高中數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱圖形”題型及解法淺探

姜瑜

“對(duì)稱性”是數(shù)學(xué)美的一種體現(xiàn)，也是歷年高考題中的常見題型，理解和掌握“對(duì)稱圖形”的基本規(guī)律和解題方法是十分必要的.

一、本身具有對(duì)稱性的圖形

如“三角函數(shù)的圖像，圓錐曲線”等，此類問題可直接應(yīng)用對(duì)稱軸方程加以解決.

例1：如果y=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線x=- 對(duì)稱，那么A=（ ）

A. B.- C.1 D.-1

解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a

∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =-

∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故選D.

例2：曲線x +y +2 -2 =0關(guān)于（ ）

A.直線x= 對(duì)稱 B.直線y=-x對(duì)稱

C.點(diǎn)（-2， ）中心對(duì)稱 D.點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱

解：將方程配方得：（x+ ） +（y- ） =4，

∴曲線是以（-2， ）為圓心，2為半徑的圓.由圓自身的對(duì)稱性可知應(yīng)選B.

評(píng)析：1.對(duì)于y=sinx直接應(yīng)用對(duì)稱軸方程x=kπ+ （k∈Z）求解，方法簡(jiǎn)明扼要.

2.對(duì)于圓，過圓心的任意直線都是對(duì)稱軸，圓心是對(duì)稱中心.

3.關(guān)于y=f（x）其圖像存在對(duì)稱性，有一般的結(jié)論：f（x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的圖像關(guān)于x= 對(duì)稱.

二、兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的此類問題可借中點(diǎn)公式極易解決.

例3：設(shè)曲線C的方程是y=x -x將C沿x軸、y軸的正方向分別平行移動(dòng)T、S個(gè)單位長(zhǎng)度后，得曲線C ，

（1）寫出C 的方程；

（2）證明C 和C關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱.

解析：（1）由題意：C ：y-S=（x-T） -（x-T）.

（2）設(shè)M（x，y）是C上的任意點(diǎn)，M′（x′，y′）是M關(guān)于（ ， ）的對(duì)稱點(diǎn)，

由中點(diǎn)公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T） -（x-T）

∴M在曲線C 上.

反過來，同樣可以證明：C 上的任意點(diǎn)關(guān)于（ ， ）對(duì)稱的點(diǎn)也在C上.

因此，C 與C關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱.

評(píng)析：關(guān)于成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，上例實(shí)質(zhì)是求中心對(duì)稱和證明中心對(duì)稱的一般方法.

一般地，f（x，y）=0關(guān)于Q（a，b）成中心對(duì)稱的曲線的求法：設(shè)M（x，y）是所求曲線上任意點(diǎn)，M關(guān)于Q對(duì)稱的點(diǎn)是（2a-x，2b-y），所以，所求曲線為f（2a-x，2b-y）=0.

三、關(guān)于直線對(duì)稱的圖形

此類問題都主要借助中點(diǎn)公式，斜率公式，通過聯(lián)解方程求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可解決.

例4：橢圓C與橢圓 + =1，關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，橢圓C的方程是（ ）

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1

解：設(shè)P（x，y）是C上任意點(diǎn)，P關(guān)于x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)P′（x′，y′），

∴由中點(diǎn)公式和斜率公式知：

+ =0（1）

=1（2）

聯(lián)解（1）（2）得：x′=-y，y=-x代入已知橢圓得： + =1，故選A.

例5：如圖，已知直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上.若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程.

解析：設(shè)L：y=kx，C：y =2px（p>0）.

A關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)為A′（a，b），

∴a= ，b= ，

同理B關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)B′（ ， ）

∵A′和B′都在C上，分別代入C的方程得：

（ ） =2p（ ）（1）

[ ] =2p（ ）（2）

聯(lián)解（1）（2）知：k = ，k = .

當(dāng)k= 時(shí)，a= <0不符合題意.

∴k= ，此時(shí)，p= ，

∴L：y= x；C：y = x.

評(píng)析：上兩例都是圖形關(guān)于直線對(duì)稱問題，其本質(zhì)是首先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.對(duì)于點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線L：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)P′（a，b）有一般的結(jié)論：

∵PP′的中點(diǎn)在L上：A +B +C=0（1）

又∵KPP′：K =-1，∴ = （A≠0，B≠0）（2）

聯(lián)解（1）（2）得

a=-

b=-

對(duì)于A=0或B=0，情況更簡(jiǎn)單，不再贅述.endprint

“對(duì)稱性”是數(shù)學(xué)美的一種體現(xiàn)，也是歷年高考題中的常見題型，理解和掌握“對(duì)稱圖形”的基本規(guī)律和解題方法是十分必要的.

