基于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的失效零件再設(shè)計(jì)

孫 哲，胡于進(jìn)

（華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430074）

0 引言

在當(dāng)今的工業(yè)設(shè)計(jì)中，零部件結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計(jì)和輕量化設(shè)計(jì)成為當(dāng)前機(jī)械設(shè)計(jì)的一個(gè)重要的方向。拓?fù)鋬?yōu)化已成為實(shí)現(xiàn)零部件結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計(jì)和輕量化設(shè)計(jì)的重要工具，被廣泛運(yùn)用于建筑、航空航天、汽車、海洋工程和船舶制造等領(lǐng)域［1－2］。

近些年來(lái)，拓?fù)鋬?yōu)化的應(yīng)用逐漸增多［3－5］。但是，參考文獻(xiàn)［3－5］都是通過選擇一個(gè)主要目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，沒有考慮到在復(fù)雜多工況多目標(biāo)情況下的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。由于設(shè)計(jì)問題的復(fù)雜性，必須滿足的設(shè)計(jì)指標(biāo)往往是多方面的，因此，多目標(biāo)優(yōu)化是工程設(shè)計(jì)的一個(gè)基本問題。在多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化中，孫曉輝［6］，范文杰［7］等提出運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法將多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化，通過加權(quán)規(guī)劃法將多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化，但是如何選擇合適的權(quán)重仍是一個(gè)難點(diǎn)。

耿玉磊［8］等總結(jié)了求解多目標(biāo)優(yōu)化的幾種方法，提出將模糊理論和滿意度應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化中?；谶@一思想的啟示，結(jié)合模糊理論，提出了一種基于模糊滿意度和加權(quán)平方和法的變權(quán)重多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，利用子目標(biāo)函數(shù)的模糊滿意度構(gòu)造其權(quán)重，實(shí)現(xiàn)了各子目標(biāo)函數(shù)權(quán)重的動(dòng)態(tài)調(diào)整，解決了權(quán)重難以選擇的問題。

1 基于模糊滿意度的變權(quán)重多目標(biāo)規(guī)劃方法

1．1 模糊滿意度

模糊理論是處理不確定問題的理論基礎(chǔ)，已成為解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種有效工具，其基本思想是將目標(biāo)函數(shù)模糊化，引入隸屬度函數(shù)，將優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)解轉(zhuǎn)換為尋找目標(biāo)模糊集中的滿意解。假設(shè)多目標(biāo)優(yōu)化問題表達(dá)為：

用各個(gè)約束條件對(duì)各個(gè)單目標(biāo)fi（x）進(jìn)行優(yōu)化（式（2）），求解得到該目標(biāo)的最優(yōu)解以及其他目標(biāo)函數(shù)的值，結(jié)果如表1所示。

表1 單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

表1矩陣對(duì)角線的元素fii（x）即fi（x）目標(biāo)的理想點(diǎn)，定義表1各列中離理想點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，并為目標(biāo)fi（x）的悲觀點(diǎn)。和組成理想點(diǎn)和悲觀點(diǎn)向量，多目標(biāo)優(yōu)化的過程就是在理想點(diǎn)和悲觀點(diǎn)組成的n維長(zhǎng)方體中尋找滿意解［9］。

將子目標(biāo)函數(shù)模糊化，對(duì)于每個(gè)目標(biāo)函數(shù)fi（x），i＝1，2，…，n，給出相應(yīng)的模糊伸縮指標(biāo)di（di＞0）。伸縮指標(biāo)的取值根據(jù)該目標(biāo)可以接受的最差解與理想解的差值來(lái)選擇，定義目標(biāo)函數(shù)隸屬函數(shù)格式為［10］：

隸屬函數(shù)值λi反映了目標(biāo)函數(shù)fi（x）的值在該目標(biāo)的模糊集中接近理想點(diǎn)的程度，定義λi為第i個(gè)目標(biāo)的模糊滿意度，表示該目標(biāo)在模糊目標(biāo)集的隸屬程度。

1．2 基于模糊滿意度的變權(quán)重多目標(biāo)規(guī)劃法

加權(quán)平方和方法是求解多目標(biāo)優(yōu)化的一種常用的方法，對(duì)于1．1節(jié)所給的多目標(biāo)優(yōu)化構(gòu)造出加權(quán)平方和法的評(píng)價(jià)函數(shù)為：

根據(jù)式（3）的模糊滿意度來(lái)確定各個(gè)子目標(biāo)的權(quán)重，權(quán)重會(huì)根據(jù)子目標(biāo)函數(shù)值確定，此時(shí)權(quán)系數(shù)wi是動(dòng)態(tài)的。選擇權(quán)系數(shù)為：

使用模糊滿意度來(lái)確定加權(quán)系數(shù)，可以根據(jù)各個(gè)目標(biāo)在模糊集中的滿意度來(lái)動(dòng)態(tài)地調(diào)整目標(biāo)的權(quán)重，滿意度較小的目標(biāo)權(quán)重加大，使該目標(biāo)可得到較好的優(yōu)化。此外，子目標(biāo)模糊化的伸縮指標(biāo)是通過每個(gè)目標(biāo)可接受最差解來(lái)確定的，這樣可以控制優(yōu)化后的各個(gè)目標(biāo)值盡量落在自己期望的范圍之內(nèi)。

