因物理公式中物理量的物理意義產(chǎn)生的悖論

龍輝

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教學中，特別是講公式的推導過程，教師在講臺上不遺余力的推導公式和推論，這是舍本求末的做法。公式的推導過程是數(shù)學教師的任務，我們應更關(guān)注公式中各個物理量的物理意義。只要認清公式和推論中的各個物理量的物理意義，結(jié)合數(shù)學知識，物理教學會更簡單有趣，學生學習也會更輕松。

【例1】關(guān)于伏安特性曲線斜率。

分析：1.如圖1所示，當導體為線性元件時，其伏安特性是一條過原點的直線，其斜率為K===，這時斜率在數(shù)值上等于電阻的倒數(shù)。但求斜率時不能用斜率的正切來求，因物理圖線的坐標軸是含有物理意義的，其單位長度可以表達大小不同的物理量。

2.如圖2所示，當導體為非線性元件時，其伏安特性是一條過原點的曲線，這時候曲線上某點的斜率在數(shù)值上還等于電阻的倒數(shù)嗎？我們看看這時的表達為K==（這是一個微分表達式），只能說這是一個微分電阻的倒數(shù)，而不再是。但是OP這一條過原點的直線的斜率的倒數(shù)在數(shù)值上才等于這一狀態(tài)下的電阻值。

【例2】用電壓表和電流表測電源的電動勢和內(nèi)阻的實驗，分析電流表外接和內(nèi)接兩種情況下電動勢的測量值與真實值，電源內(nèi)阻的測量值與真實值間的關(guān)系。

分析：不考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

聯(lián)立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'為測量值）

1.若采用圖1電路時，考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

聯(lián)立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和為真實值）

比較可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用圖2電路時，考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

聯(lián)立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用數(shù)學計算太繁瑣，如果用物理意義和圖像配合就很簡潔了。對于一個閉合電路，端電壓和干路電流的關(guān)系曲線與縱軸的交點U=E，曲線的斜率數(shù)值為電源的內(nèi)阻，下面圖1、圖2中的虛線表示待測電源組成的閉合回路的真實的U-I曲線。

分析：圖1所示的電路，電流表測的是干路電流，而電壓表測的電壓比實際的路端電壓小，故而對同一I值，測量電壓小于真實的路端電壓，做出圖線如圖3的實線和虛線，由圖可得：E'=E，r

圖2所示的電路，電壓表測的確實的路端電壓，而電流表測的電流小于實際的干路電流，當短路時電流表測的電流才等于干路電流。這時電壓表的分流對干路電流無影響，即橫軸截距相等，故而對同一U值，電流表測的電流小于實際的干路電流，作出圖線如圖4的實線和虛線，由圖可知：E'

【例3】關(guān)于萬有引力的公式F=G

分析：1.如圖1所示，萬有引力公式F=G表達的是兩個質(zhì)點間的作用力。

2.如圖2所示，當物體靠近地球，甚至通過隧道到達地心。物體與地球間的萬有引力如何變化呢？按照公式函數(shù)的變化，r無窮減小，F(xiàn)將達到無窮大。而正確的是先變大后變小，如果把地球看成勻質(zhì)的話，到地心是它們之間作用力為零。錯誤的原因歸于對公式的物理意義理解不透徹，當物體靠的很近時，這個公式F=G違背了它存在的條件。這個公式已經(jīng)不能再用。

【例4】關(guān)于用單擺測重力加速度的實驗

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上圖知：圖2、圖3是圖線沿x軸向右移b或圖線沿x軸向左移b所得。

2.對于用單擺測重力加速度的實驗中，根據(jù)實驗原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是擺長，L=l+，l是擺線長，d是小球的直徑）。測量多組周期和擺長的數(shù)據(jù)作圖，得圖4。有些粗心的同學把漏加了小球半徑，根據(jù)數(shù)據(jù)作圖得圖5。也有些粗心的同學把加半徑加成了直徑，根據(jù)數(shù)據(jù)作圖得圖6。

分析：（1）根據(jù)函數(shù)關(guān)系有：T2=，T2=，只要圖線向右移或向左移就可以得到。

（2）從物理意義上：圖5中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻為負值。說明小球半徑未加上去。同理，圖6中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻還有周期。這說明加小球半徑加成了直徑。

