SMA預(yù)拉桿式自定心屈曲約束支撐的滯回性能分析

謝 欽 周 臻 孟少平 王維影

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096)

屈曲約束支撐(BRB)是一種用于抵抗地震作 用的支撐構(gòu)件，它由承受軸向荷載的核心單元和防止核心單元產(chǎn)生低階屈曲的約束單元組成.地震時(shí)，借助BRB核心單元的屈服耗能可控制結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)［1］.BRB 性能穩(wěn)定，減震效果顯著，受到廣泛關(guān)注［2-5］.

研究表明，BRB屈服后的剛度較低，使得主體結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震后會(huì)產(chǎn)生較大的殘余變形［6］，增加了結(jié)構(gòu)的維修成本.將后張預(yù)應(yīng)力技術(shù)引入BRB，形成自定心約束支撐(SC-BRB)，能有效解決該問(wèn)題.Christopoulos等［7］通過(guò)將內(nèi)外套筒與預(yù)張拉芳綸纖維筋組合，形成自定心系統(tǒng)，并引入到摩擦耗能支撐體系中.在此基礎(chǔ)上，Chou等［8］提出了一種雙核摩擦耗能支撐體系，通過(guò)串聯(lián)2組預(yù)拉桿，使得自定心系統(tǒng)的變形能力擴(kuò)大了2倍，降低對(duì)預(yù)拉桿最大彈性應(yīng)變的要求.Miller［9］將具有超彈性的形狀記憶合金(SMA)作為預(yù)拉桿引入SC-BRB中，并通過(guò)試驗(yàn)證實(shí)了這種支撐具有良好的自定心效果和變形能力.

由于SMA具有非線性的本構(gòu)關(guān)系，且其材料性能受環(huán)境溫度影響，因此本構(gòu)模型的建立比較困難.BRB的受力性能也較為復(fù)雜，經(jīng)試驗(yàn)證實(shí)，其滯回曲線具有拉壓響應(yīng)不對(duì)稱和等向強(qiáng)化特性.對(duì)于采用SMA作為預(yù)拉桿的SC-BRB(簡(jiǎn)稱SMASC-BRB)，目前尚無(wú)可簡(jiǎn)便有效描述其滯回性能的彈塑性模型.流變模型是一種用于描述材料循環(huán)非線性行為的理論方法，經(jīng)證實(shí)其能有效模擬BRB 的滯回曲線［10］.

本文通過(guò)將SMA的分段線性本構(gòu)模型與流變模型結(jié)合，建立了一種用于研究SMA-SC-BRB滯回性能的流變分析方法，并利用該方法討論了幾個(gè)重要參數(shù)對(duì)SMA-SC-BRB滯回性能的影響.

1 SMA-SC-BRB的構(gòu)造

SMA-SC-BRB的構(gòu)造如圖1所示［9］.核心板放置于內(nèi)套管中并灌注砂漿，以避免其在受壓時(shí)出現(xiàn)平面外屈曲.自定心體系由中套管、外套管和預(yù)拉桿組成.為了充分利用SMA的超彈性特征，將SMA桿和普通鋼桿串聯(lián)形成預(yù)拉桿.將中套管的左端和外套管的右端分別與核心板側(cè)邊焊接，而另一端均保持自由狀態(tài)，端板在預(yù)拉力的作用下緊貼套管兩側(cè).當(dāng)支撐受拉時(shí)，端板在中套管和外套管焊接端的推動(dòng)下向兩側(cè)移動(dòng)，并與自由端分離;當(dāng)支撐受壓時(shí)，端板又在中套管和外套管自由端的推動(dòng)下向兩側(cè)移動(dòng)，并與焊接端分離.由此保證支撐無(wú)論處于受拉或是受壓狀態(tài)，預(yù)拉桿始終受拉伸長(zhǎng)，為支撐持續(xù)提供自定心所需的恢復(fù)力.