1．3 多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化

在多工況下，每個(gè)工況都對(duì)應(yīng)著一個(gè)剛度最優(yōu)的拓?fù)湫螤?。因此，多工況剛度優(yōu)化問題屬于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化。通常把剛度最大問題轉(zhuǎn)化為柔度最小問題來(lái)處理來(lái)定義，柔度則用應(yīng)變能來(lái)定義。

多工況的剛度最大化拓?fù)鋬?yōu)化問題描述為：

fj為最小的第j階模態(tài)；v為優(yōu)化后的體積比，用來(lái)控制優(yōu)化得到的最大體積。

每個(gè)工況的剛度最大化優(yōu)化模型為：

由于零件輕量化設(shè)計(jì)成為當(dāng)前設(shè)計(jì)工作的一個(gè)需要考慮的因素，所以體積最小化也要作為一個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)。體積最小化問題一般描述為：

根據(jù)式（3）寫出各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)為：

在Optistruct中求解單目標(biāo)優(yōu)化（8）和（9），得到如表1所示的矩陣表。確定理想點(diǎn)和V＊，悲觀點(diǎn)和Vmax，根據(jù)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)允許的最差解，選擇合適的伸縮指標(biāo)di和dV。由式（10）和式（11）得到模糊滿意度的表達(dá)式，由式（4）和式（5）得到多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的評(píng)價(jià)函數(shù)為：

多工況和體積的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的表達(dá)式為：

2 汽車零件優(yōu)化設(shè)計(jì)

2．1 原零件分析

發(fā)動(dòng)機(jī)右上中支架的原始模型如圖1所示。材料參數(shù)：彈性模量E＝74 GPa，泊松比u＝0．33，彈性極限Re＝160 MPa，要求零件的質(zhì)量小于680 g，第一階模態(tài)大于650 Hz。

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)右上中支架原始設(shè)計(jì)模型

零件計(jì)算模型如圖2a所示，支架底端采用5個(gè)彈簧單元模擬與之接觸零件的剛度，彈簧底端固定，零件之間采用螺栓連接，螺栓使用梁?jiǎn)卧蛣傂詥卧M(jìn)行模擬。在X和Z方向，分別受到1 800 N和3 770 N的載荷。對(duì)部件進(jìn)行模態(tài)分析和2種工況下的靜力學(xué)分析。得到原始零件的一階模態(tài)為671．6 Hz，滿足設(shè)計(jì)要求。由于螺栓采用梁?jiǎn)卧蛣傂詥卧獊?lái)模擬，所以在和剛性單元連接的部分會(huì)產(chǎn)生相對(duì)于其他單元較大的應(yīng)力，因此，在應(yīng)力顯示的時(shí)候，沒有考慮凸臺(tái)以及其他與簡(jiǎn)化螺栓相連接單元的應(yīng)力，這樣比較真實(shí)地反應(yīng)了零件的應(yīng)力水平分布。X方向載荷作用下的應(yīng)力分布如圖2c所示，最大應(yīng)力為41．5 MPa。Z方向載荷作用下的應(yīng)力分布如圖2d所示，最大應(yīng)力為154 MPa。在試驗(yàn)過程中，零件發(fā)生斷裂，如圖2b所示，可以看到斷裂的地方剛好發(fā)生在應(yīng)力過大的地方。由上述分析可知，零件在載荷作用下的應(yīng)力過大而導(dǎo)致使用過程中的疲勞斷裂。再設(shè)計(jì)過程中，需要考慮零件的剛度要足夠大，同時(shí)考慮到輕量化設(shè)計(jì)，零件的體積也要足夠小。即需要達(dá)到2個(gè)剛度最大化和體積最小化這3個(gè)目標(biāo)，所以要用到多目標(biāo)優(yōu)化。

圖2 原始設(shè)計(jì)應(yīng)力水平分布和斷裂圖片

2．2 多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化

零件的設(shè)計(jì)區(qū)域和非設(shè)計(jì)區(qū)域如圖3a所示?？紤]到發(fā)動(dòng)機(jī)左上中支架的裝配要求，僅對(duì)下面的加強(qiáng)筋區(qū)域進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。首先將加強(qiáng)筋部分全部填滿作為設(shè)計(jì)區(qū)域，優(yōu)化約束為第一階模態(tài)和體積比。由于設(shè)計(jì)要求最小一階模態(tài)為650 Hz，零件最大質(zhì)量為680 g，考慮到誤差余量，取最小第一階模態(tài)為660 Hz，體積比最大為0．2。對(duì)2種工況分別進(jìn)行單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化得到各個(gè)工況柔度，優(yōu)化得到的值為這2個(gè)目標(biāo)的期望值。以體積最小化為目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，得到體積的期望值和2種工況的柔度。計(jì)算得到表2所示的參數(shù)。

