為非線性調(diào)節(jié)因子．由式(2)可以看出，迭代初期較大的σG使得產(chǎn)生的種子分布在距父代較遠(yuǎn)的范圍．迭代后期較小的σG使得產(chǎn)生的種子分布在距父代較近的范圍．這樣的方式使得算法逐漸完成從全局搜索到局部搜索的轉(zhuǎn)變，有利于提高算法的速度和效率．

第4步: 競(jìng)爭(zhēng)性排除．當(dāng)種群數(shù)超過(guò)最大值Pmax時(shí)，所有個(gè)體(包括父代和子代)按照其適應(yīng)度值排序，對(duì)排序后的種群從適應(yīng)度值最小到最大依次選出Pmax個(gè)個(gè)體，作為該代進(jìn)化最終保留下來(lái)的種群．重復(fù)第2步，直到算法滿足停止條件．

1.2 自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差

在基本入侵雜草算法中，σG只隨進(jìn)化代數(shù)的增加而變小，而在某一代中每個(gè)個(gè)體的σG值是一樣的，這顯然不利于算法收斂．在此，筆者設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，使得在某一代中σG的值根據(jù)每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值以及該代中最大和最小適應(yīng)度值進(jìn)行變化:

(3)

其中，F(xiàn)G，a、FG，max、FG，min分別是該代進(jìn)化中的平均、最大和最小適應(yīng)度值；γ為縮放因子，控制標(biāo)準(zhǔn)差的變化范圍，一般取0到1之間，這里取值為0.5．

可以看出，對(duì)于最小化問題，在某一代中，適應(yīng)度值小的個(gè)體具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差，這樣有利于種子分布在較優(yōu)個(gè)體周圍；而適應(yīng)度值大的個(gè)體標(biāo)準(zhǔn)差較大，有利于在較遠(yuǎn)范圍內(nèi)分布更優(yōu)的種子，有助于提高算法的收斂速度．另一方面，該自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差σG，i的取值范圍為 [1-γ，1+γ]σG，也就是說(shuō)，在某一代進(jìn)化中，所有個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差均在這個(gè)范圍內(nèi)變化，不再是一樣的值．那么，在進(jìn)化的下一代某個(gè)個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差很可能大于上一代某個(gè)個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差，而不是基本入侵雜草算法中下一代所有個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差一定小于上一代所有個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差．尤其是在進(jìn)化后期，σG的值越來(lái)越小，產(chǎn)生的新種子就分布在距父代個(gè)體很近的范圍內(nèi)．而采用自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差σG，i后，所有個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差都是變化的，這樣有利于使產(chǎn)生的新種子跳出局部最優(yōu)，在加快收斂速度的同時(shí)，有效地平衡了全局和局部搜索能力．

1.3 簡(jiǎn)化的二次插值法

簡(jiǎn)化的二次插值法(Simplified Quadratic Interpolation，SQI)是一種簡(jiǎn)單有效的直接搜索方法．該方法不需要目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息，計(jì)算簡(jiǎn)捷，適合作為啟發(fā)式搜索算子．簡(jiǎn)化的二次插值法是一種三點(diǎn)二次插值法，文獻(xiàn)[12]將簡(jiǎn)化的二次插值法與遺傳算法結(jié)合設(shè)計(jì)共形天線，得到了比遺傳算法更優(yōu)的結(jié)果．文獻(xiàn)[13]將簡(jiǎn)化的二次插值法與差分進(jìn)化算法結(jié)合求解約束優(yōu)化問題，13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果顯示，與簡(jiǎn)化的二次插值法結(jié)合后的差分進(jìn)化算法更具優(yōu)越性．筆者將其作為局部搜索算子，嵌入到入侵雜草算法中，提出一種混合入侵雜草算法(HIWO)，以改善算法的局部搜索能力，提高算法的收斂速度和精度．

