擴(kuò)展的F-展開法在耦合KdV方程精確解中的應(yīng)用

于 義

(撫順師范高等?？茖W(xué)校，遼寧撫順 113001)

擴(kuò)展的F-展開法在耦合KdV方程精確解中的應(yīng)用

于 義

(撫順師范高等?？茖W(xué)校，遼寧撫順 113001)

本文以數(shù)學(xué)機(jī)械化思想為指導(dǎo)，以計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)軟件Maple為工具，提出了用擴(kuò)展的F-展法來構(gòu)造非線性孤子方程的行波解。為了驗(yàn)證方法的有效性和優(yōu)越性，將其應(yīng)用到耦合的KdV方程，獲得了具有一般形式的新的精確解，其中包括單的和耦合的Jacobi橢圓函數(shù)解、類孤子解及三角函數(shù)解。

孤子方程；精確解；F-展開法

一般來說，計(jì)算分為兩大類：一是數(shù)值計(jì)算；二是符號(hào)計(jì)算.數(shù)值計(jì)算對(duì)人們來說是比較熟悉的，并且比符號(hào)計(jì)算發(fā)展得迅速.隨著計(jì)算機(jī)及符號(hào)軟件的產(chǎn)生，如Maple，Mathematica等，符號(hào)計(jì)算已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中非常重要的工具，并且已滲透到其他很多領(lǐng)域[1-3].我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、中國(guó)科學(xué)院院士吳文俊先生在對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)思想研究的基礎(chǔ)上發(fā)展并完善了Ritt的方法，于1978年創(chuàng)立了吳代數(shù)消元法，將該方法用于初等幾何的機(jī)械化證明，獲得了很好的結(jié)果.在吳文俊院士的大力倡導(dǎo)下，數(shù)學(xué)機(jī)械化思想得到了迅速的發(fā)展，已滲透到了諸多領(lǐng)域，如理論物理、CAD、CAGD、機(jī)器人及控制論、力學(xué)和組合學(xué)等.數(shù)學(xué)機(jī)械化連續(xù)列為“八五”、“九五”國(guó)家攀登計(jì)劃及“973”目之一.為了更準(zhǔn)確地研究物體變化的性質(zhì)，我們需要尋求其對(duì)應(yīng)方程的精確解.

1 擴(kuò)展的 F-展開法

F-展開法[4-5]是用雅克比橢圓函數(shù)展開方法求非線性數(shù)學(xué)物理方程周期波解的方法，即把方程的解表示成雅克比橢圓函數(shù)冪次展開的形式.用它得到了很多非線性偏微分方程的周期波解.下面給出F-展開法的一個(gè)推廣.

對(duì)給定兩個(gè)自變量的非線性偏微分方程

P(u,ut,ux,utt,uxt,…)=0.

(1)

其中P是一個(gè)多項(xiàng)式，它含有非線性項(xiàng)和線性出現(xiàn)的高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng).我們分以下五個(gè)步驟求其橢圓函數(shù)周期波解：

第一步，對(duì)方程(1)作行波變換u(x,t)=u(ξ)，ξ=kx+ωt+k0，其中k,ω是待定常數(shù)，k0是任意常數(shù)，則(1)式化為：

P(u,ωu′,ku′,ω2u″,ωku″,k2u″,…)=0.

(2)

第二步：設(shè)u(ξ)可表示為F(ξ)的有限冪級(jí)數(shù)

(3)

這里a0,a1,a2，…,aN為待定常數(shù).N為非負(fù)整數(shù)，將由非線性項(xiàng)和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的齊次平衡來決定.F(ξ)是雅克比橢圓函數(shù)滿足Riccati方程：

F′2(ξ)=PF4(ξ)+QF2(ξ)+R.

(4)

F"(ξ)=2PF3(ξ)+QF(ξ).

(5)

F?(ξ)=(6PF2(ξ)+Q)F′(ξ).

(6)

其中P,Q,R,F(ξ)有如下的關(guān)系：

第三步：將(3)代入(2)，利用(4)(5)(6)將(2)左端變?yōu)镕(ξ)的多項(xiàng)式，再令其各次幕的系數(shù)為0，得a0,a1,a2，…，aN,ω(或k)的代數(shù)方程組.

第四步：解該方程組，將a0,a1,a2，…，aN,ω(或k)用P，Q，R來表示.將它們代入(3)式，得我們所解方程的一個(gè)行波解的一般形式.

第五步：選取(P，Q，R)使F(ξ)是某一種雅克比橢圓函數(shù).將選定的(P,Q,R)的值和相應(yīng)的雅克比橢圓函數(shù)代入方程行波解的一般形式中，可得方程的各種用雅克比橢圓函數(shù)表示的周期波解.

2 應(yīng)用

下面以耦合KdV方程

(7)

為例，利用擴(kuò)展F-展開法求其精確解.

首先對(duì)耦合KdV方程做行波變化u=u1(ξ),v=v1(ξ)，ξ=kx+ωt+k0，其中k0為常數(shù)，k,ω待定.