圖1 SMA-SC-BRB的設(shè)計(jì)構(gòu)造［9］

圖2為SMA-SC-BRB的理論滯回曲線.圖中，F(xiàn)P為初始預(yù)張力，dys為FP作用下套管產(chǎn)生的壓縮變形量.當(dāng)外荷載小于FP時(shí)，端板與套管端部并未分離，自定心體系的剛度為預(yù)拉桿、中套管和外套管的剛度之和;當(dāng)外荷載大于FP時(shí)，端板與套管的一側(cè)脫開(kāi)，此時(shí)自定心體系的剛度為預(yù)拉桿剛度.從圖中可以看出，SMA-SC-BRB的滯回曲線具有明顯的旗幟形特征，其殘余變形遠(yuǎn)小于BRB，自定心效果比較顯著.

圖2 SMA-SC-BRB的理論滯回曲線

2 SMA的本構(gòu)模型

Brinson［11］以熱力學(xué)基本定律為基礎(chǔ)，建立了SMA的一維本構(gòu)模型.其本構(gòu)方程為

式中，σ，ε分別為SMA的應(yīng)力和應(yīng)變;εL為最大殘余應(yīng)變;ξS為由應(yīng)力引發(fā)的馬氏體含量;D(ξS)為SMA的彈性模量，計(jì)算公式如下:

式中，DM，DA分別為SMA的馬氏體彈性模量和奧氏體彈性模量.

由于Brinson提出的本構(gòu)模型應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系，為保證計(jì)算結(jié)果的收斂，對(duì)位移步的選取有嚴(yán)格的要求.為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，將SMA的相變曲線段簡(jiǎn)化為直線，建立SMA分段線性本構(gòu)模型［12］(見(jiàn)圖3).圖3中各直線段根據(jù)其斜率特點(diǎn)可歸為2類:① 非相變直線段，如P1P2，P4P5，P6P7和P8P9，其彈性模量可根據(jù)各直線段的起始點(diǎn)應(yīng)力值由式(2)計(jì)算得出.②相變直線段，如P2P3，P5P6，P7P8和P9P10，其彈性模量由起始點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變值與馬氏體相變結(jié)束點(diǎn)(P3)或奧氏體相變結(jié)束點(diǎn)(P1)的應(yīng)力應(yīng)變值決定.P1，P2，P3和 P5為SMA本構(gòu)模型的4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).結(jié)合各段的彈性模量Di和起始點(diǎn)的應(yīng)力值σi0，可得到SMA的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

圖3 SMA的分段線性本構(gòu)模型

3 SMA-SC-BRB的流變模型

3.1 模型描述

SMA-SC-BRB的滯回性能可視為由2個(gè)部分并聯(lián)組成:通過(guò)材料屈服耗能的BRB部分和提供自定心力的SMA-SC部分.文獻(xiàn)［10］通過(guò)將流變?cè)c彈簧1并聯(lián)再與彈簧0串聯(lián)來(lái)模擬BRB.在此基礎(chǔ)上，本文再并聯(lián)了彈簧SMA-SC(見(jiàn)圖4)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)SMA-SC-BRB旗幟形滯回曲線的模擬.圖中，d0和d1分別為BRB的彈性位移和塑性位移;dSC為SMA-SC的位移;F0，F(xiàn)1和 FSC分別為由對(duì)應(yīng)位移d0，d1和dSC所引起的力，且FSC為自定心系統(tǒng)的恢復(fù)力;k0和k1分別為BRB的彈性剛度和屈服后剛度;kSC為SMA-SC的剛度，包含端板與套管分離前、后SMA-SC的剛度kSC1和kSC2.需注意的是，該模型不能對(duì)BRB強(qiáng)度退化后的力學(xué)性能進(jìn)行模擬.

圖4 SMA-SC-BRB的流變模型

3.2 控制方程

求解支撐滯回性能時(shí)，通常采用位移加載制度，結(jié)合模型各部件力與位移的控制方程，建立支撐總力F與總位移d的關(guān)系.計(jì)算時(shí)，力與位移均以支撐受拉為正，受壓為負(fù).

