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    構造新函數(shù) 妙解導數(shù)題

    2020-01-01 09:29:00廣東省汕頭市澄海鳳翔中學
    關鍵詞:澄海汕頭市定義域

    ■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學

    導數(shù)是高考函數(shù)內容的重要組成部分,導數(shù)既是數(shù)學研究的對象,也是研究數(shù)學的工具,在解決導數(shù)與抽象函數(shù)、不等式相結合的有關問題時,觀察條件結構、構造函數(shù)是解決問題的關鍵。

    一、含有ex 的函數(shù)

    例1設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),對任意x∈R 都有f(x)>f'(x)成立,則( )。

    A.3f(ln 2)>2f(ln 3)

    B.3f(ln 2)=2f(ln 3)

    C.3f(ln 2)<2f(ln 3)

    D.3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定

    故選A。

    點評:若f'(x)-kf(x)>0,則構造函數(shù),其中當k=1時,則構造函數(shù)

    例2已知定義在R 上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),對任意x∈R 滿足f(x)+f'(x)<0,則下列結論正確的是( )。

    A.2f(ln 2)>3f(ln 3)

    B.2f(ln 2)<3f(ln 3)

    C.2f(ln 2)≥3f(ln 3)

    D.2f(ln 2)≤3f(ln 3)

    解析:設g(x)=exf(x),則g'(x)=(ex)'f(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,g(x)在R 上是減函數(shù)。因為ln 2<ln 3,所以g(ln 2)>g(ln 3),即(ln 2)>eln3f(ln 3), 2f(ln 2)>3f(ln 3)。

    故選A。

    點評:若f'(x)+kf(x)>0,則構造函數(shù)F(x)=ekxf(x),其中當k=1時,則構造函數(shù)F(x)=exf(x)。

    二、含有xn 的函數(shù)

    例3已知函數(shù)若對任意的x∈[1 ,2],xf'(x)+f(x)>0恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是( )。

    點評:若xf'(x)+nf(x)>0,則構造函數(shù)F(x)=xnf(x),其中當n=1時,則構造函數(shù)F(x)=xf(x)。

    三、含有sin x 的函數(shù)

    例5函數(shù)f(x)的定義域是f'(x)是它的導函數(shù),且f(x)+tanx·f'(x)>0在定義域內恒成立,則( )。

    解析:設g(x)=sinx·f(x),則:

    g'(x)=cosx·f(x)+sinx·f'(x)=cosx[f(x)+tanx·f'(x)]>0。

    故選B。

    點評:若f(x)+f'(x)tanx>0 或f(x)cosx+f'(x)sinx>0,則構造函數(shù)F(x)=sinx·f(x)。

    例6已知定義在上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),且對于任意的x∈,都有f'(x)sinx<f(x)cosx,則下列結論正確的是( )。

    點評:若f(x)-f'(x)tanx>0 或f(x)cosx-f'(x)sinx>0,則構造函數(shù)

    四、含有cos x 的函數(shù)

    例7設函數(shù)f'(x)是定義在(0,2π)上的函數(shù)f(x)的導函數(shù),f(x)=f(2πx)。當0<x<π 時,f(x)sinx-f'(x)·cosx<0,若,則( )。

    A.a<b<cB.b<c<a

    C.c<b<aD.c<a<b

    則a<b<c,選A。

    點評:若f'(x)-f(x)tanx>0 或f'(x)cosx-f(x)sinx>0,則構造函數(shù)F(x)=cosx·f(x)。

    例8已知函數(shù)y=f(x)對于任意的滿足f'(x)cosx+f(x)sinx=1+lnx(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)),則下列不等式成立的是( )。

    整理可知,選B。

    點評:若f'(x)+f(x)tanx>0 或f'(x)cosx+f(x)sinx>0,則構造函數(shù)

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