連續(xù)觀測系統(tǒng)平差模型與有色噪聲補償

薛樹強,楊元喜

1．長安大學(xué)地測學(xué)院,陜西西安 710054;2．中國測繪科學(xué)研究院,北京 100830;3．西安測繪研究所地理空間信息工程國家重點實驗室,陜西西安 710054

連續(xù)觀測系統(tǒng)平差模型與有色噪聲補償

薛樹強1,2,楊元喜3

1．長安大學(xué)地測學(xué)院,陜西西安 710054;2．中國測繪科學(xué)研究院,北京 100830;3．西安測繪研究所地理空間信息工程國家重點實驗室,陜西西安 710054

討論連續(xù)平差模型及最小二乘解。將有限維空間中的測量平差問題推廣至無窮維空間,從信號分析角度討論觀測有色噪聲的消除方法。研究表明,連續(xù)觀測方程的最小二乘解可由經(jīng)典最小二乘解的極限導(dǎo)出;有色噪聲對解的影響是系統(tǒng)性的,然而通過合理的觀測方案設(shè)計可以實現(xiàn)參數(shù)的無偏估計。

測量平差;連續(xù)觀測;最小二乘;有色噪聲;Hilbert空間

1 引 言

在誤差理論中,一般將測量誤差分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差和粗差,測量平差的研究對象多限于隨機誤差。包括有色噪聲在內(nèi)的各類系統(tǒng)誤差處理是測量上的棘手問題之一,困難在于它既有系統(tǒng)性(某種規(guī)律性),又有隨機性[1]。若將有色噪聲視為一種隨機過程,則可通過其“延續(xù)性”對其進行數(shù)學(xué)處理,同時也可討論有色噪聲對平差的影響[1-2]。文獻[3]從導(dǎo)航定位觀測量角度,論述了各種誤差的區(qū)別、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,特別指出有色噪聲是隨時間變化而有規(guī)律變化的誤差,觀測時間越長有色噪聲的影響一般越大。

連續(xù)觀測是現(xiàn)代測量技術(shù)的重要特點之一, 如GNSS衛(wèi)星與地面連續(xù)觀測站形成一個空間連續(xù)觀測網(wǎng)絡(luò)。利用時間序列分析和隨機過程理論可以實現(xiàn)連續(xù)觀測數(shù)據(jù)的噪聲補償和信息挖掘,如利用GNSS連續(xù)觀測信息可提取對流層、電離層、地殼運動、地心運動等時變信號。在系統(tǒng)觀測方案制定階段,需要討論有色噪聲的抵償方法,在測量數(shù)據(jù)平差階段則需要考慮有色噪聲的建模補償方法[1-2]。

連續(xù)觀測系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計、觀測結(jié)構(gòu)分析與參數(shù)估計等離不開近代數(shù)學(xué)分析的支撐。在數(shù)學(xué)分析中,Hilbert空間是歐氏空間向無窮維空間的推廣,其研究對象是函數(shù)空間[4],是傅里葉分析和小波分析的理論框架。自20世紀(jì)50年代以來,利用Hilbert空間理論框架對測量平差問題進行了大量有益的探討。這些研究通過將歐氏空間幾何學(xué)理論和泛函分析思想引入測量平差,簡化了有關(guān)公式的推導(dǎo),揭示了測量平差問題的實質(zhì)[5-10]?；贖ilbert空間的傅里葉分析和小波分析在測量信號處理中也得到了非常廣泛的應(yīng)用[11-13]。

連續(xù)觀測系統(tǒng)的平差一般在特定采樣率下進行討論,并將問題置于歐氏空間(有限維Hilbert空間)中研究。在動態(tài)測量系統(tǒng)平差方面,卡爾曼濾波也通?；陔x散時間內(nèi)分析其性能[2,14]。表面上,可能會簡化問題的復(fù)雜性,但是卻可能掩蓋連續(xù)觀測系統(tǒng)平差的實質(zhì)。不同的是,文獻[15]提出了將積分多普勒定位的離散型誤差方程組改化為分區(qū)間連續(xù)型的方法。

