基于二極管的限幅蔡氏電路實驗研究

閔富紅，馬美玲

(南京師范大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，江蘇南京210042)

0 引言

蔡氏電路作為非線性電路中產(chǎn)生復(fù)雜動力學(xué)行為最有效、簡單的混沌振蕩電路，已經(jīng)成為電路和物理實驗教學(xué)中演示混沌現(xiàn)象的典型范例。傳統(tǒng)的蔡氏電路結(jié)構(gòu)簡單，但在產(chǎn)生混沌現(xiàn)象時，元器件參數(shù)的可調(diào)范圍卻很小。另外，由于混沌系統(tǒng)對初始條件極為敏感，對電路中電感的精度要求很高，因此增加了電路實驗的成本。許多學(xué)者通過對非線性部分進(jìn)行重新設(shè)計，或者采用模擬電感替換實際電感等方法，對蔡氏電路進(jìn)行了改進(jìn)[1，2]。雖然上述方法取得了一定的效果，但增加了電路實驗的復(fù)雜性。

本文基于蔡氏電路方程中系統(tǒng)變量之間的運算關(guān)系，利用運算放大器的限幅原理，設(shè)計合適的無感等效蔡氏電路。通過改變電位器的阻值來進(jìn)行混沌現(xiàn)象的演示實驗，獲得周期、單渦卷及雙渦卷等運動，獲得的系統(tǒng)特性與蔡氏電路完全一致。此外，該硬件電路不僅結(jié)構(gòu)簡單，調(diào)試方便，而且能夠直接從系統(tǒng)引出三個狀態(tài)量，便于學(xué)生從示波器直接觀測系統(tǒng)的運動，這為今后系統(tǒng)的混沌控制與同步應(yīng)用等帶來了很大的方便。

1 蔡氏電路模型

蔡氏電路存在的非線性環(huán)節(jié)是系統(tǒng)運動軌跡發(fā)生變化的主要原因。該非線性環(huán)節(jié)為2分段函數(shù)，因此系統(tǒng)主要存在2個運動軌跡的吸引域，一般有單渦卷和雙渦卷兩種混沌運動狀態(tài)。蔡氏電路數(shù)學(xué)模型為[3-5]:

其中，h(x)=m1x+0.5(m0－m1)(|x+1|－ |x－1|)。α，β，m0和m1為決定混沌電路運動狀態(tài)的系統(tǒng)參數(shù)，基于Matlab軟件仿真平臺，我們選擇ode45算法，改變系統(tǒng)參數(shù)，可以獲得周期極限環(huán)和混沌吸引子等豐富的動力學(xué)行為。當(dāng)選取m0=－1/7，m1=2/7，α=10，β=15時，蔡氏系統(tǒng)處于雙渦卷混沌運動狀態(tài)，相平面圖和時序波形圖如圖1所示。

圖1 雙渦卷蔡氏混沌系統(tǒng)的相位圖與時序圖

2 蔡氏電路等效電路設(shè)計

蔡氏電路中的非線性環(huán)節(jié)是混沌產(chǎn)生的關(guān)鍵，也是電路設(shè)計的難點。傳統(tǒng)蔡氏電路結(jié)構(gòu)簡單，包含一個電感、兩個電容、一個電阻和一個非線性電阻[3]，如圖2所示。由于混沌電路本身對初始條件極為敏感，在實際電路實驗中對電感的精度要求很高，利用示波器很難捕捉到穩(wěn)定的混沌吸引子。因此，傳統(tǒng)的蔡氏電路不易進(jìn)行硬件實驗制作，電路調(diào)試較為困難。

圖2 經(jīng)典三階蔡氏電路圖

下面對蔡氏電路方程進(jìn)行逆向推導(dǎo)，得到不含電感的等效蔡氏電路。為了敘述方便，將式(1)改寫成如下格式:

其中，f(x)=0.5(|x+1|－ |x－1|)即:

