物理學知識在數(shù)學教學中的應用

【摘要】本文從運動學角度引入帶有拉格朗日型余項的泰勒公式，以此介紹物理學知識在數(shù)學教學中的應用。既解決了數(shù)學教學難點，又豐富了物理學科中直線運動的位移公式，使學生形象地理解記憶泰勒定理，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

【關鍵詞】泰勒定理直線運動的位移公式物理數(shù)學

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）06-0140-01

數(shù)學和物理是密不可分的.在數(shù)學學習過程中，學生能體會到用數(shù)學知識解決物理問題的過程，但很少體會到物理學知識在數(shù)學學習中的應用。本文就以直線運動的位移公式引入泰勒公式為案例，介紹物理學知識在數(shù)學教學中的應用。泰勒定理是大學一年級理工科學生必需掌握的內容，但很多學生不理解泰勒定理。為了讓學生能順利地理解這個定理，雖然很多同行對其教學方法做了大量探討，但并沒有從根本上解決問題。究其原因是：教師在教學中有意識地用多項式逼近的方法引出泰勒公式。對于學生來說，他們完全不了解這種形式的逼近性，老師將用多項式逼近函數(shù)的思想強加給了他們。所以，泰勒定理難理解就難在用逼近的思想引入。本文恰好突破這一點，不是刻意用多項式逼近函數(shù)，而是自然而然地轉化到多項式逼近上。本文從運動學的角度演繹泰勒定理的形成，可謂是泰勒定理的再發(fā)現(xiàn)，使學生形象地理解記憶泰勒定理，豐富了物理學科中直線運動的位移公式，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。

現(xiàn)假設一物體在時刻x0開始作直線運動，f(x)為物體在時刻x的位移。

若物體運動是勻速的，即速度f′(x)是常數(shù)，根據(jù)勻速直線運動的位移公式得：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0) （1）

若物體作勻變速運動，即加速度f″(x)是常數(shù)，根據(jù)勻變速直線運動的位移公式得：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2 （2）

以上是學生在中學物理中已經(jīng)熟悉的知識。

若物體作變加速運動，但加速度是均勻變化的，以下不妨稱為勻變加速運動，即f?蓯(x)≡f?蓯((x0)，我們猜測物體運動的位移公式可能為：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+■f?蓯((x0)(x-x0)3（3）

下面來分析（3）式是否成立：

將（3）式對x逐次求導得：

速度函數(shù)：

f′(x)=■f′(x0)+■f″(x0)(x-x0)+■f?蓯((x0)(x-x0)2，

加速度函數(shù)：

f″(x)=■f″(x0)+■f?蓯(x0)(x-x0)，

加速度函數(shù)的導函數(shù)：

f?蓯((x)=■f?蓯(x0)。

這與f?蓯(x)是常數(shù)矛盾，所以（3）式不成立。若上述求導過程中得到f?蓯(x)≡f?蓯((x0)，只需將（3）中■改為■，所以可對（3）式進行修正，正確的結果應該為：

f(x)=f(x0)+■f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+■f?蓯((x0)(x-x0)3（3）′

這就是勻變加速運動的位移公式。彈簧振子的簡諧振動、大氣中不斷焚毀的隕星就是典型的這類運動。其實若在f?蓯(x)≡f?蓯((x0)的兩端從時刻x0到時刻x積分三次可直接得（3）′ 式，只是這個階段學生還未學習積分知識。

顯然若f（n+1）(x)=f（n+1）(x0)，則f(x)=f(x0)+■f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+…+■f(n)((x0)(x-x0)n+■(x-x0)n+1

進一步，若f(n+1)(x)不是常數(shù)，將f(n+1)(x0)換為f(n+1)(x)在[x0，x]上的最大值，等式右邊的值比左邊可能要大。相仿的，若將f(n+1)(x0)換為f(n+1)(x)在[x0，x]上的最小值，則等式右邊的值比左邊可能要小。所以應將f(n+1)(x0)換為f(n+1)(x)在[x0，x]上的介于最大值與最小值之間的值f(n+1)(ξ)，其中ξ∈[x0，x]，實際上，由導數(shù)的介值定理，可保證點ξ的存在。容易看到，當x≤x0時，結論也是成立的。這樣，我們就得到了帶有拉格朗日型余項的泰勒公式，以定理的形式給出：

泰勒定理如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間（a，b）內具有直到（n+1）階的導數(shù)，則對任一x∈（a，b），有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+■(x-x0)2+…+■(x-x0)n+Rn(x)（4）

其中Rn(x)=■f(n+1)(ξ)(x-x0)n+1，這里ξ是x0與x之間的某個值。

多年的教學實踐表明，用這種方法引入泰勒公式很自然，不但讓學生經(jīng)歷了數(shù)學發(fā)展的過程，而且使學生很容易接受泰勒定理，大大激發(fā)了學生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，體會物理學知識在數(shù)學學習中的應用，并在應用中豐富物理學知識。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析(上冊) [M]. 4版. 北京:高等教育出版社, 2010.137-142.

[2]同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學(上冊) [M]. 6版. 北京:高等教育出版社, 2007.139-142.

作者簡介：

姚海燕，女，1985年出生，漢族，山東陽谷人，助教，碩士，主要研究函數(shù)論方向。