本文基于附加有色噪聲的連續(xù)平差模型,從積分的定義和經(jīng)典最小二乘解出發(fā),探討有限維測量平差問題向無窮維空間推廣的方法?；贖ilbert空間理論,提出了連續(xù)平差模型;從經(jīng)典最小二乘解出發(fā),導(dǎo)出矛盾連續(xù)觀測方程的最小二乘解,其解的嚴密性由連續(xù)平差模型的正交條件給出;討論了連續(xù)平差模型參數(shù)無偏估計應(yīng)滿足的條件;以連續(xù)定位系統(tǒng)為例討論了連續(xù)平差模型的求解方法和有色噪聲的消除策略。

2 連續(xù)函數(shù)空間和連續(xù)平差模型

2．1 函數(shù)空間的基函數(shù)由上述內(nèi)積所定義的無窮維空間常代之以Hilbert空間。形象的,Hilbert空間是無窮維歐氏空間。令g(t)＝f(t),則由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)為

2．2 連續(xù)觀測系統(tǒng)的平差模型

從信號處理角度,有色噪聲泛指各種低頻觀測誤差。在動態(tài)測量系統(tǒng)中,觀測方程連續(xù)依賴于觀測時間,一般存在大量有色噪聲。若要揭示這些連續(xù)觀測系統(tǒng)的平差實質(zhì),可將這些問題置于函數(shù)空間中進行討論。從觀測信息中提取這些低頻信號所用的基函數(shù)選取較為靈活,既可選用正交基函數(shù)(如三角函數(shù)、小波函數(shù)等),也可選取非正交基函數(shù)。而在測量平差中,基函數(shù)一般由觀測方程的函數(shù)模型所唯一確定。本文將由基函數(shù)f(t)＝f1(t)f2(t)…fm(t) [

]和參數(shù)x＝[x1x2…xm]T∈Rm所構(gòu)成的方程

為連續(xù)觀測方程。式中,l(t)∈L2(a,b)為連續(xù)觀測值;~l(t)∈L2(a,b)為連續(xù)觀測真值;ε(t)∈L2(a,b)為連續(xù)觀測高斯白噪聲;Δ(t)∈L2(a,b)為有色噪聲。若將有色噪聲歸為隨機模型,則需要構(gòu)建基于有色噪聲的觀測方差協(xié)方差模型,并需要討論如何實現(xiàn)平差解的無偏性,若將其歸為函數(shù)模型,則需要使用有色噪聲經(jīng)驗函數(shù)模型進行改正,或者對有色噪聲信號進行參數(shù)估計。若無有色噪聲先驗函數(shù),可使用低頻三角函數(shù)、小波函數(shù)等對其進行模擬[17]。

3 矛盾連續(xù)觀測方程的最小二乘解

對于有限維Hilbert空間(歐氏空間)中的最小二乘問題Ax＝l,因觀測誤差存在導(dǎo)致觀測向量l?R(A)＝y(tǒng)|y＝Ax,x∈Rm{

}[6-8],其中,R(A)為系數(shù)矩陣A的列向量所確定的值域空間(子空間、子流形)[6,18-19]。類似于有限維平差,若

可見,矛盾連續(xù)觀測方程的最小二乘解可由經(jīng)典最小二乘解的極限導(dǎo)出,且其形式與有限維空間中的經(jīng)典最小二乘解十分類似。然而,連續(xù)平差模型(3)及其最小二乘解建立在信號分析的基礎(chǔ)上,這為討論連續(xù)觀測中各類信號的提取和有色噪聲的消除提供了方便?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)分析常將這類問題的解稱為Hilbert空間中的最佳逼近元,并由正交投影定理導(dǎo)出[4]。

式(14)即為觀測函數(shù)l(t)的傅里葉分析?？梢?連續(xù)平差模型(3)及最小二乘解(11)是傅里葉分析的一種推廣,即空間基函數(shù)f(t)從正交基向非正交基的一種推廣。

