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    常用穩(wěn)健估計方法在坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的有效性比較

    2014-07-01 22:08:08董巧玲王冠儒
    經(jīng)緯天地 2014年3期
    關(guān)鍵詞:重合測繪觀測

    □董巧玲 王冠儒

    (太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院測繪科學(xué)與技術(shù)系,山西太原030024)

    常用穩(wěn)健估計方法在坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的有效性比較

    □董巧玲 王冠儒

    (太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院測繪科學(xué)與技術(shù)系,山西太原030024)

    在進行GNSS坐標(biāo)系統(tǒng)之間相互轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)擬合時,多采用基于最小二乘估計來研究不同的擬合方法,這就要求參與建模的觀測數(shù)據(jù)不包含粗差,一旦將粗差引入模型,就會造成參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果失真。而穩(wěn)健估計方法能有效地消除或減弱粗差對參數(shù)估計的影響。本文探討了基于四參數(shù)和七參數(shù)模型坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中,當(dāng)觀測值中包含粗差時幾種常用穩(wěn)健估計方法(Huber法、Tukey法、Danish法、IGGIII方案)的相對有效性,對于穩(wěn)健估計方法的選取具有一定的參考價值。

    穩(wěn)健估計;粗差;坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

    1.引言

    自1953年G.E.P.BOX首先提出穩(wěn)健性(Robustness)的概念,Tukey、Huber、Hampel、Rousseeuw等人對參數(shù)的穩(wěn)健估計進行了卓有成效的研究[1],1980年,丹麥的Krarup和Kubik等人將穩(wěn)健估計理論引入了測量界,1989年,周江文研究員針對測量平差中不等權(quán)觀測值普遍存在的情況下,提出了等價權(quán)原理,解決了不同精度獨立觀測的權(quán)函數(shù)的確定的問題。由于穩(wěn)健估計能夠比較好的處理測量原始數(shù)據(jù)含有粗差的問題,從此在測量界掀起了對穩(wěn)健估計研究的熱潮,這些研究擴充了穩(wěn)健估計方法的成果,為進一步理論研究和在測繪中應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換是應(yīng)用GNSS定位技術(shù)不可避免的問題[2]。近代以來,隨著3S等先進測量技術(shù)的發(fā)展以及測量數(shù)據(jù)采集的現(xiàn)代化和自動化,在某種意義上,粗差也不可避免地被包含在了平差模型之中[3]。由于最小二乘法對含有粗差的觀測量相當(dāng)敏感,個別粗差就會對參數(shù)的估值產(chǎn)生較大的影響[1],此時,在測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布情況下具有最優(yōu)統(tǒng)計性質(zhì)的經(jīng)典最小二乘法就不能滿足高精度測量的需要。針對最小二乘估計這一缺陷便提出了具有一定抵抗粗差能力的穩(wěn)健估計方法。穩(wěn)健估計(Robust Estimation)理論旨在構(gòu)造某種估計方法,使其對于粗差具有較強的抵抗能力。它與經(jīng)典的估計理論不同的是,穩(wěn)健估計理論中討論的最優(yōu)是在抗差的前提下的最優(yōu)[3]。坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的實質(zhì)是求解坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)[4]。在平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中,較常用的是四參數(shù)的相似變換法,即2個平移參數(shù)、1個縮放參數(shù)和1個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。在三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中,較常用的是較嚴(yán)密的七參數(shù)相似變換法,即3個平移參數(shù),1個尺度比參數(shù)和3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。本文以算例探討了將粗差加入坐標(biāo)觀測值中,幾種穩(wěn)健估計方法之間以及與LS法對減弱或消除粗差的有效性比較,在觀測值中存在粗差的情況下,為合適地選擇參數(shù)估計方法提供了初步依據(jù)。

    2.幾種常用的穩(wěn)健估計方法

    (1)Huber法[5]:

    (2)Tukey法[6]:

    (3) Danish法[1]:

