一次函數(shù)與行程問題例析

華興恒

一次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中有很重要的應(yīng)用，許多行程問題常常通過一次函數(shù)的形式出現(xiàn)，要解答此類問題，關(guān)鍵是要能夠看懂圖像，從中獲取有用的信息，只有這樣才能正確的求解.下面舉例分析，相信對(duì)提高同學(xué)們的解題能力肯定會(huì)有所幫助.

例1. 一次函數(shù)y = kx + b（k ≠ 0）的圖像是一條直線，它可以表示許多實(shí)際意義.如圖1所示，x代表時(shí)間（小時(shí)），y代表路程（千米），那么從圖像上可以看出，某人出發(fā)時(shí)（x = 0）離某地（原點(diǎn)）2千米.出發(fā)1小時(shí)后，由x = 1得到y(tǒng) = 5，即某人離開某地5千米，他實(shí)際走了3千米.在圖2中，AC、BC分別表示甲、乙兩人的運(yùn)動(dòng)圖像，請結(jié)合圖像回答下述問題：

(1) 圖2中，點(diǎn)A(0, 2)、B(1, 0)各表示什么實(shí)際意義？

(2) 求甲、乙兩人各自的運(yùn)動(dòng)速度.

(3) 求甲出發(fā)3小時(shí)后，甲、乙兩人各自距原地（原點(diǎn)）多遠(yuǎn)？

解析：(1) 點(diǎn)A(0, 2)表示甲出發(fā)時(shí)離某地2千米；點(diǎn)B(1, 0)表示甲出發(fā)1小時(shí)后，已從某地（原點(diǎn)）出發(fā).

(2) 由A(0, 2)、C(2, 4)可知甲2小時(shí)走2千米，由B(1, 0)、C(2, 4)可知，乙1小時(shí)走4千米，所以甲的速度為1千米/時(shí)，乙的速度為4千米/時(shí).

(3) 3小時(shí)后，甲離原地為1 × 3 + 2 = 5（千米），乙離原地為2 × 4 = 8（千米）.

例2. A、B兩地相距50千米，甲于某日下午1點(diǎn)騎自行車從A地出發(fā)駛往B地，乙也于同日下午騎摩托車從A地出發(fā)駛往B地，圖3中的折線PQR和線段MN分別表示甲、乙所行駛的路程s與該日下午時(shí)間t之間的關(guān)系.試根據(jù)圖形填空：

(1) 甲出發(fā)_____小時(shí)，乙才出發(fā).

(2) 乙行駛_____小時(shí)可追上甲，此時(shí)兩人距B地還有_____千米.

解析：(1)由M(2, 0)可知，乙是在甲出發(fā)1小時(shí)后于下午2點(diǎn)出發(fā)的.

（2）設(shè)乙行駛t小時(shí)追上甲，由M(2, 0)、N(3, 50)可知乙的速度為50千米/時(shí).由Q(2, 20)、R(5, 50)可知，甲從下午2點(diǎn)開始速度為10千米/時(shí).

∴50t–10t = 20，∴t =■，則50t = 25.

即乙行駛■小時(shí)就追上甲，此時(shí)兩人距B地還有25千米.

例3. 假定甲、乙在一次賽跑中，路程s與時(shí)間t的關(guān)系如圖4所示.那么可以知道：

(1) 這是一次_____米的賽跑；

(2) 甲、乙兩人中先到達(dá)終點(diǎn)的是______；

(3) 乙在這次賽跑中的速度為_____米、秒.

解析：從圖像上容易看出：(1) 這是一次100米的賽跑.

(2) 甲經(jīng)12秒到達(dá)終點(diǎn)，乙經(jīng)12.5秒到達(dá)終點(diǎn)，顯然是甲先到達(dá)終點(diǎn).

(3) 乙這次賽跑的速度為■= 8米/秒.

例4. 某同學(xué)騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，行至中途因車出了毛病，需要修理，但修車鋪已過，他只好推著車返回修車鋪.車修好后，因?yàn)榕逻t到，他比修車前加快了騎車速度，繼續(xù)勻速行駛，圖5是他與出發(fā)地的距離s關(guān)于行駛時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖像，那么符合這個(gè)同學(xué)行駛過程情況的圖像大致是（ ）

解析：由于該同學(xué)有返回的過程，在這個(gè)過程中隨著時(shí)間的增加，路程要減小，同時(shí)車修好后，他提高了騎行的速度，則圖像與正常速度騎行的圖像要陡一些，故應(yīng)選B.

練習(xí)：如圖6所示，表示一騎自行車者與一騎摩托車者沿相同路線由甲地到乙地行駛過程的函數(shù)圖像（分別為正比例函數(shù)和一次函數(shù)）.兩地間的距離是80千米.請你根據(jù)圖像回答或解決下列問題：

(1)誰出發(fā)較早？早多長時(shí)間？誰到達(dá)乙地較早？早到多長時(shí)間？

(2)兩人在途中行駛的速度分別是多少？

(3)請你分別求出表示自行車和摩托車行駛過程中的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

(4)指出在什么時(shí)間段內(nèi)兩車均行駛在途中（不包括端點(diǎn)）；在這一時(shí)間段內(nèi)，請你分別按下列條件列出關(guān)于時(shí)間x的方程或不等式（不要化簡，也不要求解）：①自行車行駛在摩托車前面；②自行車與摩托車相遇；③自行車行駛在摩托車后面.

參考答案：

(1)自行車出發(fā)早3小時(shí)，摩托車到達(dá)乙地早2小時(shí)；(2)自行車：10千米/時(shí)，摩托車：■千米/時(shí)；(3)自行車：y = 10x，摩托車：y = ■x-80；(4)當(dāng)3 < x < 6時(shí)，兩車行駛在途中；①當(dāng)3 < x < 4.8時(shí)，10x >■x-80；當(dāng)x = 4.8時(shí)，10x =■x-80；③當(dāng)4.8 < x < 6時(shí)，10x <■x-80.

（作者單位：安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)）

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