（責任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教學中，特別是講公式的推導過程，教師在講臺上不遺余力的推導公式和推論，這是舍本求末的做法。公式的推導過程是數(shù)學教師的任務，我們應更關(guān)注公式中各個物理量的物理意義。只要認清公式和推論中的各個物理量的物理意義，結(jié)合數(shù)學知識，物理教學會更簡單有趣，學生學習也會更輕松。

【例1】關(guān)于伏安特性曲線斜率。

分析：1.如圖1所示，當導體為線性元件時，其伏安特性是一條過原點的直線，其斜率為K===，這時斜率在數(shù)值上等于電阻的倒數(shù)。但求斜率時不能用斜率的正切來求，因物理圖線的坐標軸是含有物理意義的，其單位長度可以表達大小不同的物理量。

2.如圖2所示，當導體為非線性元件時，其伏安特性是一條過原點的曲線，這時候曲線上某點的斜率在數(shù)值上還等于電阻的倒數(shù)嗎？我們看看這時的表達為K==（這是一個微分表達式），只能說這是一個微分電阻的倒數(shù)，而不再是。但是OP這一條過原點的直線的斜率的倒數(shù)在數(shù)值上才等于這一狀態(tài)下的電阻值。

【例2】用電壓表和電流表測電源的電動勢和內(nèi)阻的實驗，分析電流表外接和內(nèi)接兩種情況下電動勢的測量值與真實值，電源內(nèi)阻的測量值與真實值間的關(guān)系。

分析：不考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

聯(lián)立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'為測量值）

1.若采用圖1電路時，考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

聯(lián)立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和為真實值）

比較可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用圖2電路時，考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

聯(lián)立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用數(shù)學計算太繁瑣，如果用物理意義和圖像配合就很簡潔了。對于一個閉合電路，端電壓和干路電流的關(guān)系曲線與縱軸的交點U=E，曲線的斜率數(shù)值為電源的內(nèi)阻，下面圖1、圖2中的虛線表示待測電源組成的閉合回路的真實的U-I曲線。

分析：圖1所示的電路，電流表測的是干路電流，而電壓表測的電壓比實際的路端電壓小，故而對同一I值，測量電壓小于真實的路端電壓，做出圖線如圖3的實線和虛線，由圖可得：E'=E，r

圖2所示的電路，電壓表測的確實的路端電壓，而電流表測的電流小于實際的干路電流，當短路時電流表測的電流才等于干路電流。這時電壓表的分流對干路電流無影響，即橫軸截距相等，故而對同一U值，電流表測的電流小于實際的干路電流，作出圖線如圖4的實線和虛線，由圖可知：E'

【例3】關(guān)于萬有引力的公式F=G

分析：1.如圖1所示，萬有引力公式F=G表達的是兩個質(zhì)點間的作用力。

2.如圖2所示，當物體靠近地球，甚至通過隧道到達地心。物體與地球間的萬有引力如何變化呢？按照公式函數(shù)的變化，r無窮減小，F(xiàn)將達到無窮大。而正確的是先變大后變小，如果把地球看成勻質(zhì)的話，到地心是它們之間作用力為零。錯誤的原因歸于對公式的物理意義理解不透徹，當物體靠的很近時，這個公式F=G違背了它存在的條件。這個公式已經(jīng)不能再用。

【例4】關(guān)于用單擺測重力加速度的實驗

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上圖知：圖2、圖3是圖線沿x軸向右移b或圖線沿x軸向左移b所得。

2.對于用單擺測重力加速度的實驗中，根據(jù)實驗原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是擺長，L=l+，l是擺線長，d是小球的直徑）。測量多組周期和擺長的數(shù)據(jù)作圖，得圖4。有些粗心的同學把漏加了小球半徑，根據(jù)數(shù)據(jù)作圖得圖5。也有些粗心的同學把加半徑加成了直徑，根據(jù)數(shù)據(jù)作圖得圖6。

分析：（1）根據(jù)函數(shù)關(guān)系有：T2=，T2=，只要圖線向右移或向左移就可以得到。

（2）從物理意義上：圖5中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻為負值。說明小球半徑未加上去。同理，圖6中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻還有周期。這說明加小球半徑加成了直徑。