假設(shè)有3個(gè)最優(yōu)個(gè)體，Xa=[xa1，xa2，…，xaD]，Xb= (xb1，xb2，…，xbD)，Xc= (xc1，xc2，…，xcD)，其適應(yīng)度值Fa=f(Xa)，F(xiàn)b=f(Xb)，F(xiàn)c=f(Xc)．假設(shè)Fb

xpi=0.5Ai/Bi，i=1，2，…，D,

(4)

1.4 混合入侵雜草算法的實(shí)現(xiàn)步驟

在混合入侵雜草算法中，入侵雜草算法作為主要算法進(jìn)行全局和局部尋優(yōu)，簡(jiǎn)化的二次插值法方法作為局部搜索方法嵌入到入侵雜草算法中，以增強(qiáng)整體算法的收斂速度和精度．算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下．

步驟0: 設(shè)置初始參數(shù)(如表1所示)．

表1 入侵雜草算法和混合入侵雜草算法參數(shù)設(shè)置

步驟1: 初始化．置G=1，產(chǎn)生初始種群X=(X1，X2，…，XM)．

步驟2: 繁殖．

(1) 計(jì)算所有雜草個(gè)體適應(yīng)度值，并記錄最大、最小以及平均適應(yīng)度值．

(2) 用式(1)計(jì)算每個(gè)雜草個(gè)體可以散播的種子數(shù)．

步驟3: 空間擴(kuò)散．

(1) 用式(2)和式(3)計(jì)算在該代中每個(gè)雜草個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差．

(2) 每個(gè)雜草個(gè)體以正態(tài)分布的方式散播種子．所有父代個(gè)體與其產(chǎn)生的種子一起組成新種群．

步驟4: 競(jìng)爭(zhēng)性排除．

(1) 計(jì)算新種群中所有個(gè)體的適應(yīng)度值并由小到大排序．

(2) 如果新種群數(shù)大于最大種群數(shù)Pmax，則根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)性生存法則選取種群前Pmax個(gè)優(yōu)秀個(gè)體作為保留下來(lái)的種群，其余個(gè)體被淘汰；否則，轉(zhuǎn)步驟2．

步驟5: 執(zhí)行簡(jiǎn)化的二次插值法方法．

(1) 從保留下來(lái)的種群中依次選擇前3個(gè)最優(yōu)個(gè)體Xb、Xa和Xc，并計(jì)算其適應(yīng)度值Fb、Fa、Fc．

(2) 若Bi≠0，則執(zhí)行(3)；否則， 保持保留下來(lái)的種群不變，執(zhí)行步驟6．

(3) 用式(4)計(jì)算逼近點(diǎn)Xp=(xp1，xp2，…，xpD)，并計(jì)算該逼近點(diǎn)的適應(yīng)度值f(Xp)．

(4) 若f(Xp)

步驟6: 判斷．若滿足停止準(zhǔn)則，則停止，輸出所保留的最好解作為最優(yōu)解；否則，令G=G+1，轉(zhuǎn)步驟2．

2 陣列天線方向圖綜合

由N個(gè)等間距天線單元組成的直線陣，其遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖為

(5)

其中，In為第n個(gè)陣列單元的復(fù)激勵(lì)電流(包括幅度和相位)，d為陣元間的間距，λ為自由空間波長(zhǎng)，θ為射線方向與陣軸法線之間的夾角．

(6)

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證筆者提出算法的有效性，給出兩組不同的仿真實(shí)例．

實(shí)例1 考慮N=50的均勻直線陣，陣元間距d=0.5λ，對(duì)激勵(lì)電流幅度和相位同時(shí)優(yōu)化，以達(dá)到期望的方向圖(文獻(xiàn)[7]中的圖5)．設(shè)計(jì)指標(biāo)：主瓣寬度為20°，主瓣區(qū)最大波動(dòng)不超過(guò) 1 dB，副瓣電平低于目標(biāo)值，每隔0.25°為一個(gè)采樣點(diǎn)．根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)定α=0.65，β=0.35．