一、本身具有對(duì)稱性的圖形

如“三角函數(shù)的圖像，圓錐曲線”等，此類問題可直接應(yīng)用對(duì)稱軸方程加以解決.

例1：如果y=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線x=- 對(duì)稱，那么A=（ ）

A. B.- C.1 D.-1

解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a

∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =-

∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故選D.

例2：曲線x +y +2 -2 =0關(guān)于（ ）

A.直線x= 對(duì)稱 B.直線y=-x對(duì)稱

C.點(diǎn)（-2， ）中心對(duì)稱 D.點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱

解：將方程配方得：（x+ ） +（y- ） =4，

∴曲線是以（-2， ）為圓心，2為半徑的圓.由圓自身的對(duì)稱性可知應(yīng)選B.

評(píng)析：1.對(duì)于y=sinx直接應(yīng)用對(duì)稱軸方程x=kπ+ （k∈Z）求解，方法簡(jiǎn)明扼要.

2.對(duì)于圓，過圓心的任意直線都是對(duì)稱軸，圓心是對(duì)稱中心.

3.關(guān)于y=f（x）其圖像存在對(duì)稱性，有一般的結(jié)論：f（x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的圖像關(guān)于x= 對(duì)稱.

二、兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的此類問題可借中點(diǎn)公式極易解決.

例3：設(shè)曲線C的方程是y=x -x將C沿x軸、y軸的正方向分別平行移動(dòng)T、S個(gè)單位長(zhǎng)度后，得曲線C ，

（1）寫出C 的方程；

（2）證明C 和C關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱.

解析：（1）由題意：C ：y-S=（x-T） -（x-T）.

（2）設(shè)M（x，y）是C上的任意點(diǎn)，M′（x′，y′）是M關(guān)于（ ， ）的對(duì)稱點(diǎn)，

由中點(diǎn)公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T） -（x-T）

∴M在曲線C 上.

反過來，同樣可以證明：C 上的任意點(diǎn)關(guān)于（ ， ）對(duì)稱的點(diǎn)也在C上.

因此，C 與C關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱.

評(píng)析：關(guān)于成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，上例實(shí)質(zhì)是求中心對(duì)稱和證明中心對(duì)稱的一般方法.

一般地，f（x，y）=0關(guān)于Q（a，b）成中心對(duì)稱的曲線的求法：設(shè)M（x，y）是所求曲線上任意點(diǎn)，M關(guān)于Q對(duì)稱的點(diǎn)是（2a-x，2b-y），所以，所求曲線為f（2a-x，2b-y）=0.

三、關(guān)于直線對(duì)稱的圖形

此類問題都主要借助中點(diǎn)公式，斜率公式，通過聯(lián)解方程求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可解決.

例4：橢圓C與橢圓 + =1，關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，橢圓C的方程是（ ）

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1

解：設(shè)P（x，y）是C上任意點(diǎn)，P關(guān)于x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)P′（x′，y′），

∴由中點(diǎn)公式和斜率公式知：

+ =0（1）

=1（2）

聯(lián)解（1）（2）得：x′=-y，y=-x代入已知橢圓得： + =1，故選A.

例5：如圖，已知直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上.若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程.

解析：設(shè)L：y=kx，C：y =2px（p>0）.

A關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)為A′（a，b），

∴a= ，b= ，

同理B關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)B′（ ， ）

∵A′和B′都在C上，分別代入C的方程得：

（ ） =2p（ ）（1）

[ ] =2p（ ）（2）

聯(lián)解（1）（2）知：k = ，k = .

當(dāng)k= 時(shí)，a= <0不符合題意.

∴k= ，此時(shí)，p= ，

∴L：y= x；C：y = x.

評(píng)析：上兩例都是圖形關(guān)于直線對(duì)稱問題，其本質(zhì)是首先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.對(duì)于點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線L：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)P′（a，b）有一般的結(jié)論：

∵PP′的中點(diǎn)在L上：A +B +C=0（1）

又∵KPP′：K =-1，∴ = （A≠0，B≠0）（2）

聯(lián)解（1）（2）得

a=-

b=-

對(duì)于A=0或B=0，情況更簡(jiǎn)單，不再贅述.endprint

“對(duì)稱性”是數(shù)學(xué)美的一種體現(xiàn)，也是歷年高考題中的常見題型，理解和掌握“對(duì)稱圖形”的基本規(guī)律和解題方法是十分必要的.