    (4) IGGIII方案[7,8]:

    3.坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型

    3.1四參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型

    P坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到Q坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)的四參數(shù)模型為[9]:

    式中:XP和YP表示P坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo);XQ和XQ表示Q坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo);x0、y0、k和α是P坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到Q坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù),它們分別表示兩個平移參數(shù)、一個縮放參數(shù)和一個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

    四參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換算例如下:

    本算例選取將一組北京54坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為西安80下的坐標(biāo)中的5個重合點,其觀測數(shù)據(jù)見表1[10]。P、Q分別表示P、Q坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)的觀測值。由LS法求得中誤差約為± 0.3cm,i表示在第i個觀測值加入6cm(約為20倍的單位權(quán)中誤差由于算例中數(shù)據(jù)有限,加入10倍中誤差作為粗差,各估計方法減弱或消除粗差的效果不明顯,故選用20倍中誤差作為粗差)的粗差,j表示第j個觀測值加入6cm(同上)的粗差,g表示觀測值中加入粗差的個數(shù)。觀測值中加入粗差后改正數(shù)解算結(jié)果見表2、表3。

    由于通常以三倍或兩倍中誤差作為偶然誤差的極限值,本文中取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值。本算例中若含有粗差的觀測值的改正數(shù)大致落在v∈(5.1,6.9)cm范圍內(nèi)說明估計方法在一定程度上檢測出了粗差,能有效減弱或消除粗差對平差結(jié)果的影響。

    表1 五重合點四參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的觀測數(shù)據(jù)Tab.1 Observation data of four-parameter coordinate system transformation with five coincident points

    表2 LS和不同穩(wěn)健估計方法的改正數(shù)(四參數(shù),5重合點,g=1)Tab.2 Corrections of LS and different robust estimation methods(four-parameter,five coincident points,g=1)

    表3 LS和不同穩(wěn)健估計方法的改正數(shù)(四參數(shù),5重合點,g=2)Tab.3 Corrections of LS and different robust estimation methods(four-parameter,five coincident points,g=2)

    將表2和表3中不同估計方法解算的改正數(shù)同值域v比較,可知在已知粗差大小和位置的情況下,當(dāng)g=1時,Tukey法、Danish法、IGGIII方案比LS法、Huber法更能有效地消除和減弱粗差對平差結(jié)果的影響;當(dāng)g=2時,Danish法、IGGIII方案比Huber法、Tukey法、LS法能同時更有效地減弱或消除不同位置上粗差對平差結(jié)果的影響。

    3.2七參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型

    P坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到Q坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)的七參數(shù)模型(Bursa模型)是[3]:

    式中,XP、YP和ZP表示P坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo);XQ、YQ和ZQ表示Q坐標(biāo)系統(tǒng)下的坐標(biāo);x0、y0、z0、βx、βy和 βz分別是三個平移參數(shù)、一個縮放參數(shù)和三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

    七參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換算例如下:

    本算例選取三維小角度直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中6個重合點,其觀測數(shù)據(jù)見表4[11]。P、Q分別表示P、Q坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)的觀測值。由LS法求得中誤差約為±0.5cm,i表示在第i個觀測值加入5cm(約為10倍的單位權(quán)中誤差)的粗差,j表示第j個觀測值加入5cm(同上)的粗差,g表示觀測值中加入粗差的個數(shù)。觀測值中加入粗差后改正數(shù)解算結(jié)果見表5、表6。

    同上個算例相同,取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值。本算例中若含有粗差的觀測值的改正數(shù)大致落在v'∈(3.5,6.5)cm范圍內(nèi)說明估計方法在一定程度上檢測出了粗差,能有效減弱或消除粗差對平差結(jié)果的影響。

    表4 六重合點七參數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的觀測數(shù)據(jù)Tab.4 Observation data of seven-parameter coordinate system transformation with six coincident points

