基于p6階Φ20家族群的一類新LA-群

班桂寧，崔艷，劉海林

（廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西南寧530004）

基于p6階Φ20家族群的一類新LA-群

班桂寧，崔艷，劉海林

（廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西南寧530004）

文章利用群的擴張理論和自由群理論對p6階群Φ20家族的群進行了推廣，得到了有限p-群的一個重要類，并給出了它的一些性質.進一步驗證了它是LA-群.

有限p-群；擴張；自同構群；自由群；LA-群；階

在有限群的研究中，有限p-群是一個非常重要的分支，已經(jīng)有了許多有意義的結果[1-4].對于階小于等于p6（p為奇素數(shù)）的有限p-群的同構分類已經(jīng)由Rodney James[5]中給出.而有限p-群的自同構群，有一個十分著名的LA-猜想，即階大于p2的有限非循環(huán)p-群的階是其自同構群的階的因子.關于LA-猜想，俞曙霞，班桂寧等得到了許多有價值的結果.本文基于文獻[5]，對p6階群Φ20家族進行了推廣，得到了有限p-群的一個重要類，然后用Schreier群擴張理論和自由群理論驗證了所構造出的群的存在性，并給出了所得群的一些性質，最后利用群的中心內自同構的特性證明了所得到的群為LA-群.

本文中所考慮的群如G等都是有限p-群，定義關系中所涉及到的所有參數(shù)如k，m等均為非負整數(shù)，p為奇素數(shù)，以及關系中形如[a，b]=1，a,b∈G和ri，ti（i=1，2，3）都與p互素略去不寫，其他定義和符號都為標準的，具體可參見文獻[6].

1 相關引理

引理1[6]設G是群，a,b,c∈G，則

（1）[a，b]-1=[b，a]；

（2）[ab，c]=[a，c]b[b，a]；

（3）[a，bc]=[a，c][a，b]c.

引理2[7]（Van Dyek）設G是由生成元x1，x2，…，xr和關系fi（x1，x2，…，xr）=1，i∈I所定義的群，H=〈a1，a2，…，ar〉（這些ai可能相同），?i∈I，則存在唯一的滿同態(tài)σ∶G=Fr/H→H，使得xiN→ai，其中Fr=〈x1，…，xr〉為自由群，

（Y在Fr中的正規(guī)閉包），G=Fr/N.如果||G≤||H<+∞，則上述的σ為群同構（即H是由生成元{a1，a2，…，ar}與定義關系，fi（a1，a2，…，ar）=1，?i∈I所定義的群）.

引理3[8]設G是PN-群，G/G′和Z（G）的不變型分別為m1≥m2≥…≥mt≥1和k1≥k2≥Λ≥ks≥1，則，其中.

根據(jù)引理2計算中心自同構群的階，需知中心和G/G′的不變型，因此需要把中心和G/G′化成素數(shù)冪階循環(huán)群的直積形式，為此引入交換群化為直積的方法（簡稱WAG方法）：

（1）若存在一個j使得k≤sj.則

（2）對于任意的j，k≥sj，設mi-si=max{m1-s1，Λ，mn-sn}，則對任意j，有sj+mi-si≥sj+mj-sj≥mj，.如果bxa=1，其中，則有bx∈M.可假設x=zpk，所以

且

2 主要結果

定理1設

其中0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0，1，2）.則G成為一個群的充要條件是max{m1，m2}≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0，1，2）.進一步，在G成群的條件下，有

即定理中所給的關系是群G的定義關系，且

1.

綜上可得參數(shù)之間的關系為max{m1，m2}≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，m0≤k0.

（Ⅱ）下面利用群的擴張理論和自由群理論來證明.在證明中所給的條件下群G的存在性下面將分三步完成.

（1）令N=〈β〉×〈β1〉×〈β2〉≌（m0，m1，m2），映射τ= 1N，且因為所以有循環(huán)擴張

max{m1，m2}≤m0≤k1，m2≤k0，0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0， 1，2），且設F=〈x0，x1，y0，y1，y2〉是5個生成元的自由群，

令H=〈x0，y0，y1，y2〉，因為是滿足群G（1）關系的群，所以，因為，于是，所以

從而得到滿足群G（2）的關系正是群G（2）的定義關系.

（3）最后證明群G存在時，且

令H=〈x0，x1，y0，y1，y2〉，因為是滿足群G（2）定義關系的群，所以因為，于是，所以

從而得到滿足群G的關系正是群G的定義關系.

定理2G有如下性質

其不變型為（k0，k1，k2），

（2）G是PN群，其中m=max{m1，m2}，

證明定理2的式（1）由G的定義關系，顯然有

所以有

從而得到G/M是交換群，所以有G′≤M，由此可得

證明定理2的式（2），顯然可見，

則

所以

從而

由g的任意性，可得

下面開始計算Z（G）的階，因為

當m1≥m2時，

對

定理3當m0+k0≥k2>k1≥k0時

（1）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤min{s2，μ2}，則群G是LA-群.

（2）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤μ2或μ2≤k2-m0≤s2，則群G是LA-群.

