利用方程根的對(duì)稱性來解決幾個(gè)問題

劉超

數(shù)學(xué)中的方程，簡單地說是人們?yōu)榱饲蠼庖恍?shù)之間的關(guān)系，因?yàn)橹苯忧笮枰獜?fù)雜的邏輯推理關(guān)系，而用代數(shù)和方程就很容易求解，從而降低難度.學(xué)生經(jīng)過小學(xué)初中高中的學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備了列方程解決問題的意識(shí)，一般情況，列出式子終止分析，認(rèn)為接下來只是枯燥的計(jì)算，而忽略了方程式子本身再次向我們發(fā)出的信號(hào).若做進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，或知識(shí)點(diǎn)的遷移，則可以達(dá)開闊眼界，換來靈感，簡便運(yùn)算之目的.高中階段問題的設(shè)計(jì)經(jīng)常涉及求值，求范圍，而求值問題經(jīng)常在方程思想的引領(lǐng)下將問題展開，通過直譯法巧妙地設(shè)參數(shù)，將文字語言轉(zhuǎn)化成代數(shù)式子，即設(shè)出一個(gè)量作為已知量，其他關(guān)系自然順理.但是學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化出的方程再加工，再理解上遇到問題，主要原因是對(duì)于方程根的特點(diǎn)理解不夠，研究方程最終轉(zhuǎn)化到研究方程的根.因此我們處理方程時(shí)，應(yīng)緊緊圍繞根的特點(diǎn)（對(duì)稱性，范圍等），從而體現(xiàn)出研究目標(biāo)量的終極目的.下面以一道高三復(fù)習(xí)課中利用方程根的對(duì)稱性特點(diǎn)處理的題目為突破口，淺談教學(xué)中利用方程根的對(duì)稱性解題技巧的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí).

一、函數(shù)問題中涉及的方程根的對(duì)稱美

問題1：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若滿足①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在[a，b]？哿D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇-b，-a]，那么y=f（x）叫做對(duì)稱函數(shù)，現(xiàn)有f（x）= -k是對(duì)稱函數(shù)，求k的取值范圍.

此題是道信息題（對(duì)稱函數(shù)的概念），學(xué)生在條件的指示（單調(diào)性，定義域共同決定值域）下，套用概念很快地梳理出等式組 -l=-a -k=-b，但是接下來無從下手.

師：此等式組有變化元，也有非變化元，等式的特點(diǎn)從直觀上給我們一個(gè)非常完美的對(duì)稱性展示，把握好此信息源，我們能否對(duì)此等式組信息再加工提煉轉(zhuǎn)化出新的信息嗎？

學(xué)生思考片刻，很快發(fā)現(xiàn)原來a，b是方程 -k=-x的兩個(gè)不同的實(shí)根.

師：提煉出此信息，那么我們?nèi)绾慰坍嫶朔匠逃小皟蓚€(gè)”不同的實(shí)根呢？

學(xué)生甲：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)進(jìn)行體現(xiàn).

學(xué)生乙：移項(xiàng)平方轉(zhuǎn)化為實(shí)根分布處理（注意方程的等價(jià)性，注意根式大于等于零）.

學(xué)生?。簩⒏綋Q元構(gòu)造新的方程再利用新方程實(shí)根分布處理.

師：以上方法都很好，歸根結(jié)底，本題利用一般概念轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊方程，從而再次轉(zhuǎn)化出一般的結(jié)論，體現(xiàn)出我們認(rèn)識(shí)事物的發(fā)展規(guī)律，由方程根的對(duì)稱性得出解題方向.

二、解析幾何問題中涉及的方程根的對(duì)稱美

解析幾何內(nèi)容關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想，用代數(shù)推理研究幾何圖形性質(zhì).而代數(shù)推理又與方程思想緊密相連，下面通過幾道習(xí)題感受方程根的對(duì)稱性給我們幾點(diǎn)提示.

1.利用方程根的對(duì)稱性推到特殊直線方程

問題2：若A（2，-3）是直線a x+b y+1=0和a x+b y+1=0的公共點(diǎn)，則經(jīng)過相異兩點(diǎn)（a ，b ），（a ，b ）的直線方程是什么？

學(xué)生采用直譯法，很快得到方程組2a -3b +1=02a -3b +1=0.通過觀察變量元的對(duì)稱性，很快得出答案2x-3y+1=0.

問題3：設(shè)橢圓 + =1，p（x ，y ）是橢圓外一點(diǎn)，切點(diǎn)弦方程是什么？

解：設(shè)切點(diǎn)A（x ，y ），B（x ，y ），在圓的復(fù)習(xí)中，我們類比出過橢圓上點(diǎn)（m，n）的切線方程 + =1，p（x ，y ）是兩條切線的交點(diǎn)同問題2處理得出切點(diǎn)弦方程 + =1.此結(jié)論可推廣到圓與圓錐曲線中.

