關(guān)于定積分元素分析法的一種新理解

侯國(guó)亮

(長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130032)

關(guān)于定積分元素分析法的一種新理解

侯國(guó)亮

(長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130032)

本文通過引入線矩形、線扇形和面圓柱體等微分概念，給出了對(duì)定積分元素分析法更本質(zhì)、更通俗的理解，突破了“定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用”這一教學(xué)難點(diǎn)。

線矩形；線扇形；面圓柱體；元素分析法；定積分

在眾多《高等數(shù)學(xué)》教材中有關(guān)定積分應(yīng)用知識(shí)的介紹，通常是先采用元素分析法把要解決的實(shí)際問題抽象成一個(gè)具體函數(shù)的定積分，然后再用計(jì)算定積分的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，其中元素分析法是定積分應(yīng)用教學(xué)的重點(diǎn)，元素分析法是教學(xué)的難點(diǎn)：一是教師理解但表述不清，講不徹底，總感覺元素分析法是只可意會(huì)不可言傳的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；二是學(xué)生不理解，覺得不可思議.針對(duì)這一情況，筆者進(jìn)行了教學(xué)改進(jìn)，從學(xué)生反饋回來的信息來看，可以取得較好的教學(xué)效果.

首先給出幾個(gè)常用的公理和定理.

公理1 點(diǎn)構(gòu)成線，線構(gòu)成面，面構(gòu)成體.

定理1 單獨(dú)一個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度為零，構(gòu)成線(段)的點(diǎn)的長(zhǎng)度不為零.

定理2 單獨(dú)一條線(段)的面積為零，構(gòu)成平面(區(qū)域)的線(段)的面積不為零.

定理3 單獨(dú)一個(gè)平面(區(qū)域)的體積為零，構(gòu)成體的平面(區(qū)域)的體積不為零.

事實(shí)上，定理1、定理2、定理3的正確性是很顯然的，比如定理2，假如構(gòu)成一個(gè)具體平面圖形的線段的面積為零，那么該平面圖形的面積也應(yīng)該為零，這顯然是不可能的事情.

1 求平面直角坐標(biāo)系中不規(guī)則圖形的面積

圖1 曲邊梯形1

已知由曲線y=f1(x)、y=f2(x)及直線x=a,x=b(a

對(duì)于這個(gè)公式的得出，也即對(duì)元素分析法的理解，在課堂上可以這樣闡述：依據(jù)公理1，把該圖形看成是由區(qū)間[a,b]上垂直于x軸介于曲線y=f2(x)與y=f1(x)之間的所有線段構(gòu)成，那么根據(jù)定理2，該平面圖形的面積就應(yīng)該等于這些線段的面積之和.

當(dāng)然，也可以把該圖形看成是由其他形式的無數(shù)多條線段構(gòu)成，但在選擇圖形是由哪些具體線段構(gòu)成時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是構(gòu)成圖形的線段不能重復(fù)也不能遺漏，否則，這些線段的面積和就不等于圖形的面積；二是構(gòu)成圖形的所有線段的面積要能用同一個(gè)變量的微分關(guān)系式表出，比如，區(qū)間[a,b]上垂直于x軸介于曲線y=f2(x)與y=f1(x)之間的所有線段的面積都可以用[f2(x0)-f1(x0)]dx，x0∈[a,b]表示，所以通常情況是把平面直角坐標(biāo)系里的圖形看成是由某指定區(qū)間上垂直于x軸，或y軸的線段構(gòu)成.

圖2 曲邊梯形2

對(duì)于后一種情形，可參考如下例子：已知由曲線x=ψ1(y)、x=ψ2(y)及直線y=c，y=d(c

最后，需要指出的是，把一個(gè)平面圖形看成是由垂直于軸還是軸的線段構(gòu)成的關(guān)鍵取決于所給圖形的具體形狀，若是圖1所示的形狀，則選擇垂直于x軸；若是圖2所示的形狀，則選擇垂直于y軸. 如果一個(gè)圖形既可以看成是圖1所示的形狀，又可以看成是圖2所示的形狀，則以計(jì)算方便為選擇準(zhǔn)則.

圖3 曲邊扇形

2 求平面極坐標(biāo)系中不規(guī)則圖形的面積

設(shè)由曲線ρ=φ(θ)及射線θ=α，θ=β(α<β)圍成一圖形，稱之為曲邊扇形(圖3)，其中φ(θ)在[α，β]上連續(xù)，且φ(θ)≥0. 現(xiàn)在要計(jì)算它的面積.

首先，仿照問題1中線矩形的定義，給出線扇形的定義及面積計(jì)算公式.

定義1 把扇形當(dāng)圓心角趨向于零時(shí)的極限形式稱為線扇形.

圖4 旋轉(zhuǎn)體1

3 求三維直角坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 例如，圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰、半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 所以它們都是旋轉(zhuǎn)體.

圖5 旋轉(zhuǎn)體2

根據(jù)公理1，可以把該立體看成是由區(qū)間[a,b]上垂直于x軸、以函數(shù)值f(x0)，x0∈[a,b]為半徑的所有圓平面構(gòu)成，再由定理3可得其體積等于這些圓平面的體積和，因?yàn)檫@時(shí)的圓平面是圓柱體當(dāng)高度趨向于零時(shí)的極限形式，所以這些圓平面的體積應(yīng)該按照?qǐng)A柱體的體積計(jì)算公式來進(jìn)行計(jì)算，即為底面積乘高，所以位于點(diǎn)處的圓平面(圖4)的體積為π[f(x0)]2dx，其中dx為它的高，進(jìn)而可得該旋轉(zhuǎn)體的體積為π[f(x0)]2dx. 另外，為了以后敘述的方便，把這些構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的圓平面稱之為面圓柱體.

4 結(jié)語

基于定積分的元素分析法所作的上述解釋具有普遍實(shí)用性，任意一個(gè)確定的立體，都可以看成是該立體上垂直于一定軸的一組截平面構(gòu)成，由于構(gòu)成該立體的這組截平面不一定是圓形，所以對(duì)應(yīng)于不同的情況，就會(huì)有不同的稱呼，比如面橢圓柱體、面三棱柱體等.

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:223.

A New Way to Comprehend the Element Analysis Method of Definite Integral

HOU Guo-liang

(School of Mathematics, Changchun Normal University, Changchun Jilin 130032, China)

In this paper, we offer a more natural and popular way to comprehend the element analysis method of definite integral by defining some differential concepts, such as linear rectangle, linear sector, plane cylinder and so on, so that we make a breakthrough on teaching difficulty about the application of definite integral to geometry.

linear rectangle；linear sector；plane cylinder；element analysis method；definite integral

2014-05-08

侯國(guó)亮(1981- )，男，河南安陽(yáng)人，長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院講師，碩士，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。

O172.2

A

2095-7602(2014)04-0017-03