文獻(xiàn)[7]采用基本入侵雜草算法基本上實(shí)現(xiàn)了設(shè)計(jì)目標(biāo)，雖然文中沒有給出優(yōu)化得到的方向圖具體的參數(shù)值，但是從文獻(xiàn)[7]中的圖5可以看出，優(yōu)化得到的方向圖副瓣并沒有完全低于期望值，尤其是在靠近主瓣的位置．為了比較混合入侵雜草算法與入侵雜草算法的性能，把這兩種算法同時(shí)用于求解該問題，兩種算法的參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[7]保持一致，如表1所示．該問題的維數(shù)D為100，兩種算法均進(jìn)化 2 000 代．

由兩種算法優(yōu)化得到的方向圖如圖1(a)所示．由圖1(a)可以看出，入侵雜草算法主瓣區(qū)的最大波動(dòng)為 0.930 5 dB，而混合入侵雜草算法主瓣區(qū)的最大波動(dòng)為 0.512 dB (比入侵雜草算法減少了 0.418 dB)；同時(shí)，混合入侵雜草算法得到的方向圖最高副瓣電平在主瓣區(qū)左邊為 -25.325 2 dB (而入侵雜草算法得到的值為 -23.947 4 dB)，在主瓣區(qū)右邊為 -20.008 9 dB (入侵雜草算法得到的值為 -17.643 1 dB)；并且混合入侵雜草算法得到的方向圖主瓣寬度為23.25°，比入侵雜草算法得到的主瓣寬度小0.25°．綜合來(lái)看，在相同參數(shù)設(shè)置和進(jìn)化代數(shù)下，混合入侵雜草算法得到了優(yōu)于基本入侵雜草算法的結(jié)果．再來(lái)分析兩種算法運(yùn)行20次的平均進(jìn)化曲線，如圖1(b)所示．可以看出，混合入侵雜草算法不僅進(jìn)化速度高于基本入侵雜草算法，而且在進(jìn)化后期，入侵雜草算法出現(xiàn)局部收斂的現(xiàn)象得到明顯改善，計(jì)算精度也明顯提高．兩種算法優(yōu)化得到的激勵(lì)電流幅度和相位見圖2．

圖1 混合入侵雜草算法與入侵雜草算法方向圖和進(jìn)化曲線對(duì)比

圖2 混合入侵雜草算法與入侵雜草算法電流幅度和相位對(duì)比

實(shí)例2 設(shè)計(jì)指標(biāo)為: 主瓣寬度為30°(即100°～130°)的余割平方波束和主瓣寬度為100°(即40°～140°)的寬平頂波束．副瓣電平均要求低于 -20 dB，主瓣區(qū)最大波動(dòng)不超過(guò) 1 dB，仿真采用16元均勻直線陣，d=0.5λ．經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)α=0.55，β=0.45 時(shí)，算法可以更好地平衡主瓣區(qū)和副瓣區(qū)的收斂程度．4種算法均進(jìn)化 1 000 次，每隔1°為一個(gè)采樣點(diǎn)，得到的方向圖如圖3和圖4所示，圖中黑色虛線為期望方向圖的邊界．4種算法的優(yōu)化結(jié)果見表2．可以看出，無(wú)論是余割平方波束還是平頂波束，在主瓣展寬程度相同或最小的情況下，混合入侵雜草算法得到的方向圖在主瓣區(qū)均有最小波動(dòng)值，在副瓣區(qū)均有最低的峰值副瓣電平．實(shí)例2再次驗(yàn)證了筆者提出的混合入侵雜草算法優(yōu)于入侵雜草算法及同類其他算法．

圖3 4種算法得到的余割平方波束圖4 4種算法得到的平頂波束

表2 4種算法的優(yōu)化結(jié)果

4 總 結(jié)

