一種多參考接收站下的時差定位算法

朱國輝， 馮大政， 周 延

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

無源定位技術(shù)在雷達(dá)[1]、聲納[2]、導(dǎo)航[3]、無線通信和傳感器網(wǎng)絡(luò)[4]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是信號處理的一個重要研究方向．常用的無源定位技術(shù)包括基于到達(dá)時間差、基于到達(dá)時間和基于到達(dá)角的定位算法[5-8]．其中，多站情況下的基于時差的定位技術(shù)對接收系統(tǒng)的要求較低，具有定位成本低、精度較高等優(yōu)點，因而受到越來越多的關(guān)注．

圖1 基于多參考接收站的時差定位示意圖

目前常見的基于時差的多站無源定位算法有泰勒級數(shù)法[9]、牛頓法[10]、SI算法[11]、Chan算法[12]等．泰勒級數(shù)法和牛頓法是一類需要初始估計位置的遞歸算法，當(dāng)用一組較為接近真實值的初始值進(jìn)行迭代時，能快速收斂，定位精度高;但是在初始值選擇不好的情況下，容易落入到局部極小點，而且收斂性難以保證．SI算法將時差定位問題轉(zhuǎn)化為二次多項式求解問題，根的選取對定位結(jié)果影響很大[13]；Chan算法利用兩步加權(quán)最小二乘估計對輻射源位置進(jìn)行定位解算；它們都是基于單參考接收站的無源定位方法．GS算法[13]是一種基于多參考接收站的時差定位算法，該算法利用基于多參考接收站的時差測量值對Chan算法中的偽線性方程組做了擴展，并進(jìn)行了一步最小二乘估計，但是它沒有考慮偽線性方程組中各方程對應(yīng)的權(quán)重，也沒有考慮最小二乘解中各分量之間的相關(guān)性．為此，筆者提出了一種新的基于多參考接收站的時差定位算法，該算法運用加權(quán)最小二乘估計對偽線性定位方程組進(jìn)行初始求解，并利用初始解中各分量之間的相關(guān)性得到多組輻射源位置的估計，然后取這些估計的平均值得到最終定位結(jié)果．計算機仿真結(jié)果證實了該算法的有效性．

1 基于多參考接收站的時差定位模型

圖1為三維空間中基于多參考接收站的時差定位示意圖．假定任意分布的N個接收站， 第i個接收站的坐標(biāo)si= [xi，yi，zi]T，輻射源位置坐標(biāo)u= [x，y，z]T．

輻射源u到接收站si的距離為

ri=((u-si)T(u-si))1/2，i=1，…，N．

(1)

不妨選取s1，…，sM作為參考接收站，不考慮非視距傳播的影響，根據(jù)時差定位原理，可得

(2)

用c同時乘以方程(2)兩端，可將時間差方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的距離差方程:

(3)

其中，ni，j=cΔti，j，表示相應(yīng)的距離差測量誤差．基于多參考接收站的時差定位問題即為根據(jù)非線性方程組(3)盡可能準(zhǔn)確地估計輻射源位置坐標(biāo)u．

2 基于多參考接收站的時差定位新算法

由式(1)可知，式(3)是關(guān)于輻射源u的高度非線性方程，為此采用兩級加權(quán)最小二乘估計求解基于多參考接收站的時差定位問題．

2.1 第1級加權(quán)最小二乘估計

將式(3)右端第2項rj移至左端，兩邊同時平方，得

(4)

(5)

(6)

其中，ηj可以近似表示為ηj≈Bjnj，Bj=diag{rM+1，…，rN}，nj=[nM+1，j，…，nN，j]T．

(7)

對近似方程G1u1≈h1，進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計求解，可得

(8)

2.2 第2級加權(quán)最小二乘估計

(11)

(12)

根據(jù)式(11)、(12)可得方程

(13)

其中，ej表示第j個元素為1，其余元素為零的M維列向量．

對近似方程G2u2j≈h2j進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計求解，可得

(17)

(18)

P-P子網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)成要素為協(xié)同成員以及協(xié)同成員之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，其中，協(xié)同成員為P-P子網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點，協(xié)同成員間的關(guān)聯(lián)關(guān)系為網(wǎng)絡(luò)的邊。由此，定義P={pi|i=1,2,,n}為協(xié)同成員集合，pi表示P-P子網(wǎng)絡(luò)中的第i個協(xié)同成員，n為網(wǎng)絡(luò)中協(xié)同成員的數(shù)量。EP-P={(pi,pj)|θ(pi,pj)=1;pi,pj∈P}為P-P子網(wǎng)絡(luò)中邊的集合，布爾變量θ(pi,pj)表示協(xié)同成員pi與pj間是否存在關(guān)聯(lián)關(guān)系。若θ(pi,pj)=1，則表示協(xié)同成員pi與pj存在關(guān)聯(lián)關(guān)系；反之，則有θ(pi,pj)=0。綜上，P-P子網(wǎng)絡(luò)GP-P可以表示為

(19)

2.3 基于多參考接收站的克拉美羅界

克拉美羅界是所有無偏估計所能達(dá)到的下界，它等于Fisher信息矩陣的逆[12]．令fi，j=ri-rj，將式(3)寫成矢量形式為

(20)

其中，f(u)=[fM+1，1，…，fN，1，…，fM+1，M，…，fN，M]T．根據(jù)式(20)可得似然函數(shù)

(21)

其中，K為常數(shù)，F(xiàn)isher信息矩陣定義為

(22)

其中，?f(u)/?uT的第(N-M)×(j-1)+1行至第(N-M)×(j-1)+N-M行組成的塊矩陣為

3 仿真與性能分析

為了檢驗文中算法對輻射源位置估計的性能，進(jìn)行了下述的仿真實驗，并將該算法與SI、Chan、GS算法及克拉美羅界的仿真結(jié)果進(jìn)行比較．

(25)

圖2 各算法在M=2時對近場和遠(yuǎn)場輻射源的定位性能比較

圖3 各算法在M=3時對近場和遠(yuǎn)場輻射源的定位性能比較

文中算法定位精度較高的原因在于其結(jié)合了Chan和GS算法的優(yōu)點．與基于單參考接收站的Chan算法相比，文中算法也利用了兩級加權(quán)最小二乘估計，不同之處在于其利用了更多的時差信息，對Chan算法中的偽線性方程組做了擴展，并且在第2級加權(quán)最小二乘估計中得到多個改進(jìn)的位置估計．與基于多參考接收站的GS算法相比，文中算法考慮了方程所對應(yīng)的權(quán)重，以及初始解中各分量之間的相關(guān)性，運算量因此會增加，但從圖2和圖3中可以看出定位精度有較大幅度提高．而SI算法將定位問題轉(zhuǎn)化為二次多項式求解問題，當(dāng)兩根均為正數(shù)或出現(xiàn)復(fù)數(shù)解時，根的選取對定位結(jié)果影響很大．仿真試驗中筆者選取了較好的根，但定位精度不夠理想，即使測量誤差較小時也可能出現(xiàn)很大的均方根誤差．

4 結(jié) 束 語

筆者提出了一種基于多參考接收站的時差定位算法，并給出了克拉美羅界的推導(dǎo)過程．該方法采用基于多參考接收站的時差定位模型，運用兩級加權(quán)最小二乘估計對輻射源位置進(jìn)行定位解算，并充分利用了初始解中各分量之間的關(guān)系．該算法具有解析解，相對于傳統(tǒng)的進(jìn)行迭代求解的算法具有實時計算的優(yōu)點．實驗結(jié)果表明該算法對近場和遠(yuǎn)場輻射源均具有較好的定位精度．

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