一類具有兩個邊界層現(xiàn)象的奇攝動邊值問題

葉珊珊，陳懷軍

（安徽師范大學 數(shù)學計算機科學學院，安徽 蕪湖 241000）

奇攝動邊值問題的一個顯著特征是小參數(shù)與最高階導數(shù)相乘，使得因變量在越過一個非常窄的區(qū)域時經(jīng)受急劇的變化，并且這些窄的區(qū)域常常毗連感興趣區(qū)域的邊界，通常稱它們?yōu)檫吔鐚?處理邊界層問題的方法有很多，其中包括：匹配漸近展開法、合成展開法以及多尺度方法［1－5］.例如在奇攝動邊值問題［5］.

當A，B為正常數(shù)時，退化方程y2＝0不滿足其中任何一個邊界條件，故在區(qū)間［0，1］兩端各有一個邊界層.利用匹配漸近展開法，需要在x＝0和x＝1附近將邊界層放大，通過引進適當?shù)纳煺棺儞Q分別求出內(nèi)展開式，然后按照匹配原則將內(nèi)展開式與外展開式進行匹配，得到在整個區(qū)間上一致有效的復合展開式.

本文考慮如下形式的奇攝動二階半線性邊值問題

其中ε＞0是小參數(shù)，n≥2為正整數(shù)，f（x）在區(qū)間［0，1］上連續(xù)且f（x）＞0，A和B為確定的正常數(shù).先分析在區(qū)間［0，1］兩端可能出現(xiàn)邊界層現(xiàn)象的條件，利用直接匹配法（即Prandtl匹配原則）構(gòu)造出在整個區(qū)間上一致有效的復合展開式，得到該問題具有邊界層性質(zhì)的近似解.所做工作推廣了文獻［5］的結(jié)果.

1 主要結(jié)果

方程（1）中小參數(shù)與最高階導數(shù)相乘，退化方程為

因為f（x）＞0，A，B為正常數(shù)，退化方程（3）不滿足（2）中任何一個邊界條件，故在區(qū)間［0，1］兩端各有一個邊界層.我們先來尋找形式為

的外展開式.將（4）代入方程（1），并比較εo的系數(shù)，得y0（x）＝0，因此外部解yo～0.

其特異極限對應(yīng)于λ＝1，上式寫為

設(shè)

將（6）代入（5）和邊界條件（2）的第一式，并比較εo的系數(shù)得

分離變量并積分得

其特異極限對應(yīng)于α＝1，上式寫為

設(shè)yI＝（ζ）＋L將它代入（10）和邊界條件（2）的第二式，并比較εo的系數(shù)得

因為

仍根據(jù)Prandtl匹配原則得到

. 于是類似上面的討論可得

最后把內(nèi)、外兩展開式相加并減去其公共部分，便構(gòu)成復合展開式的零次近似yc＝y(tǒng)o＋yi＋yI－（yi）o－（yI）o，即

下面我們利用所得結(jié)果考慮兩個特殊情形.

Ⅰ.在問題（1），（2）中，取f（x）≡1，則邊值問題

的零次近似解為

Ⅱ.在問題（1），（2）中，取f（x）≡1，n＝2，則邊值問題ε2y″－y2＝0，0＜x ＜1，y（0，ε）＝A，y（1，ε）＝B，的零次近似解為

情形Ⅱ與文獻［5］所得結(jié)果是一致的.

2 小結(jié)

匹配漸近展開法的基本思想是一個問題的近似解雖然不能用單一尺度的展開式給出，但可先用不同尺度的展開式分別給出，它們分別在所考慮的部分區(qū)域內(nèi)有效，這些部分區(qū)域的并覆蓋了所考慮的整個區(qū)域，然后再在內(nèi)、外兩個展開式有效區(qū)域相互重疊的部分將它們匹配，使其構(gòu)成一個在整個區(qū)域內(nèi)有效的近似解.人們通常應(yīng)用微分不等式理論和方法研究邊界層問題，通過分析微分不等式與相應(yīng)的微分方程的解之間的關(guān)系，構(gòu)造出一對適當?shù)慕缍ê瘮?shù)，在對所論問題的解作出先驗估計的同時，也證明了解的存在性.但該方法僅給出精確解與退化解之間的一個估計，未能構(gòu)造出具有邊界層性質(zhì)的近似解.利用匹配法則容易構(gòu)造出邊值問題在整個區(qū)間上一致有效的復合展開式，從而得到更精細的精確解的近似式.

［1］ 劉樹德，魯世平，姚靜蓀，等.奇異攝動邊界層和內(nèi)層理論［M］.北京：科學出版社，2012.

［2］ 陳懷軍，莫嘉琪.雙參數(shù)奇攝動非線性反應(yīng)擴散問題［J］.物理學報，2010，59（7）：4 409－4 412.

［3］ 劉樹德，孫建山，謝元靜.一類奇攝動擬線性邊值問題的激波解［J］.數(shù)學物理學報，2012，32（2）：312－319.

［4］ Holmes M H.Introduction to Perturbation Meyhods［M］.New York：Springer－Verlag，1999.

［5］ Nayfeh A H.Introduction for Perturbation Techniques［M］.New York：John Wiley ＆ Sons，1981.