（責任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教學中，特別是講公式的推導過程，教師在講臺上不遺余力的推導公式和推論，這是舍本求末的做法。公式的推導過程是數(shù)學教師的任務，我們應更關(guān)注公式中各個物理量的物理意義。只要認清公式和推論中的各個物理量的物理意義，結(jié)合數(shù)學知識，物理教學會更簡單有趣，學生學習也會更輕松。

【例1】關(guān)于伏安特性曲線斜率。

分析：1.如圖1所示，當導體為線性元件時，其伏安特性是一條過原點的直線，其斜率為K===，這時斜率在數(shù)值上等于電阻的倒數(shù)。但求斜率時不能用斜率的正切來求，因物理圖線的坐標軸是含有物理意義的，其單位長度可以表達大小不同的物理量。

2.如圖2所示，當導體為非線性元件時，其伏安特性是一條過原點的曲線，這時候曲線上某點的斜率在數(shù)值上還等于電阻的倒數(shù)嗎？我們看看這時的表達為K==（這是一個微分表達式），只能說這是一個微分電阻的倒數(shù)，而不再是。但是OP這一條過原點的直線的斜率的倒數(shù)在數(shù)值上才等于這一狀態(tài)下的電阻值。

【例2】用電壓表和電流表測電源的電動勢和內(nèi)阻的實驗，分析電流表外接和內(nèi)接兩種情況下電動勢的測量值與真實值，電源內(nèi)阻的測量值與真實值間的關(guān)系。

分析：不考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

聯(lián)立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'為測量值）

1.若采用圖1電路時，考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

聯(lián)立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和為真實值）

比較可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用圖2電路時，考慮電流表和電壓表的內(nèi)阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

聯(lián)立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用數(shù)學計算太繁瑣，如果用物理意義和圖像配合就很簡潔了。對于一個閉合電路，端電壓和干路電流的關(guān)系曲線與縱軸的交點U=E，曲線的斜率數(shù)值為電源的內(nèi)阻，下面圖1、圖2中的虛線表示待測電源組成的閉合回路的真實的U-I曲線。

分析：圖1所示的電路，電流表測的是干路電流，而電壓表測的電壓比實際的路端電壓小，故而對同一I值，測量電壓小于真實的路端電壓，做出圖線如圖3的實線和虛線，由圖可得：E'=E，r

圖2所示的電路，電壓表測的確實的路端電壓，而電流表測的電流小于實際的干路電流，當短路時電流表測的電流才等于干路電流。這時電壓表的分流對干路電流無影響，即橫軸截距相等，故而對同一U值，電流表測的電流小于實際的干路電流，作出圖線如圖4的實線和虛線，由圖可知：E'

【例3】關(guān)于萬有引力的公式F=G

分析：1.如圖1所示，萬有引力公式F=G表達的是兩個質(zhì)點間的作用力。

2.如圖2所示，當物體靠近地球，甚至通過隧道到達地心。物體與地球間的萬有引力如何變化呢？按照公式函數(shù)的變化，r無窮減小，F(xiàn)將達到無窮大。而正確的是先變大后變小，如果把地球看成勻質(zhì)的話，到地心是它們之間作用力為零。錯誤的原因歸于對公式的物理意義理解不透徹，當物體靠的很近時，這個公式F=G違背了它存在的條件。這個公式已經(jīng)不能再用。

【例4】關(guān)于用單擺測重力加速度的實驗

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上圖知：圖2、圖3是圖線沿x軸向右移b或圖線沿x軸向左移b所得。

2.對于用單擺測重力加速度的實驗中，根據(jù)實驗原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是擺長，L=l+，l是擺線長，d是小球的直徑）。測量多組周期和擺長的數(shù)據(jù)作圖，得圖4。有些粗心的同學把漏加了小球半徑，根據(jù)數(shù)據(jù)作圖得圖5。也有些粗心的同學把加半徑加成了直徑，根據(jù)數(shù)據(jù)作圖得圖6。

分析：（1）根據(jù)函數(shù)關(guān)系有：T2=，T2=，只要圖線向右移或向左移就可以得到。

（2）從物理意義上：圖5中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻為負值。說明小球半徑未加上去。同理，圖6中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻還有周期。這說明加小球半徑加成了直徑。

（責任編輯 劉 馨）