非圓二次曲線等誤差曲率圓法擬合算法的研究

吳志光

（池州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電系，安徽池州247000）

非圓二次曲線等誤差曲率圓法擬合算法的研究

吳志光

（池州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電系，安徽池州247000）

綜合比較多種非圓曲線逼近擬合方法，等誤差曲率圓法是最佳方法。文中對(duì)等誤差曲率圓法進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述，提出了可行的擬合算法，并基于該算法編制出程序流程圖。利用該程序流程圖，為數(shù)控編程人員編制非圓曲線程序提供了思路，具有一定應(yīng)用價(jià)值。

非圓曲線；曲率圓法；算法流程圖

0 引言

非圓曲線是數(shù)控編程經(jīng)常遇到的進(jìn)給路線，但目前數(shù)控系統(tǒng)不具有非圓曲線插補(bǔ)指令，需要通過某一擬合法，將非圓曲線分解成許多微直線段或圓弧段。非圓曲線擬合法主要有直線段擬合法和圓弧段擬合法兩大類，每一類都有許多擬合方法。在同等擬合誤差下，由于圓弧段半徑與非圓曲線的曲率半徑比較接近，圓弧段擬合能夠較好地保證切削后表面質(zhì)量的一致性。但圓弧段擬合算法比直線段擬合算法復(fù)雜得多，很多編程人員只好舍棄圓弧段法擬合，使用直線段法擬合。

圓弧段法擬合主要有三點(diǎn)圓法、相切圓法、雙圓弧法、雙圓弧法和曲率圓法，在這四種圓弧段法擬合中，曲率圓法擬合算法最簡(jiǎn)單，是圓弧段法擬合中的首選［1］。

1 等誤差曲率圓法擬合的描述

圖1 曲率圓法擬合

圖1為等誤差曲率圓法擬合。曲率圓法是采用彼此相交的圓弧逼近非圓二次曲線。其基本原理是：從曲線的起點(diǎn)開始，作與曲線內(nèi)切的曲率圓，求出曲率圓的中心，以曲率圓中心為圓心，以曲率圓半徑加（減）ξ允為半徑，所作的圓（偏差圓）與曲線y=f（x）的交點(diǎn)為下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并重新計(jì)算曲率圓中心，使曲率圓通過相鄰兩節(jié)點(diǎn)。重復(fù)以上計(jì)算即可求出所有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及圓弧的圓心坐標(biāo)［2］。

2 等誤差曲率圓法擬合算法

2.1 二次曲線方程

二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

其中系數(shù)A、B、C、D、E、F為常數(shù)，且A、B、C不同時(shí)為零。

1）當(dāng)A2＋C2≠0時(shí)的情況。

若C≠0，將式（1）整理得：

若A≠0，也可將式（1）就x解出，得到類似式（2）的方程，因此，只要A、C不同時(shí)為零，總可以將式（1）就y或x解出表示為式（2）或類似于式（2）的形式。

2.2 二次曲線等誤差曲率圓法擬合算法

1）設(shè)曲線y=f（x）上漸開線任意點(diǎn)A（xn，yn）開始作曲率圓，其曲率參數(shù)為

解出下一點(diǎn)B（xn+1，yn+1），將（xn+1，yn+1）代入式（10）求出Rn+1。

3）重復(fù)上述步驟，依次求得其它逼近圓弧段參數(shù)。

3 等誤差曲率圓法擬合算法的實(shí)現(xiàn)

設(shè)二次曲線f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0起點(diǎn)為A（xA，yA），終點(diǎn)為B（xB，yB），擬合誤差為δ。實(shí)現(xiàn)等誤差曲率圓法擬合算法的流程圖如圖2所示。

圖2 等誤差曲率圓法擬合算法的流程圖

為了讓偏差圓與二次曲線有交點(diǎn)，偏差圓半徑有兩種情況Rn±δ。當(dāng)計(jì)算得下一點(diǎn)的曲率圓半徑大于前一點(diǎn)的曲率圓半徑時(shí)，偏差圓半徑應(yīng)為Rn－δ，反之應(yīng)為Rn＋δ。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過數(shù)學(xué)知識(shí)，計(jì)算出二次曲線任一點(diǎn)曲率圓圓心坐標(biāo)和半徑，提出等誤差曲率圓法擬合二次曲線的思路，并通過流程圖方式勾勒出擬合算法。該擬合算法思路清晰，算法簡(jiǎn)潔，有助于數(shù)控編程人員利用宏命令完成非圓曲線（曲面）的加工程序，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

［1］ 鐘漢橋，唐曉騰.曲率半徑誤差最小的曲線擬合優(yōu)化方法［J］.新技術(shù)新工藝，2001（1）：17-18.

［2］ 魏國(guó)哲，劉康.基于AutoCAD平臺(tái)的樣條曲線逼近算法研究［J］.機(jī)械工程與自動(dòng)化，2010（6）：192-193.

［3］ 王得勝，周愛平.基于曲率圓的平面參數(shù)曲線節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)用算法［J］.焦作工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011（11）：446-449.

（編輯黃 荻）

Fitting Method Research of Equal-error Curvature Circle Method for Non-circular Curve

WU Zhiguang
（Department of Electomechanical,Chizhou Vocational and Technical College,Chizhou 247000,China）

According to the comparison of several non-circular curve approximation fitting methods,equal-error curvature circle method which is described by mathematics algorithm in this paper is the best method.The feasible fitting method is put forward to build flow chart for programming the non-circular curve,which can provide reference for CNC programmer.

non-circular curve;curvature circle;algorithm flow chart

TH 164

A

1002－2333（2014）05－0042－02

吳志光（1979—），男，講師，碩士學(xué)位，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)與智能開發(fā)。

2014-04-21

2012年度安徽省高等學(xué)校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（2012SQRL275）