由圖4可知，支撐總位移d可由BRB的彈性位移d0與塑性位移d1疊加得到，即

SMA-SC系統(tǒng)的位移則與支撐總位移d相等，即

支撐力F可分解為

式中，F(xiàn)B為BRB承受的力.根據(jù)加載位移d(t)，先分別求解出t時(shí)刻的FB(t)和FSC(t)，然后求和得到支撐總力F(t).

3.2.1 FB的計(jì)算

由于FB與彈簧0所承受的力相同，因此FB的增量可表示為

式中，α為基于試驗(yàn)結(jié)果的實(shí)常數(shù)，用于控制BRB的彈、塑性變形轉(zhuǎn)換梯度，α值越大，轉(zhuǎn)換梯度也越大;F1(t)為彈簧1承受的力，且

Fy(t)為BRB強(qiáng)化后的屈服強(qiáng)度，且

式中，F(xiàn)y0為BRB的初始屈服強(qiáng)度;Fymax為BRB等向強(qiáng)化極限狀態(tài)的屈服強(qiáng)度為BRB塑性位移增量的絕對(duì)值;μ(t)為累計(jì)塑性位移，即μ(t)=為基于試驗(yàn)結(jié)果的實(shí)常數(shù)，用于控制BRB的等向強(qiáng)化速率，β越大，等向強(qiáng)化速率越慢.為精確模擬BRB的拉壓響應(yīng)不對(duì)稱性，BRB受拉和受壓時(shí)式(9)和(11)中的α，β和Fymax可分別取不同值.

3.2.2 FSC的計(jì)算

由于預(yù)拉桿是由SMA桿和普通鋼桿串聯(lián)組成的，因此當(dāng)預(yù)拉桿伸長(zhǎng)˙d(t)時(shí)，SMA桿的伸長(zhǎng)量和應(yīng)變?cè)隽糠謩e為

式中，LSMA和ASMA分別為SMA桿的長(zhǎng)度與截面面積;DSTL，LSTL和ASTL分別為鋼桿的彈性模量、長(zhǎng)度與截面面積.將εSMA代入式(3)便能計(jì)算出SMA桿的應(yīng)力σSMA.

預(yù)拉桿的初始預(yù)張拉力FP會(huì)使套管受壓并產(chǎn)生壓縮變形dys，且

結(jié)合自定心體系的工作原理，通過(guò)判斷支撐位移d(t)是否大于dys，可將FSC的計(jì)算分為以下2種情況:

結(jié)合材料試驗(yàn)和支撐的部件尺寸，確定建立流變模型的重要參數(shù).根據(jù)擬采用的位移加載制度，將加載過(guò)程分為n個(gè)時(shí)間段，并確定每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的位移d(t).利用數(shù)值分析軟件Matlab根據(jù)式(7)～(11)以及式(12)～(16)計(jì)算出 FB(t)與FSC(t)，并求和得到t時(shí)刻的支撐總力F(t)，然后進(jìn)入下一時(shí)刻繼續(xù)計(jì)算.當(dāng)求出n個(gè)時(shí)間點(diǎn)的支撐總力F后，即完成整個(gè)分析過(guò)程.

4 與試驗(yàn)結(jié)果的比較

利用SMA的分段線性本構(gòu)模型與SMA-SCBRB流變模型對(duì)文獻(xiàn)［9］中的試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文模型的正確性.