4 有色噪聲對平差解的影響分析

下面討論白噪聲和有色噪聲對平差解的影響。方便起見,記N＝〈f(t),f(t)〉、U＝〈f(t),l(t)〉,則

時,參數(shù)估計才是無偏的,即Δx＝0。

可見,當(dāng)存在有色噪聲時,連續(xù)平差模型的最小二乘解一般是有偏的。式(22)給出最小二乘解的無偏估計條件,即有色噪聲函數(shù)正交于基函數(shù)。高頻白噪聲一般認為正交于基函數(shù),故通過連續(xù)觀測可以削弱。連續(xù)觀測應(yīng)盡量覆蓋所有有色噪聲的最大周期。對于低頻有色噪聲,則需長時間觀測或模型改正。該結(jié)論也同樣適用于觀測誤差(殘差)的傅里葉分析。

5 算例分析

如圖1所示,構(gòu)造一個二維連續(xù)測距定位系統(tǒng):控制點圍繞坐標(biāo)原點p以角速度ω＝1作勻速圓周運動(圓周半徑為100),控制點在t0＝0時刻通過x軸,在t1時刻停止觀測?？刂泣c坐標(biāo)可參數(shù)化為

圖1 連續(xù)定位構(gòu)型[21]Fig．1 Continuous configuration of positioning[21]

使用正弦函數(shù)sin(2t)模擬有色噪聲,則可將距離觀測方程表示為

此時,參數(shù)估計無系統(tǒng)偏差。

事實上,只要觀測時長不等于2π的整數(shù)倍,理論上Δ^x∞≠0,即有色噪聲不可能得到補償,參數(shù)估計不滿足無偏估計條件。由此不難理解, GNSS高精度定位觀測方案觀測時間長一般采用GNSS衛(wèi)星運動的整數(shù)周期是十分合理的,否則應(yīng)考慮使用更多的有色噪聲改正模型。

5．2 方案2:離散平差模型

設(shè)式(24)中的觀測白噪聲服從均值為零、方差為0．01的正態(tài)分布,即ε(t)～N(0,0．01),分別在觀測區(qū)間[0,π/2]、[0,π]和[0,2π]上的0．1 s均勻采樣觀測進行最小二乘參數(shù)估計,并考察有色噪聲對參數(shù)估計的影響。計算結(jié)果表明,方案1和方案2的最小二乘估值十分接近,當(dāng)在區(qū)間[0,π/2]和[0,π]進行均勻采樣時,離散最小二乘解為有偏估計量,僅當(dāng)在觀測區(qū)間[0,2π]進行均勻采樣時,離散最小二乘解為無偏估計量。

若進一步將采樣間隔提高為0．01 s,則方案1和方案2的結(jié)果將趨于一致。這驗證了式(9)、式(10)和式(11)的合理性,即連續(xù)平差模型的最小二乘解是經(jīng)典離散最小二乘解的極限情形。在實踐中,若基于動態(tài)控制點的參數(shù)方程(如GNSS衛(wèi)星軌道),將用戶采樣觀測改化為連續(xù)觀測信號(如傅里葉分析法),則可有望利用本文提出的連續(xù)平差模型進行平差。

6 結(jié) 論

(1)本文提出的連續(xù)平差模型是經(jīng)典測量平差模型向無窮維空間的一種推廣。連續(xù)平差模型的最小二乘解是經(jīng)典離散最小二乘解的極限。經(jīng)典測量平差的許多結(jié)論對于連續(xù)平差模型也是成立的。

(2)當(dāng)連續(xù)平差模型的基函數(shù)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基時,連續(xù)觀測方程平差退化為觀測信號的傅里葉分析。

(3)通過合理的觀測系統(tǒng)設(shè)計和采樣設(shè)計,可消除有色噪聲,從而實現(xiàn)平差解的無偏估計。有色噪聲函數(shù)正交于連續(xù)平差模型的基函數(shù),是消除有色噪聲的前提條件。

(4)提高系統(tǒng)的采樣頻率只能消除觀測高頻噪聲,有色噪聲的消除取決于連續(xù)觀測系統(tǒng)的重復(fù)觀測周期和觀測時長。最佳觀測時長應(yīng)覆蓋有色噪聲的整數(shù)周期,而并非采樣時間越長越好。

(5)在測量中,許多觀測模型為連續(xù)數(shù)學(xué)模型,對這些模型進行采樣不但增加計算成本,而且會損失精度。若使用傅里葉分析將離散實測數(shù)據(jù)消噪后建立連續(xù)觀測函數(shù),并建立連續(xù)觀測平差模型,則有望簡化計算。

