高一學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解偏差及解決對(duì)策

楊瓊洲

摘要：函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系是高中學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)理解偏差的重要知識(shí)點(diǎn)，分析學(xué)生出現(xiàn)理解偏差的原因并從根源予以杜絕、糾正，是確保學(xué)生得以順利掌握函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系概念的關(guān)鍵。本文分析了高一學(xué)生函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系理解偏差的原因，并探討了解決對(duì)策，希望能為高中函數(shù)教學(xué)提供新思路。

關(guān)鍵詞：函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系；概念；偏差；理解

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）10-105-02

我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)歷來(lái)重視基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系作為中學(xué)最重要也最復(fù)雜的概念之一，是教學(xué)過(guò)程中學(xué)生們經(jīng)常出現(xiàn)表述模糊或理解偏差的難點(diǎn)之一，為何學(xué)生們對(duì)這個(gè)概念的理解經(jīng)常出現(xiàn)失誤，是數(shù)學(xué)教學(xué)中我們需要反思的重要課題，也是教學(xué)中需要予以積極引導(dǎo)和解決的難點(diǎn)。下面我們結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系理解偏差出現(xiàn)的原因和解決對(duì)策加以分析探究。

一、 高一學(xué)生函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系理解偏差的原因

函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系定義：函數(shù)的核心是對(duì)應(yīng)關(guān)系.在函數(shù)符號(hào)y＝f(x)中，f是表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，等式y(tǒng)＝f(x)表明，對(duì)于定義域中的任意x，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，可得到y(tǒng)，因此，f是使“對(duì)應(yīng)”得以實(shí)現(xiàn)的方法和途徑。高一學(xué)生函數(shù)概念的理解水平低，出現(xiàn)偏差的情況比比皆是，這主要與三個(gè)原因有關(guān)。

1、學(xué)習(xí)態(tài)度

學(xué)生高一學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系是在高一上學(xué)期開(kāi)始，此時(shí)學(xué)生們正結(jié)束初中生活，心態(tài)極度放松，中學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的一次、二次和反比例函數(shù)知識(shí)已然變淡，在高一開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)多數(shù)不會(huì)做過(guò)多詳細(xì)的復(fù)習(xí)，對(duì)于突然間開(kāi)始學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的學(xué)生而言在認(rèn)識(shí)上有一定阻礙與排斥。

2、函數(shù)概念的抽象性

函數(shù)概念本身的復(fù)雜性和發(fā)展性，作為高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系形式豐富多彩，形成函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)集合元素可以是任意的，對(duì)于學(xué)生而言，深入理解難度較大，學(xué)生不易從多樣的表征形式中抽象出函數(shù)共同的本質(zhì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，無(wú)法排除非本質(zhì)因素的干擾去正確識(shí)別表征類型[1]。從初中簡(jiǎn)單的x變量與y變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系到高中變量與集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)概念變得更加復(fù)雜多元化，使得學(xué)生頭腦中存在著多種函數(shù)表象，無(wú)法抽象統(tǒng)一，造成理解混亂。

3、初中函數(shù)概念的負(fù)遷移

函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系本身概念抽象且內(nèi)涵豐富，學(xué)生在初接觸時(shí)如果未及時(shí)理清其內(nèi)涵與外延之間關(guān)系，得出簡(jiǎn)明扼要的理解，就會(huì)為之后概念的深入理解和再現(xiàn)埋下隱患，但是如果過(guò)度解讀概念，也會(huì)使得學(xué)生覺(jué)得難度加大，不知所云。

二、高一學(xué)生函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系理解偏差的類型及解決對(duì)策

對(duì)于學(xué)生在函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系理解偏差這個(gè)問(wèn)題，要從多個(gè)方面入手，解決問(wèn)題，注重教學(xué)觀念的更新與方法的進(jìn)步，從表征形式的識(shí)別和轉(zhuǎn)換角度引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分本質(zhì)和非本質(zhì)因素，從而讓學(xué)生掌握函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)，結(jié)合自身理解與認(rèn)識(shí)扭轉(zhuǎn)偏差。具體到教學(xué)中，可以從余下方面做出改變：

1、早期注重概念的滲透

早期要注重函數(shù)概念的滲透。高一函數(shù)教學(xué)中，學(xué)生受中學(xué)函數(shù)思想影響，在初期學(xué)習(xí)時(shí)并未意識(shí)到函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只是根據(jù)頭腦中熟悉的幾種函數(shù)模型來(lái)識(shí)別函數(shù)，或是認(rèn)為函數(shù)是含有字母的等式、變量的關(guān)系式，從而出現(xiàn)認(rèn)知偏差?；诖?，要注重引導(dǎo)學(xué)生理解和認(rèn)識(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系思想，正確與初中所學(xué)知識(shí)相區(qū)分，了解到量與量之間的依存性，在通過(guò)數(shù)的概念的發(fā)展，讓學(xué)生明確幾何的概念、思想和意義，并批核坐標(biāo)與數(shù)軸等教學(xué)，逐步滲透并確立對(duì)應(yīng)關(guān)系的思想，在此鋪墊基礎(chǔ)上，學(xué)生日后在接觸概念時(shí)才可能盡少的出現(xiàn)偏差。對(duì)于剛升上高一的學(xué)生，學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)必須對(duì)一次、二次和反比例函數(shù)的解析式和圖像及圖像上變量的關(guān)系做詳細(xì)復(fù)習(xí)，以便讓抽象的函數(shù)概念可以以具體的函數(shù)為依托，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，完成難易過(guò)渡，防止偏差與混淆。

