一類含有位勢的快擴(kuò)散方程組的Fujita指標(biāo)

史金鑫，沈娟娟

（南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南通226007）

在偏微分方程中，關(guān)于Fujita指標(biāo)的研究已引起許多學(xué)者的關(guān)注．1993年，Qi等人［1］研究了問題ut＝Δum＋vp，vt＝Δvn＋uq，得到（pq）c＝mn＋2 N－1max｛p＋n，q＋m｝．2013年，Yang等人［2］研究了齊次快擴(kuò)散方程組ut＝Δum＋vp＋f1（x），vt＝Δvn＋uq＋f2（x），其中0＜m，n＜1，得到Fujita指標(biāo)為（pq）c＝mn＋2（N－2）－1max｛mp＋mn，nq＋mn｝．崔世澤等人［3］探究了耦合方程組ut＝vpΔu，vt＝uqΔv在有界區(qū)域上解的整體存在性和爆破．

近年來，帶有衰減位勢的熱方程的漸近行為又引起人們的廣泛關(guān)注．Zhang［4］通過研究柯西問題

說明了位勢對Fujita指標(biāo)的影響，但當(dāng)位勢以平方速度衰減時沒有得到問題（1）的Fujita指標(biāo)．而Ishige［5］和Pinsky［6］的研究證明了當(dāng)位勢以平方速度衰減時，問題（1）的Fujita指標(biāo)為pc（n，ω）＝1＋2／［α（ω）＋N］，其中N 表示空間維數(shù)，α（ω）＞0，滿足α（α＋N－2）＝ω．關(guān)于位勢問題還可參見文獻(xiàn)［7－9］．最近，Yang等人［10］研究了帶有平方速度衰減的位勢的快擴(kuò)散方程ut＝Δum－V（x）um＋up，得到pc（N，m，ω）＝m＋2／［mα（ω，m）＋N］，其中α（ω，m）＞0，滿足mα（mα＋N－2）＝ω．受以上工作的啟發(fā)，本文擬將文獻(xiàn)［10］中的結(jié)果推廣到方程組的情形，探討當(dāng)位勢以平方速度衰減時對Fujita指標(biāo)的影響．

1 主要結(jié)果

在RN中考慮如下含有位勢的初值問題的Fujita指標(biāo)：

其中1－2／（mα1＋N）＜m＜1，1－2／（nα2＋N）＜n＜1，p，q＞1，pq＞1，N≥2，位勢φ（x）～ω1／｜x｜2，ψ（x）～ω2／｜x｜2，且當(dāng)｜x｜→∞時ω1，ω2≥0為常數(shù)，α1，α2＞0是與ω1，ω2有關(guān)的參數(shù)，并滿足mα1（mα1＋N－2）－ω1＝0，nα2（nα2＋N－2）－ω2＝0，α1（1－m）＝α2（1－n），u0，v0是連續(xù)有界的．

記pc＝［2＋m（mα1＋N）］／（N＋nα2），qc＝［2＋n（nα2＋N）］／（N＋mα1）．本文的主要結(jié)論如下．

定理1假設(shè)1＜p≤pc，1＜q≤qc，V1（x），V2（x）∈Cγ（RN＼｛0｝），γ∈（0，1），對充分大的｜x｜，有V1（x）≤ω1／｜x｜2，V2（x）≤ω2／｜x｜2，則問題（2）的非負(fù)解在有限時間內(nèi)爆破．

定理2假設(shè)p＞pc，q＞qc，V1（x），V2（x）∈Cγ（RN＼｛0｝），γ∈（0，1），V1（x）≥ω1／｜x｜2，V2（x）≥ω2／｜x｜2，則問題（2）存在全局解．

2 定理的證明

2．1 定理1的證明

筆者利用試驗函數(shù)法證明問題（2）的解在有限時間內(nèi)爆破．

假設(shè)U（r，t）＝rα1ω（r，t），V（r，t）＝rα2z（r，t）是問題（2）的下解，且0≤U0（r）≤u0（x），U0′（r）≤0，0≤V0（r）≤v0（x），V0′（r）≤0，則對充分大的r0，當(dāng)r＞r0，t∈（0，T），ω（r，0）＝r－α1U0（r）≥0，z（r，0）＝r－α2V0（r）≥0時，ω，z滿足

設(shè)ρ＝ρ（r）＝2r［α1（1－m）＋2］／2／［α1（1－m）＋2］，σ＝σ（r）＝2r［α2（1－n）＋2］／2／［α2（1－n）＋2］，ρ0＝ρ（r0），σ0＝σ（r0），記ω（r，t）＝ξ（ρ，t），z（r，t）＝η（σ，t），則當(dāng)

時，式（3）變?yōu)?/p>

其中N1＝（2α1＋2mα1＋2 N）／［α1（1－m）＋2］，C1＝［2－1α1（1－m）＋1］2（α2p－α1）／［α1（1－m）＋2］，l1＝2（α2p－α1）／［α1（1－m）＋2］．同理，式（4）可變?yōu)?/p>

其中N2＝（2α2＋2nα2＋2 N）／［α2（1－n）＋2］，C2＝［2－1α2（1－n）＋1］2（α1q－α2）／［α2（1－n）＋2］，l2＝2（α1q－α2）／［α2（1－n）＋2］．取ν，μ 滿足