[1] ZHOU Jiangwen．Mathematical Processing of Problems with Systematic Errors[J]．Engineering of Surveying and Mapping,1999,8(2):1-4．(周江文．系統(tǒng)誤差的數(shù)學(xué)處理[J]．測繪工程,1999,8(2):1-4．)

[2] YANG Yuanxi,CUI Xianqiang．Influence Functions of Colored Noises on Kinematic Positioning:Taking the AR Model of First Class as an Example[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2003,32(1):6-10．(楊元喜,崔先強．動態(tài)定位有色噪聲影響函數(shù):以一階AR模型為例[J]．測繪學(xué)報,2003,32(1):6-10．)

[3] YANG Yuanxi．Some Notes on Uncertainty:Uncertainty Measure and Accuracy in Satellite Navigation[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2012,41(5):646-650．(楊元喜．衛(wèi)星導(dǎo)航的不確定性、不確定度與精度若干注記[J]．測繪學(xué)報,2012,41(5):646-650．)

[4] HUANG Zhenyou,YANG Jianxin,HUA Tahong,et al．Functional Analysis[M]．Beijing:Science Press,2003．(黃振友,楊建新,華踏紅,等．泛函分析[M]．北京:科學(xué)出版社,2003．)

[5] ZENG Linghou．Applications of Functional Analysis Method in Adjustment:Basic Theory[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,1962,5(3):176-183．(曾令候．泛函方法在測量平差中的應(yīng)用:基本理論[J]．測繪學(xué)報, 1962,5(3):176-183．)

[6] YANG Yuanxi．Funcutional Analysis and Its Applications to Least Squares Adjustment[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,1986,15(2):110-114．(楊元喜．泛函分析在最小二乘平差中的應(yīng)用[J]．測繪學(xué)報,1986,15 (2):110-114．)

[7] DANGSongshi．Some Problems on the Adjustment in Surveying [J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,1983,12 (3):208-213．(黨誦詩．關(guān)于測量平差中的幾個問題[J]．測繪學(xué)報,1983,12(3):208-13．)

[8] ZHU Yonggang,BAI Yitong．Study of the Mathematical Structure of Adjustment Computation Based upon the Theory of Functional Analysis[J]．Geomatics and Information Science of Wuhan University,1985,29(4): 50-56．(祝永剛,白億同．按泛函分析理論來剖析平差計算中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[J]．武漢大學(xué)學(xué)報:信息科學(xué)版,1985, 29(4):50-56．)

[9] TEUNISSEN P J G．Adjustment Theory:An Introduction [M]．1st ed．Delft:Delft University Press,2000: 168-173．

[10] GRAFAREND E W．Linear and Nonlinear Models:Fixed Effects,Random Effects,and Mixed Models[M]．Berlin: Walter de Gruyter,2006:86-97．

[11] WANG Ke,XIAO Pengfeng,FENG Xuezhi,et al．The Modified Algorithm of Image Edege Features Detection from Phase Congruency Model Based on 2-D Hilbert Transformt[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2012,41(3):421-427．(王珂,肖鵬峰,馮學(xué)智,等．基于改進二維離散希爾伯特變換的圖像邊緣檢測方法[J]．測繪學(xué)報,2012,41(3):421-427．)

[12] TAN Kun,DU Peijun．Wavelet Support Vector Machines Based on Reproducing Kernel Hilbert Space for Hyperspectral Remote Sensing Image Classification[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2011,40(2):142-147．(譚琨,杜培軍．基于再生核Hilbert空間小波核函數(shù)支持向量機的高光譜遙感影像分類[J]．測繪學(xué)報,2011, 40(2):142-147．)

[13] LI Xinwu,GUO Huadong,LIAO Jingjuan,et al．Baseline Estimation of Interferometric SAR Based on Fast Fourier Transform[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2003,32(1):70-72．(李新武,郭華東,廖靜娟,等．基于快速傅里葉變換的干涉SAR基線估計[J]．測繪學(xué)報, 2003,32(1):70-72．)