2、中期著眼于微觀

學(xué)生在初步學(xué)習(xí)后，對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系已有所認(rèn)識(shí)，但是只局限于了解函數(shù)表對(duì)應(yīng)關(guān)系，不了解函數(shù)對(duì)應(yīng)的內(nèi)涵，認(rèn)知上較為寬泛，不細(xì)致、不深入，是一種全局式的泛泛了解。對(duì)于高一新生而言，初中函數(shù)的學(xué)習(xí)著眼于全局，重點(diǎn)考察宏觀數(shù)量之間的彼此依存關(guān)系，關(guān)注總體發(fā)展趨勢(shì)，高中函數(shù)則著眼于微觀，關(guān)注靜態(tài)發(fā)展，尤其是兩個(gè)數(shù)集之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的描述，這種宏觀與微觀上的差異也是造成學(xué)生落差過(guò)大，學(xué)習(xí)與理解難度增大的原因之一，需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)。比如在講述集合時(shí)，讓學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，借助veen圖和圓與圓加箭頭的樹(shù)圖讓學(xué)生反復(fù)理解A、B兩個(gè)集合關(guān)系，及其和初中所學(xué)x、y兩變量的關(guān)系，讓學(xué)生形象理解集合的對(duì)應(yīng)。對(duì)y=f（x）中的對(duì)應(yīng)法則“f”的理解可進(jìn)行以下形象的比喻：“（ ）”就像一個(gè)加工廠，“x”就像進(jìn)入了加工廠的原材料，則“f”就是加工程序。只有滿足了規(guī)格即定義域的產(chǎn)品才能進(jìn)入工廠，而進(jìn)入到工廠的原材料即x就必須按照加工程序f進(jìn)行加工。如函數(shù) 中，只要是非負(fù)數(shù)就按照加程序“開(kāi)平方根”進(jìn)行加工，故有 ， 。

3、后期注重知識(shí)建構(gòu)

當(dāng)學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)已經(jīng)逐步深入之后，在整體把握上多數(shù)會(huì)出現(xiàn)偏差，雖然可以理解“單值對(duì)應(yīng)”關(guān)系，但在對(duì)變化了的、不熟悉的函數(shù)表征形式則常常難以區(qū)分自變量和函數(shù)值。因此，教學(xué)中要注重學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的掌握過(guò)程的體驗(yàn)，及時(shí)修正錯(cuò)誤概念。通過(guò)揭示學(xué)生知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程幫助其加強(qiáng)理解，構(gòu)筑起完整的知識(shí)框架，從實(shí)際問(wèn)題引入，完成知識(shí)建構(gòu)。對(duì)于教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，及時(shí)予以指導(dǎo)和糾正，鼓勵(lì)學(xué)生明晰正確概念與錯(cuò)誤概念之間的差異，從而針對(duì)性的加以修正[2]。教師要簡(jiǎn)明扼要的將函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)、靈魂抽取出來(lái)，將之變成學(xué)生口頭能說(shuō)、腦子易記、今后能夠慢慢理解的東西，比如可以將函數(shù)的概念簡(jiǎn)述為——任意、唯一四字，以此為主干，讓學(xué)生自己不斷充實(shí)豐滿?；蛘邔⒑瘮?shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系分為清晰的層次加以描述，比如任取的一個(gè)x必對(duì)應(yīng)唯一的y，即一對(duì)一，如y=x；任取的y不一定對(duì)應(yīng)唯一的x，即一對(duì)多，如y=x2；任意一個(gè)x不可對(duì)應(yīng)多個(gè)y，即不可一對(duì)多，如y2=x不是函數(shù)。這種層次描述可以幫助學(xué)生更好的理解和記憶，糾正偏差。

函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系認(rèn)知偏差作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)典型問(wèn)題，造成學(xué)生認(rèn)知偏差的原因有多種，只有在深入認(rèn)識(shí)分析這些原因的基礎(chǔ)上通過(guò)針對(duì)性對(duì)策予以解決，才能夠真正解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的這個(gè)大難點(diǎn)，更好的完成數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 宋健.高中學(xué)生函數(shù)概念理解水平的初步研究[D].蘇州大學(xué),2010.

[2] 李吉寶.數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生形成七種數(shù)學(xué)觀念[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2011(02)