分段函數(shù)f(x)的最大值不超過1，最小值不低于-1，具有限幅功能，保證了電路中混沌吸引子維持在局部區(qū)域內(nèi)穩(wěn)定運行。

對于該段具有限幅功能的非線性環(huán)節(jié)，設(shè)計的電路如圖3所示。

圖3 限幅函數(shù)功能的電路圖

該限幅函數(shù)電路由一個運放U1A、三個電阻R1，R2，R3，兩個二極管以及正負(fù)直流電源來實現(xiàn)。電路中運放選用芯片TL082CD;兩個二極管D1和D2型號為1N5712，其導(dǎo)通電壓約為0.65V。它與±14.35V的工作電壓及R3(1Ω)的電阻連接后，加在運放的輸出端，使得其輸出電壓鉗制在15V之間，實現(xiàn)了限幅電路的功能。若運放輸入端為x，那么輸出端Vo為

選取電阻R1=10kΩ，R2=150kΩ，上式簡化為

我們完成了限幅電路設(shè)計后，可得到了非線性函數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，即-15f(x)。下面根據(jù)式(2)，利用反相比例積分電路、加法電路和反相放大電路等常見的模擬電子電路，對蔡氏電路中三個狀態(tài)變量之間的代數(shù)運算關(guān)系進(jìn)行反推設(shè)計。

在圖4中，運放U2A和電阻R6、R7構(gòu)成了反相電路，實現(xiàn)了狀態(tài)變量y的反相。該輸出與圖3中限幅電路的輸出結(jié)果Vo=－15f(x)，一起作為運放U3A的輸入。它與電阻R4、R5、R8及電容C1構(gòu)成含加法運算的反相比例積分電路，最終輸出為系統(tǒng)狀態(tài)變量x。

圖4 系統(tǒng)變量x引出圖

狀態(tài)變量的引出圖如圖5所示。運放U4A和電阻R9－R11構(gòu)成了反相加法電路。其輸入為系統(tǒng)狀態(tài)變量x與z1，輸出作為運放U5A的輸入，與電阻R12、R13，電容C2構(gòu)成了含加法運算的反相比例積分電路，最終輸出結(jié)果即為系統(tǒng)狀態(tài)變量y。

系統(tǒng)狀態(tài)變量z與y具有反相比例積分關(guān)系，以圖5中運算放大器U5A的輸出量y作為輸入，經(jīng)過由運算放大器U6A、電阻R14和電容C3構(gòu)成的反相比例積分電路之后，得到系統(tǒng)狀態(tài)變量z，電路結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖5 系統(tǒng)變量y引出圖

圖6 系統(tǒng)變量z引出圖

最后，將圖4、圖5和圖6中對應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的端口連接，可以得到與蔡氏電路等效的三階自治混沌電路，如圖7所示。圖中的等效蔡氏電路的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖7 等效蔡氏電路

為了方便電路參數(shù)取值，將系統(tǒng)所有量整體成比例縮放10倍，縮放后系統(tǒng)的頻率加快，系統(tǒng)的運動狀態(tài)不發(fā)生改變。結(jié)合式(2)和式(6)，可得電路中主要元器件取值依據(jù)為

可見，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)m6，m1，α和β發(fā)生改變時，隨之而發(fā)生改變的只有電阻R4，R5，R8和R14。換句話說，這四個電阻參數(shù)值的大小直接決定了蔡氏電路系統(tǒng)的運動軌跡。

3 蔡氏電路實驗結(jié)果

我們按照圖7所示的電路圖，搭建等效蔡氏電路硬件電路?，F(xiàn)設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)m0=-1/7，m1=2/7，β=15，改變參數(shù)α，觀察其對蔡氏系統(tǒng)運動的變化。為了方便，圖4和圖5的電路中，選取反相器的電阻R6=R7=R9=R10=R11=10kΩ。同時根據(jù)式(7)和式(8)的計算，選取 R12=R13=10kΩ，R14=666.7Ω 和電容 C1=C2=C3=0.01μF。上述電阻選擇的誤差范圍都為1%的精密電阻，三只電容均由允許誤差5﹪的103J瓷片電容來實現(xiàn)。我們只需調(diào)節(jié)3只精密電位器R4，R5和R8的阻值，就可以改變系統(tǒng)參數(shù)α的大小，從而觀察到不同的系統(tǒng)運動行為。