    表5 LS和不同穩(wěn)健估計方法的改正數(shù)(七參數(shù),6重合點,g=1)Tab.5 Corrections of LS and different robust estimation methods(seven-parameter,six coincident points,g=1)

    表6 LS和不同穩(wěn)健估計方法的改正數(shù)(七參數(shù),6重合點,g=2)Tab.6 Corrections of LS and different robust estimation methods(seven-parameter,six coincident points,g=2)

    將表5和表6中不同估計方法解算的改正數(shù)同值域比較,可知在已知粗差大小和位置的情況下,當(dāng)g=1時,Tukey法、Danish法、IGGIII方案比LS法、Huber法能更有效地消除或減弱粗差對平差結(jié)果的影響;當(dāng)g= 2時,Tukey法、Danish法、IGGIII方案比Huber法、LS法能同時更有效地減弱或消除不同位置上粗差對平差結(jié)果的影響。

    4.結(jié)語

    本文通過算例研究了在四參數(shù)和七參數(shù)模型坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的觀測值包含粗差的情況下,通過分析比較穩(wěn)健估計的Huber法、Tukey法、Danish法、IGGIII方案和LS法解算結(jié)果的改正數(shù)可知,在一定的條件下,Tukey法、Danish法、IGGIII方案比Huber法、LS法能更有效地消除或減弱粗差對參數(shù)估計結(jié)果的影響。當(dāng)粗差個數(shù)或位置改變時,穩(wěn)健估計各方法對于減弱或消除粗差的有效性會有一定的改變,一般情況下,Danish法、IGGIII方案具有相對較好的有效性。究其原因,觀測數(shù)據(jù)的相關(guān)性、粗差存在位置、粗差個數(shù)、粗差的大小等可能是造成其有效性改變的影響因素。本文為坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換如何選擇更恰當(dāng)?shù)墓烙嫹椒ㄌ峁┝艘欢ǖ囊罁?jù)。

    【1】王新洲,陶本藻,邱衛(wèi)寧等.高等測量平差[M].測繪出版社,2006:73-74.

    【2】郭英起,唐彬,張秋江,等.基于空間直角坐標(biāo)系的高精度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法研究[J].大地測量與地球動力學(xué),2012,32(3):125-128.

    【3】黃幼才等.數(shù)據(jù)探測與抗差估計[M].測繪出版社,1990:70-71.

    【4】Li,H.F.Jiang,X.Q.and Li,Z.Robust estimation in Gaussian filtering for engineering surface characterization[J].Precision Engineering,2004,28(2):186-193.

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    【6】陸玨,陳義,鄭波.總體最小二乘方法在三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用[J].大地測量與地球動力學(xué),2008,28(5):77-81.

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    【8】文援蘭,楊元喜,王威.衛(wèi)星精密軌道抗差估計的研究[J].空間科學(xué)學(xué)報,2001,21(4):341-350.

    【9】Ge,Y.H.Yuan,Y.and Jia,N.N.More efficient methods among commonly used robust estimation methods for GPS coordinate transformation[J].Survey Review,2012.

    【10】王雪春.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的應(yīng)用[EB/OL].http://wenku.baidu.com/link?url=SAlS_FBcoY0HM-cP513fIHGCPEUpdbZs-OEvKpF9fTfr5HT3rAEiqCgW_w5GsdKPM76 iUbyKaX897L7xnJ5VyQ3v1 CdJrLGPTcWKREd-pMgG.

    【11】楊仕平.整體最小二乘理論及其在變形監(jiān)測中的應(yīng)用研究[D].西南交通大學(xué),2013:39-40.

    王冠儒(1966年——),女,碩士,高工,畢業(yè)于太原理工大學(xué),主要從事測量數(shù)據(jù)處理和實驗室管理。

    P207

    A

    2095-7319(2014)03-0057-05

    董巧玲(1988年——),女,碩士,太原理工大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)系,研究方向為空間數(shù)據(jù)采集方法和數(shù)據(jù)處理。

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