針對(duì)基本入侵雜草算法在進(jìn)化后期收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)的問題，在已有的基本入侵雜草算法的基礎(chǔ)上，提出了一種混合入侵雜草算法．該算法先設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，使得算法能更好地平衡其全局和局部收斂能力，在有效克服局部最優(yōu)問題的同時(shí)加快了收斂速度；然后把簡(jiǎn)化的二次插值法作為局部搜索方法嵌入到入侵雜草算法中，以增強(qiáng)算法整體搜索能力，進(jìn)一步提高收斂速度和計(jì)算精度．通過(guò)不同的仿真實(shí)例可以看出，筆者所提算法在收斂速度和精度上均優(yōu)于基本入侵雜草算法及其他同類算法，更適用于天線波束賦形問題，有較高的推廣應(yīng)用價(jià)值．

[1] Yuan Jiantao, Zhou Hui, Guo Chenjiang, et al. Efficient Optimization of Shaped-beam Sparse Linear Antenna Arrays Using Genetic Algorithm[C]//International Conference on Microwave and Millimeter Wave Technology. Piscataway: IEEE, 2012: 322-325.

[2] 劉瑞斌, 鄢澤洪, 孫從武，等. PSO和GA在陣列天線波束賦形中的應(yīng)用[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 33(5): 797-799.

Liu Ruibin, Yan Zehong, Sun Congwu, et al. Application of PSO and GA in Beamforming of an Array Antenna[J]. Journal of Xidian University, 2006, 33(5): 797-799.

[3] 王維博, 馮全源. 粒子群算法在陣列天線方向圖綜合中的應(yīng)用[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 38(3): 175-180.

Wang Weibo, Feng Quanyuan. Application of PSO Algorithm in Pattern Synthesis [J]. Journal of Xidian University, 2011, 38(3): 175-180.

[4] Li X, Yin M. Hybrid Differential Evolution with Artificial Bee Colony And Its Application for Design of a Reconfigurable Antenna Array with Discrete Phase Shifters[J]. IET Microwaves, Antennas and Propagation, 2012, 6(14): 1573-1582.

[5] Mandal A, Zafar H, Das S, et al. A Modified Differential Evolution Algorithm for Shaped Beam Linear Array Antenna Design[J]. Progress In Electromagnetics Research, 2012, 125: 439-457

[6] Mehrabian A R, Lucas C. A Novel Numerical Optimization Algorithm Inspired from Weed Colonization[J]. Ecological Informatics, 2006, 1(3): 355-366.

[7] Karimkashi S, Kishk A A. Invasive Weed Optimization and Its Features in Electromagnetics[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2010, 58(4): 1269-1278.

[8] Roy G G, Das S, Chakraborty P, et al. Design of Non-uniform Circular Antenna Arrays Using a Modified Invasive Weed Optimization Algorithm[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2011, 59(1):110-118.

[9] Basak A, Pal S, Das S, et al. A modified Invasive Weed Optimization Algorithm for Time-modulated Linear Antenna Array Synthesis[C]//IEEE Congress on Evolutionary Computation. Piscataway: IEEE, 2010: 1-8.

[10] Hajimirsadeghi H, Lucas C. A Hybrid IWO/PSO Algorithm for Fast and Global Optimization[C]//IEEE EUROCON. Piscataway: IEEE, 2009: 1964-1971.

[11] Basak A, Pal S, Das S, et al. Circular Antenna Array Synthesis with a Differential Invasive Weed Optimization Algorithm[C]//10th International Conference on Hybrid Intelligent Systems. Piscataway: IEEE, 2010: 153-158

[12] Xu Zhi, Li Hong, Liu Qizhong, et al. Pattern Synthesis of Conformal Antenna Array by the Hybrid Genetic Algorithm[J]. Progress in Electromagnetics Research, 2008, 79: 75-90.

[13] Li Hong, Jiao Yongchang, Zhang Li. Hybrid Differential Evolution with a Simplified Quadratic Approximation for Constrained Optimization Problems[J]. Engineering Optimization, 2011, 43(2): 115-134.