若能證明（ν，μ）在有限時間內(nèi)爆破，則可知問題（2）的解在有限時間內(nèi)爆破．假設(shè)（ν，μ）為問題（5）的全局解，光 滑 函 數(shù)其中x＝ρ（或σ）．定 義

由H?lder不等式得

因為α1（1－m）＝α2（1－n），故

其中

顯然C1，C2，C4＜∞，令C3＝C1＋（N1－1）C2，則

同理可得

若p＜pc，q＜qc，則－2＋N1（1－m）＜l1＋N1－N2p，－2＋N2（1－n）＜l2＋N2－N1q．由于pq＞mn，故 存 在σ1，σ2＞0，使 得Fk（0）＞σn／（mn－pq）1σp／（mn－pq）2，F(xiàn)mk（0）／Gpk（0）＜σ1，Gk（0）＞σq／（mn－pq）1σm／（mn－pq）2，Gnk（0）／Fqk（0）＜σ2．由式（9），（10）知存在C7，C8＞0以及充分大的k0，k＞k0使得Fk′（0）≥C7Gpk（0），Gk′（0）≥C8Fqk（0）．更進(jìn)一步，由pq＞1得Fk′≥C7Gpk，Gk′≥C8Fqk，因此當(dāng)1＜p＜pc，1＜q＜qc時，問題（2）的解在有限時間內(nèi)爆破．

若p＝pc，q＝qc，則－2＋N1（1－m）＝l1＋N1－N2p，－2＋N2（1－n）＝l2＋N2－N1q．由式（9），（10）知存在t0＞0使得

假設(shè)對所有的k，t＞0有Fk（t）≤K1，Gk（t）≤K2．因為－2＋N1（1－m）＝l1＋N1－N2p＜0，－2＋N2（1－n）＝l2＋N2－N1q＜0及1－2／（mα1＋N）＜m＜1，1－2／（nα2＋N）＜n＜1，

2．2 定理2的證明

受文獻(xiàn)［10］882的啟發(fā)，構(gòu)建問題（2）的上解

其中B1，B2，D1，D2＞0，只須證（ˉu，ˉv）是問題（2）的全局的上解即可．首先驗證

設(shè)Z1＝B1＋D1r2＋α1（1－m）（t＋1）－1－β1（1－m）＝B1＋D1z1，Z2＝B2＋D2r2＋α1（1－m）（t＋1）－1－β2（1－n）＝B2＋D2z2，則ˉut－（ˉum）rr－r－1（N－1）（ˉum）r＋r－2ω1ˉum－ˉvp≥（t＋1）－β1－1rα1Z－1／（1－m）－11F（Z1），其中

本文總是假設(shè)J＋（1－m）－1＜0，X＋（1－n）－1＜0，要證F（Z1）≥0，F(xiàn)（Z2）≥0，只須證（i）F（B1）≥0，F(xiàn)（B2）≥0；（ii）F′（Z1）≥0，Z1≥B1，F(xiàn)′（Z2）≥0，Z2≥B2．條件（i）等價于

對條件（ii）的F′（Z1）進(jìn)行簡單計算可得F′（Z1）＝（1－m）－1＋（1－m）－2m（2＋α1－mα1）［－2＋N－m（mα1＋N－α1）］D1－C［J＋1＋（1－m）－1］ZJ＋（1－m）－11ZI－p／（1－n）2．對 于F′（Z1），當(dāng)J＋（1－m）－1≤－1時，有

當(dāng)－1＜J＋（1－m）－1＜0時，有

因為1－2／（mα1＋N）＜m＜1，故－2＋N－m（mα1＋N－α1）＜0，由不等式（13），（14）得D1＜（1－m）／｛m（2＋α1－mα1）［2－N＋m（mα1＋N－α1）］｝．由于p＞［2＋m（mα1＋N）］／（N＋nα2），故

同理可得

因此，對這樣的D1，D2＞0以及充分大的B1，B2＞0，可得到不等式（11），（12），從而（ˉu，ˉv）是問題（2）的全局的上解，定理2得證．

［1］ QI Yuanwei，LEVINE H A．The critical exponent of degenerate parabolic systems［J］．Z Angew Math Phys，1993，44（2）：249－265．

［2］ YANG Jinge，ZHENG Sining，QU Chengyuan．Fujita phenomenon in inhomogeneous fast diffusion system［J］．Z Angew Math Phys，2013，64（2）：311－319．

［3］ 崔世澤，劉玉榮．耦合拋物方程組正解的整體存在性與爆破［J］．揚州大學(xué)學(xué)報：自然學(xué)版，2003，6（3）：14－17，26．

［4］ ZHANG Qi．The quantizing effect of potentials on the critical number of reaction－diffusion equations［J］．J Diff Eqs，2001，170（1）：188－214．

［5］ ISHIGE K．On the Fujita exponent for a semilinear heat equation with a potential term［J］．J Math Anal Appl，2008，344（1）：231－237．

［6］ PINSKY R．The Fujita exponent for semilinear heat equations with quadratically decaying potential or in an exterior domain［J］．J Diff Eqs，2009，246（6）：2561－2576．

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［9］ ZHANG Qi．A priori estimates and the representation formula for all positive solutions to a semilinear parabolic problem［J］．J Math Anal Appl，1999，232（2）：413－427．

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