一、本身具有對(duì)稱性的圖形

如“三角函數(shù)的圖像，圓錐曲線”等，此類問題可直接應(yīng)用對(duì)稱軸方程加以解決.

例1：如果y=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線x=- 對(duì)稱，那么A=（ ）

A. B.- C.1 D.-1

解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a

∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =-

∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故選D.

例2：曲線x +y +2 -2 =0關(guān)于（ ）

A.直線x= 對(duì)稱 B.直線y=-x對(duì)稱

C.點(diǎn)（-2， ）中心對(duì)稱 D.點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱

解：將方程配方得：（x+ ） +（y- ） =4，

∴曲線是以（-2， ）為圓心，2為半徑的圓.由圓自身的對(duì)稱性可知應(yīng)選B.

評(píng)析：1.對(duì)于y=sinx直接應(yīng)用對(duì)稱軸方程x=kπ+ （k∈Z）求解，方法簡(jiǎn)明扼要.

2.對(duì)于圓，過圓心的任意直線都是對(duì)稱軸，圓心是對(duì)稱中心.

3.關(guān)于y=f（x）其圖像存在對(duì)稱性，有一般的結(jié)論：f（x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的圖像關(guān)于x= 對(duì)稱.

二、兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的此類問題可借中點(diǎn)公式極易解決.

例3：設(shè)曲線C的方程是y=x -x將C沿x軸、y軸的正方向分別平行移動(dòng)T、S個(gè)單位長(zhǎng)度后，得曲線C ，

（1）寫出C 的方程；

（2）證明C 和C關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱.

解析：（1）由題意：C ：y-S=（x-T） -（x-T）.

（2）設(shè)M（x，y）是C上的任意點(diǎn)，M′（x′，y′）是M關(guān)于（ ， ）的對(duì)稱點(diǎn)，

由中點(diǎn)公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T） -（x-T）

∴M在曲線C 上.

反過來，同樣可以證明：C 上的任意點(diǎn)關(guān)于（ ， ）對(duì)稱的點(diǎn)也在C上.

因此，C 與C關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱.

評(píng)析：關(guān)于成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，上例實(shí)質(zhì)是求中心對(duì)稱和證明中心對(duì)稱的一般方法.

一般地，f（x，y）=0關(guān)于Q（a，b）成中心對(duì)稱的曲線的求法：設(shè)M（x，y）是所求曲線上任意點(diǎn)，M關(guān)于Q對(duì)稱的點(diǎn)是（2a-x，2b-y），所以，所求曲線為f（2a-x，2b-y）=0.

三、關(guān)于直線對(duì)稱的圖形

此類問題都主要借助中點(diǎn)公式，斜率公式，通過聯(lián)解方程求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可解決.

例4：橢圓C與橢圓 + =1，關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，橢圓C的方程是（ ）

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1

解：設(shè)P（x，y）是C上任意點(diǎn)，P關(guān)于x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)P′（x′，y′），

∴由中點(diǎn)公式和斜率公式知：

+ =0（1）

=1（2）

聯(lián)解（1）（2）得：x′=-y，y=-x代入已知橢圓得： + =1，故選A.

例5：如圖，已知直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上.若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程.

解析：設(shè)L：y=kx，C：y =2px（p>0）.

A關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)為A′（a，b），

∴a= ，b= ，

同理B關(guān)于L對(duì)稱的點(diǎn)B′（ ， ）

∵A′和B′都在C上，分別代入C的方程得：

（ ） =2p（ ）（1）

[ ] =2p（ ）（2）

聯(lián)解（1）（2）知：k = ，k = .

當(dāng)k= 時(shí)，a= <0不符合題意.

∴k= ，此時(shí)，p= ，

∴L：y= x；C：y = x.

評(píng)析：上兩例都是圖形關(guān)于直線對(duì)稱問題，其本質(zhì)是首先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.對(duì)于點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線L：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)P′（a，b）有一般的結(jié)論：

∵PP′的中點(diǎn)在L上：A +B +C=0（1）

又∵KPP′：K =-1，∴ = （A≠0，B≠0）（2）

聯(lián)解（1）（2）得

a=-

b=-

對(duì)于A=0或B=0，情況更簡(jiǎn)單，不再贅述.endprint