（3）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2≥m2-μ2，s2≤μ2≤k2-m0或μ2≤s2≤k2-m0，則群G是LA-群.

（4）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2

證明首先，把中心Z（G）表示成素數(shù)冪階循環(huán)群的直積，分以下四步完成

（i）由

其中m=max{m1，m2}，令

再根據(jù)條件m≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，m0≤k0得

則

所以交換群

（iii）當k0-m2≤min{s0，μ0}時，由（ii）知

令

所以交換群

（iv）當k1-m0≤min{s1，μ1}時，由（iii）知

有WAG方法，有

（a1）當k2-m0≤min{s2，μ2}時，類似（ii）中的方法，

所以

（a2）當min{s2，μ2}≤k2-m0≤max{s2，μ2}時

（a2.1）當s2≤μ2時，，

且

所以

（a2.2）當s2≥μ2時，μ2≤k2-m0≤s2，類似（a2.1）的方法

所以

（a3）當k2-m0≤min{s2，μ2}時

（a3.1）對m1-s2≥m2-μ2，有

則

對于

（a3.1.1）當s2≤μ2≤k2-m0時，則有

則有

所以

（a3.1.2）當s2≤μ2≤k2-m0時，類似（a2.1）的方法

所以

（a3.2）對m1-s2

（a3.2.1）當s2≤μ2≤k2-m0時，類似（a2.1）的方法，

所以

（a3.2.2）當s2≤μ2≤k2-m0時，

所以

由上得到Z（G）的直積形式有以上七種形式，下面開始計算群的中心自同構的階.

令R=Inn（G）Ac（G）（Ac（G）為G的中心自同構），現(xiàn)在先計算，易知R為Aut（G）的正規(guī)p子群.由引理1有

1）當k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤min{s2，μ2}時由式（1a）知

2）當k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，s2≤k2-m0≤μ2時，由式（2a）知

此時分三種情形討論，

情形1：若k2-m0+m1-s2≤k0時，

情形2：若k0≤k2-m0+m1-s2≤k1時，

情形3：若k2-m0+m1-s2≥k1時，

若μ2≤k2-m0≤s2時，由式（3a）知

由引理2，

分以下三種情形：

情形1：k2-m0+m2-μ2≤k0，c+2m0=ω+2（k1-m0）+

2（m1+m2+k0+k2）≥ω+2（m1+m2+k0+k2），故有

情形2：k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1，c+2m0=ω+（k2-m0）+3（k0-m）+2（k1-m）+（m1+m2-m）+m1≥ω+m1，故有

情形3：k2-m0+m2-μ2≤k1，c+2m0=ω+ 3（k0-m）+2（k1-m）+2m1≥ω+2m1||R=pc+2m0≥||G p2m1,

由上述六種情形知定理3中的式（2）成立.

此時分三種情形討論：

情形1：若k2-m0+m1-s2≤k0時，

情形2：若k0≤k2-m0+m1-s2≤k1時，d+2m0=ω+2（k0-m0）+2（k0-m）+2（k1-m）+（k2-m）+m1+m2-m≥ω+m1+2m2，

情形3：若k2-m0+m1-s2≥k1時，

若μ2≤s2≤k2-m0時，由式（5a）知

分以下三種情形：

情形1：k2-m0+m1-s2≤k0，e+2m0=ω+2（k0-m0）+ 2（k1-m）+2（k2-m）+2（m1+m2-m），

情形2：k0≤k2-m0+m1-s2≤k1，e+2m0=ω+

情形3：k2-m0+m1-s2≤k1，e+2m0=ω+3（k0-m）+

由上述六種情形知定理3中的式（3）成立.

4）當k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2< m2-μ2，s2≤μ2≤k2-m0時，由式（6a）知

f=ω-2m0+2m1+2k0+2k1+2μ2-6m+min{k2-m0+m2-μ2，k0}+min{k2-m0+m2-μ2，k1}，此時我們分三種情形討論：

情形1：若k2-m0+m2-μ2≤k0時，

情形2：若k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1時，

情形3：若k2-m0+m2-μ2≤k1時，

若μ2≤s2≤k2-m0時，由（7a）知

分以下三種情形：

情形1：k2-m0+m2-μ2≤k0，h+2m0=ω+2（k0-m0）+2（k1-m）+ 2（k2-m）+2（m1+m2-m），故有

情形2：k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1，

情形3：k2-m0+m2-μ2≥k1，h+2m0=ω+3（k0-m）+

由上述六種情形知該定理中的（4）成立.

故在Z（G）的直積形式下G都為LA-群.

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[6]徐明曜.有限群導引（上,下）[M].2版.北京：科學出版社, 2001.

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責任編輯：畢和平

A LA-group Based on Φ20Family Group of p6Qrder

BAN Guining，CUI Yan，LIU Hailin
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangxi University，Nanning 530004，China）

In this paper,we generalized Φ20family group of p6order by using the extension theory of group and theory of free groups to obtain,a new series of p-group,and some properties.Furthermore,we proved that the groups are LA-group.

finite group；extention；automorphism group；free group;order

O 152.1

A 文章編號：1674-4942（2014）02-0119-09

2013-09-07

國家自然科學基金項目（61074185）