(8)

(9)

令

(10)

(11)

其中ai,bi,ci,di,ei,fi,gi,hi均為常數(shù).將(4)(5)(6)代入(10)(11)，并利用符號(hào)計(jì)算軟件Maple選擇關(guān)于F'iFj的系數(shù)，并分別令其為零得到下面的代數(shù)超定方程(由于方程較多，這里將其省略).進(jìn)一步，解上述代數(shù)方程得如下三種情形非平凡解：

情形1：a0=a0,k=k,e0=e0,a1=0,b1=0,b2=0,c1=0,c2=0,d1=0,d2=0,e1=0,e2=0,f1=0,f2=0,g1=0,g2=0,h1=0,h2=0,a2=-2k2P1,ω=-4k3Q1-6ka0,

情形3：k=k,e1=e1,e2=0,g2=0,d2=0,c2=0,b2=0,a1=0,h1=0,h2=0,

c1=0,d1=0,g1=0,f1=0,e0=0,f2=0,

由于篇幅有限，下面僅對(duì)對(duì)于情形3，給出耦合KdV的一些精確解.

(i)P1=m2,Q1=-(1+m2),Q1=-(1+m2),F(ξ)=snξ,

代入(10)(11)得方程的一組解

其中a0,e0,k為任意常數(shù).

黨的十八屆三中全會(huì)提出了健全軍隊(duì)院校教育、部隊(duì)訓(xùn)練實(shí)踐、軍事職業(yè)教育“三位一體”的新型軍事人才培養(yǎng)體系。在“三位一體”軍事人才培養(yǎng)體系中，把軍隊(duì)院校教育、軍事職業(yè)教育并列。其中，軍隊(duì)人員離崗進(jìn)校接受教育培訓(xùn)就是軍隊(duì)院校教育，在崗接受教育培養(yǎng)就是軍事職業(yè)教育。因此，軍事職業(yè)教育本質(zhì)上屬于在崗繼續(xù)教育，只是面向的對(duì)象是軍隊(duì)人員。軍事職業(yè)教育已經(jīng)進(jìn)入了黨的十八屆三中全會(huì)決定，進(jìn)入了中央軍委決策。軍事職業(yè)教育，應(yīng)以改善學(xué)員知識(shí)結(jié)構(gòu)、提升武器裝備運(yùn)用能力、增強(qiáng)全面綜合素質(zhì)為目標(biāo)，科學(xué)構(gòu)建完善的軍事職業(yè)教育課程體系，應(yīng)從修訂軍事職業(yè)教育的課程標(biāo)準(zhǔn)、調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、創(chuàng)新課程教學(xué)手段與方法入手。

當(dāng)m→0時(shí)，snξ→sinξ，因此有

當(dāng)m→1時(shí)，snξ→tanhξ，因此有

其中a0,e0,k為任意常數(shù).

(ii)P1=-m2,Q1=2m2-1,F(ξ)=cnξ,

代入(19)(20)得方程的一組解

其中a0,e0,k為任意常數(shù).

當(dāng)m→0時(shí)，cnξ→cosξ，因此有

當(dāng)m→1時(shí)，cnξ→sechξ，因此有

其中a0,e0,k為任意常數(shù).

(iii)P1=1,Q1=-(1+m2),F(ξ)=nsξ,

其中a0,e0,k為任意常數(shù).

當(dāng)m→0時(shí)，ns→cscξ，因此有

當(dāng)m→1時(shí)，nsξ→cothξ，因此有

其中a0,e0,k為任意常數(shù).

[1]朝魯.吳-微分特征列集法理論極其在微分方程對(duì)稱和力學(xué)中的應(yīng)用[D].大連:大連理工大學(xué),1997.

[2]Wang ML,Wang MY,Zhang JL.The periodic wave solutions for two systems of nonlinear wave equations[J]. Chin. Phys,2003(12):1341-1348.

[3]Fan EnGui.Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations[J].Phys Lett A,2000(277):212-218.

[4]Wang ML,Li XZ.Applictions of F-expansion to periodic wave solutions for a new Hamiltonian amplitude equation[J].Chaos Solitons Fractals,2005(24):1257-1268.

[5]Liu JB,Yang KQ.The extended F-expansion method and exact solutions of nonlinear PDEs[J].Chaos Solitons Fractals, 2004(22):111-121.

The Application of Extended F-expansion Method to Exact Solutions of Nonlinear Coupled KdV Equations

YU Yi

(Fushun Teachers College，F(xiàn)ushun Liaoning 113001，China)

The thesis improves the F-expansion method for constructing travelling wave solutions of nonlinear soliton equations under the guidance of mathematics mechanization and with the tools of transformation and computer algebraic system Maple. In order to illustrate the effectiveness and advantages of the method, the study applies it to the coupled KdV equations. Many new and general formal exact solutions for the coupled KdV equations are obtained including the single and combined Jacobi elliptic function solutions, soliton-like solutions, trigonometric function solutions.

Soliton equations;Exact solutions;F-expansion method

2013-11-25

于 義(1962- )，男，遼寧撫順人，撫順師范高等?？茖W(xué)校副教授，從事可積系統(tǒng)研究。

O29

A

1008-178X(2014)01-0014-04