問題4：P（x ，y ）是橢圓中的點(diǎn)，過P點(diǎn)做弦，再過弦兩端點(diǎn)做橢圓的兩條切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡是什么？

簡證：一般情況下，設(shè)端點(diǎn)A（x ，y ），B（x ，y ），交點(diǎn)（x ，y ）， =

有 = + =1 + =1要求出交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系貌似很復(fù)雜，但是我們觀察方程的對(duì)稱性之后發(fā)現(xiàn)利用方程（1）對(duì)方程（2）（3）進(jìn)行構(gòu)造利用這種對(duì)稱美會(huì)輕松求解此方程.過程如下：

由方程（2） + =1

得 + =1- + ，

兩邊同除x -x 有 + =（1- - ）

同理有 + =（1- - ） ，等式右邊相等得出交點(diǎn)軌跡方程為： + =1.此結(jié)論也可推廣到圓與雙曲線中.

師：解析幾何內(nèi)容的解題思路往往具有很強(qiáng)的程序性，但是，盲目操作經(jīng)常會(huì)帶來繁雜的計(jì)算.只要我們善于發(fā)現(xiàn)利用方程中根的對(duì)稱性，巧妙地構(gòu)造方程就可以簡化運(yùn)算.

2.利用方程根的對(duì)稱性巧妙簡化運(yùn)算

問題3：已知橢圓 +y =1，過原點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦OM，ON交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求三角形OMN面積的最大值？

傳統(tǒng)做法：當(dāng)直線OM，ON斜率存在時(shí)，設(shè)直線OM為y=kx，直線ON為y=- x，有y=kx +y =1得x = y = ，同理將k換成- 得x = y = ，所以S = （x +y ）（x +y ），代入有S = （ + ）（ + ），式子化簡得關(guān)于k的函數(shù)，將k換成- ，然后進(jìn)行整理化簡，顯然式子太繁瑣，究其原因這里我們進(jìn)行了重復(fù)運(yùn)算.分析求兩點(diǎn)M，N方法，只是簡單地類比，因此我們只要把握好方程根的對(duì)稱性就可以簡化式子形式，避免重復(fù)運(yùn)算.

改進(jìn)：設(shè)直線OM為y=k x，直線ON為y=k x，得x = y = ，x = y = ，得S = （ + ）（ + ）

即：S = （ ）（ ）

化簡有S = （ ）.因?yàn)閗 k =-1（只要式子中出現(xiàn)k k 就整體消掉），所以原式化為S = （ ）.令t=k +k ，則S = （ ），通過求t范圍，從而求出S 的范圍.此處處理使運(yùn)算式子清晰簡約，使學(xué)生運(yùn)算起來感覺更有趣，達(dá)到運(yùn)算簡便、運(yùn)算外化的目的.

問題4：過曲線C： + =1的左頂點(diǎn)A作兩條斜率分別為k ，k 的直線交橢圓于D，E兩點(diǎn)，且k k =-n（n為常數(shù)），求證：直線DE恒過一個(gè)定點(diǎn).

簡證：（只考慮一般情況），由圖形的對(duì)稱性可判斷出定點(diǎn)在x軸上，設(shè)直線DE：x=my+p，只需研究m，n等量關(guān)系即可.設(shè)D（x ，y ），E（x ，y ），有 =-n，把握好此方程的對(duì)稱性只需構(gòu)造出形如A（ ） +B（ ）+C=0的方程，利用韋達(dá)定理輕松得出m，p等量關(guān)系.構(gòu)造如下： =1，巧妙利用1得方程 + =[ ] 化簡整理得 + + - =0.

由 =-n，得（ - ）b =-n得p=- ，所以直線DE恒過定點(diǎn)（- ，0）.

補(bǔ)充：當(dāng)兩條兩條直線的斜率和k +k 為常數(shù)，兩條直線的斜率倒數(shù)和 + 為常數(shù)，都可以構(gòu)造方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)方程根的對(duì)稱性，簡化運(yùn)算，從而求出直線DE恒過一個(gè)定點(diǎn).

數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐步抽象概括、形成方法和理論，并廣泛應(yīng)用的過程.“數(shù)學(xué)風(fēng)格以簡潔和完美的形式作為其目標(biāo)”，數(shù)學(xué)知識(shí)原理、數(shù)學(xué)符號(hào)語言等本身就蘊(yùn)含簡潔對(duì)稱之美，只要我們善于觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中更多的潛在美.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳小鵬.談?wù)労喖s化數(shù)學(xué)課堂教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2009年第12期上旬.

[2]龔新平.構(gòu)造齊次方程探究定點(diǎn)問題.中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2009年第8期上旬.