表2 計(jì)算各個(gè)工況得到的參數(shù)

根據(jù)表2選擇對(duì)角線值為各個(gè)目標(biāo)的理想點(diǎn)，各列最大值為悲觀點(diǎn)。根據(jù)實(shí)際情況中目標(biāo)允許的最差解，選擇伸縮指標(biāo)。理想點(diǎn)、悲觀點(diǎn)和伸縮指標(biāo)如表3所示。

根據(jù)表3數(shù)值和式（10）～式（13），使用 Hyper－Math編寫目標(biāo)函數(shù)和所需參數(shù)的表達(dá)式，將Hyper Math函數(shù)作為Optistruct進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的外部響應(yīng)。在迭代過程中零件的材料分布變化如圖3所示，材料分布不斷得到優(yōu)化，最終得到如圖3c所示的拓?fù)湫螤睢?/p>

表3 選擇各個(gè)期望值和伸縮指標(biāo)

圖3 迭代過程中材料分布變化

優(yōu)化過程中規(guī)劃目標(biāo)和各個(gè)子目標(biāo)的迭代曲線如圖4所示。規(guī)劃目標(biāo)和各個(gè)子目標(biāo)都能很快達(dá)到收斂，各個(gè)子目標(biāo)都在模糊集內(nèi)，且有較好滿意度。

圖4 拓?fù)鋬?yōu)化過程中各個(gè)目標(biāo)的迭代曲線

根據(jù)最終優(yōu)化的拓?fù)湫螤睿▓D3c），在Pro／E中重新建模，得到如圖5所示的發(fā)動(dòng)機(jī)右上支架新設(shè)計(jì)模型。

圖5 發(fā)動(dòng)機(jī)右上中支架新模型

2．3 新零件的分析驗(yàn)證

對(duì)新零件進(jìn)行分析，得到第一階模態(tài)為704 Hz，比優(yōu)化前的增加了32．4 Hz。

通過拓?fù)鋬?yōu)化使得零件的剛度和動(dòng)態(tài)性能都得到了改善，并且減少了零件的質(zhì)量，拓?fù)鋬?yōu)化前后比較如表4所示。優(yōu)化后的新零件比原始零件的應(yīng)力減少了47．1%，質(zhì)量減少了7．9%

表4 優(yōu)化前后的比較

3 結(jié)束語(yǔ)

模糊理論與加權(quán)平方和法結(jié)合的基于模糊滿意度的變權(quán)重多目標(biāo)規(guī)劃方法，可以很好地求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，通過改變權(quán)重在計(jì)算中優(yōu)先優(yōu)化那些遠(yuǎn)離模糊集的目標(biāo)，并且使得優(yōu)化的各個(gè)目標(biāo)的模糊滿意度盡量大，使優(yōu)化后得到的目標(biāo)值更靠近理想點(diǎn)。另外，通過模糊滿意度可以控制優(yōu)化的各個(gè)目標(biāo)值都在自己期望的范圍之內(nèi)。最后，使用該方法對(duì)一個(gè)汽車零件結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化，使得零件在各個(gè)工況下的應(yīng)力滿足要求，應(yīng)力分布更加均勻，同時(shí)提高了零件一階模態(tài)，使得零件具有了更好的動(dòng)態(tài)性能。

［1］ 周克明，李俊峰，李 霞．結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究方法綜述［J］．力學(xué)進(jìn)展，2005，35（1）：69－76．

［2］ 洪清泉，趙 康，張 攀．OptiStruct ＆ HyperStudy理論基礎(chǔ)與工程應(yīng)用［M］．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012．

［3］ 朱劍鋒，林 逸，陳瀟凱，等．汽車變速箱殼體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［J］．吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2013，42（3）：584－589．

［4］ Kaya N，Karen，ztürk F．Re－design of a failed clutch fork using topology and shape optimization by the response surface method［J］．Materials and Design，2010，31（6）：3008－3014．

［5］ Kilian S，Zander U，Talke F E．Suspension modeling and optimization using finite element analysis［J］．Tribology International，2003，36（4）：317－324．

［6］ 孫曉輝，丁曉紅．結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［J］．機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2012，28（4）：1－4．

［7］ 范文杰，范子杰，蘇瑞意．汽車車架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法研究［J］．中國(guó)機(jī)械工程，2008，19（12）：1505－1508．

［8］ 耿玉磊，張 翔．多目標(biāo)優(yōu)化的求解方法與發(fā)展［A］．福建省科協(xié)第四屆學(xué)術(shù)年會(huì)——提升福建制造業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力的戰(zhàn)略思考專題學(xué)術(shù)年會(huì)論文集［C］．2004．109－112．

［9］ 高濟(jì)眾，呂新生．交互式滿意協(xié)調(diào)法——一種多目標(biāo)優(yōu)化方法［J］．合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1989，12（2）：32－39．

［10］ Luo Z，Chen L P，Yang J，et al．Fuzzy tolerance multilevel approach for structural topology optimization［J］．Computers and Structures，2006，84（3）：127－140．