[14] LIU Dajie,YU Zhenglin．Dynamic Surveying System and Kalman Filter[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,1988,17(4):254-262．(劉大杰,于正林．動態(tài)測量系統(tǒng)與卡爾曼濾波[J]．測繪學(xué)報,1988,17(4): 254-262．)

[15] WANG Jiazhen．A Solution of Doppler Single Point Positioning by Fitting Free Terns[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,1988,17(1):9-20．(汪嘉禎．?dāng)M合自由項解算多普勒單點定位[J]．測繪學(xué)報,1988,17(1):9-20．)

[16] COURANT R,HILBERT D．Methods of Mathematical Physics [M]．New York:John Wiley&Sons,1989．

[17] CHEN Yongqi,WU Zian,WU Zhongru．Deformation Monitoring Analysis and Forecasting[M]．Beijing:Surveying and Mapping Press,1981:136-148．(陳永奇,吳子安,吳中如．變形監(jiān)測分析與預(yù)報[M]．北京:測繪出版社,1998: 136-148．)

[18] XUE Shuqiang,DANG Yamin,CHEN Wu．Matrix Volume Method of the Mean Square Deviation Computation of Least Square Solution[J]．Geomatics and Information Science of Wuhan University,2009,34(9):1106-1119．(薛樹強,黨亞民,陳武．最小二乘估值均方差計算的矩陣體積法[J]．武漢大學(xué)學(xué)報:信息科學(xué)版,2009,34(9): 1106-1119．)

[19] XUE Shuqiang．Matrix Volume and Its Applications in Network Design[D]．Beijing:Chinese Academy of Surveying and Mapping,2007．(薛樹強．矩陣體積及其在網(wǎng)形設(shè)計中的應(yīng)用[D]．北京:中國測繪科學(xué)研究院,2007．)

[20] SERRE D．Matrices:Theory and Applications[M]．2nd ed．New York:Springer,2010．

[21] XUE S Q,YANG Y X,DANG Y M,et al．Dynamic Positioning Configuration and Its First-order Optimization[J]． Journal of Geodesy,2014,88(2):127-143．

(責(zé)任編輯:叢樹平)

Adjustment Model and Colored Noise Compensation of Continuous Observation System

XUE Shuqiang1,2,YANG Yuanxi3
1．School of Geological and Surveying Engineering,Chang’an University,Xi’an 710054,China;2．Chinese Academy of Surveying and Mapping,Beijing 100830,China;3．National Key Laboratory of Geo-spatial Information, Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China

The affection caused by the colored noises should be taken into account to the adjustment model．As useful signals,these colored noises should be accurately identified and extracted by Fourier analysis．A continuous adjustment model is introduced with respect to the colored noises,and then it can be generalized that the traditional adjustment theory from the finite space to the infinite space so called as Hilbert space．This extension is to provide a new technique to perform the continuous observational system design,Fourier analysis as well as the parameter estimation．It shows that the Gramer's determinant provides maximization criteria in the system optimization design as well as a rule in diagnosing the adjustment model．Related with the definition of the integral,the least squares solution of the continuous adjustment model becomes the limit of the traditional least squares solution in finite space．Moreover,the influence caused by the colored noises is systematic,but it can be eliminated or compensated by optimally designing the observational system．

adjustment;continuous observation;least squares;colored noise;Hilbert space

XUE Shuqiang(1980—),male,PhD candidate,majors in error theory and adjustment．

P207

A

1001-1595(2014)04-0360-06

2013-02-01

薛樹強(1980—),男,博士生,研究方向為誤差理論與測量平差研究。

E-mail:xuesq＠casm．a(chǎn)c．cn

XUE Shuqiang,YANG Yuanxi．Adjustment Model and Colored Noise Compensation of Continuous Observation System[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(4):360-365．(薛樹強,楊元喜．連續(xù)觀測系統(tǒng)平差模型與有色噪聲補償[J]．測繪學(xué)報, 2014,43(4):360-365．)

10．13485/j．cnki．11-2089．2014．0054

國家自然科學(xué)基金(41020144004;41104018);國家863計劃(2009AA121405);國家科技支撐計劃(2012BAB16B01)

修回日期:2013-08-19