實驗時，利用型號為UTD4062C的示波器觀察系統(tǒng)運動的變化情況。當(dāng)α=9.5時，調(diào)節(jié)電位器R4=35kΩ，R5=3.5kΩ，R8=1kΩ，觀察到此時系統(tǒng)處于雙渦卷運動狀態(tài)，三個系統(tǒng)變量間的相圖分別如圖8(a)～(c)所示，對應(yīng)變量x與y時序圖如圖9(a);當(dāng) α =9.0 時調(diào)節(jié)電位器 R4=38.89kΩ，R5=3.89kΩ及R8=1.11kΩ，此時系統(tǒng)處于單渦卷運動狀態(tài)，運動軌跡如圖8(d)～(f)所示;當(dāng)α=8.75時，調(diào)節(jié)電位器 R4=40kΩ，R5=4kΩ 及 R8=1.143kΩ，此時系統(tǒng)處于周期四狀態(tài)，運動軌跡如圖8(g)～(i)所示;當(dāng) α =8.5 時，調(diào)節(jié)電位器 R4=41.18kΩ，R5=4.12kΩ及R8=1.18kΩ，此時系統(tǒng)為周期二狀態(tài)，三個系統(tǒng)變量間相圖如圖8(j)～(l)所示;對應(yīng)變量x與y的時序圖如圖9(b)所示。當(dāng)α=7.8時，調(diào)節(jié)電位器 R4=44.87kΩ，R5=4.49kΩ 及 R8=1.14kΩ，此時系統(tǒng)為單周期狀態(tài)，三個系統(tǒng)變量之間相圖如圖8(m)～(o)所示。可見，隨著系統(tǒng)參數(shù)α減小，蔡氏電路的運行狀態(tài)經(jīng)歷了雙渦卷混沌振蕩、單渦卷吸引子、多周期到單周期的演變過程。等效蔡氏電路與經(jīng)典蔡氏電路圖的實驗效果圖幾乎一樣。

圖8 參數(shù)改變時的系統(tǒng)運動軌跡

圖9 混沌和周期二運動態(tài)的時序?qū)Ρ葓D

在硬件實驗時，系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)很容易，從示波器觀察到的波形比較穩(wěn)定。在以往蔡氏電路實驗的相關(guān)文獻(xiàn)中，只能得到狀態(tài)變量x與y的相位圖，或其時序圖，而該實驗電路最大的優(yōu)點是能夠從示波器中直接觀察到蔡氏系統(tǒng)三個狀態(tài)變量的運動。即可以觀察到狀態(tài)變量z分別與變量x和y的相位圖，及對應(yīng)的時序波形圖。

實驗中選擇的電阻和電容精度都是比較高，因而實驗效果很好，由于蔡氏混沌運動有很強(qiáng)的敏感性，若選擇的元器件精度不高，調(diào)試電路就比較困難，影響實驗效果。

4 結(jié)語

本文從蔡氏電路方程出發(fā)，逆向推導(dǎo)出與之等效的電路結(jié)構(gòu)圖。在運算方式不變的條件下，可以改變電路參量來擴(kuò)大混沌現(xiàn)象的調(diào)節(jié)范圍，實現(xiàn)方式靈活多樣。我們只需要將反相加法電路、反相電路和比例積分電路進(jìn)行組合連接，就可以實現(xiàn)整個等效蔡氏電路的設(shè)計，電路形式簡單、可操作性強(qiáng)。此外，因為電路中不含電感元件，系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌吸引子相對比較穩(wěn)定，并且運動軌跡清晰可見，加深了學(xué)生對混沌現(xiàn)象本質(zhì)的認(rèn)識，給非線性混沌電路的教學(xué)帶來了極大的方便。

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