4.1 SMA分段線性本構(gòu)模型的驗(yàn)證

根據(jù)文獻(xiàn)［9］中SMA的材料參數(shù)，由分段線性本構(gòu)模型繪制出SMA的應(yīng)力應(yīng)變曲線，并與試驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比(見(jiàn)圖5).從圖中可以看出，采用分段線性模型能較好地適應(yīng)SMA的非線性本構(gòu)關(guān)系，尤其是在奧氏體階段和馬氏體階段，模擬值與試驗(yàn)值十分接近.在奧氏體相變和馬氏體相變的過(guò)程中，當(dāng)馬氏體含量ξ較小時(shí)，分段線性模型的模擬值與試驗(yàn)值吻合較好，而隨著馬氏體含量ξ的增大，誤差也逐漸增大.造成誤差的原因是:SMA的相變是一個(gè)非線性過(guò)程，而SMA分段線性模型的相變段是一條直線，因此不可避免會(huì)產(chǎn)生誤差.總體而言，分段線性本構(gòu)模型不但能有效簡(jiǎn)化SMA本構(gòu)關(guān)系的構(gòu)建，而且模擬結(jié)果較為準(zhǔn)確.

圖5 SMA試驗(yàn)值與模擬值的對(duì)比

4.2 SMA-SC-BRB流變模型的驗(yàn)證

在文獻(xiàn)［9］的SMA-SC-BRB試驗(yàn)中，支撐中各構(gòu)件的幾何尺寸如圖6所示.根據(jù)SMA-SCBRB的材料試驗(yàn)和各構(gòu)件的尺寸，確定流變模型的重要參數(shù)(見(jiàn)表1).

圖6 SMA-SC-BRB的幾何尺寸［9］(單位:mm)

表1 流變模型重要參數(shù)

由流變模型得到的模擬值與試驗(yàn)值的對(duì)比見(jiàn)圖7.從圖中可以看出，2組滯回曲線都具有旗幟形特征，但均存在殘余變形，說(shuō)明預(yù)拉桿起到了減小殘余變形的作用，但還未達(dá)到完全自定心.流變模型的模擬值與試驗(yàn)值十分接近，但流變模型在加載階段的剛度相對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果較大，而其殘余變形卻相對(duì)較小，其原因可歸結(jié)于支撐的加工誤差導(dǎo)致的剛度削弱以及預(yù)應(yīng)力損失等情況的出現(xiàn).整體而言，采用流變模型對(duì)SMA-SC-BRB進(jìn)行模擬分析具有較高的精確度，能較準(zhǔn)確地繪制支撐的滯回曲線.

圖7 SMA-SC-BRB試驗(yàn)值與模擬值的對(duì)比

5 參數(shù)分析

對(duì)于SC-BRB而言，初始預(yù)張力、預(yù)拉桿的截面面積和BRB核心板的截面面積是影響支撐耗能能力與自定心特性的3個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，而溫度會(huì)對(duì)SMA桿的力學(xué)特性產(chǎn)生影響.本節(jié)運(yùn)用流變模型，通過(guò)逐一改變文獻(xiàn)［9］中試驗(yàn)構(gòu)件的4個(gè)參數(shù)，分析這些參數(shù)對(duì)SMA-SC-BRB滯回性能的影響.由于中套管和外套管僅作為自定心體系的推桿，對(duì)支撐的滯回性能影響較小，因此本文不對(duì)其進(jìn)行討論.

5.1 初始預(yù)張力

分別取初始預(yù)張力 FP=130，200，300 kN，以考察FP對(duì)SMA-SC-BRB滯回性能的影響.采用流變模型計(jì)算得到3組滯回曲線(見(jiàn)圖8).

圖8 不同初始預(yù)張力下SMA-SC-BRB的滯回曲線

通過(guò)對(duì)比可知，增加初始預(yù)張力不能有效改善支撐的自定心能力，其原因在于:對(duì)于SMA桿，若初始預(yù)張力FP引起的應(yīng)力大于奧氏體相變的結(jié)束應(yīng)力，將導(dǎo)致在施加預(yù)應(yīng)力時(shí)SMA桿處于奧氏體狀態(tài)，其彈性模量DA較大，而卸載時(shí)SMA桿處于奧氏體相變狀態(tài)，其彈性模量D(ξ)則較小.即使初始預(yù)張力提升較多，但在卸載時(shí)SMA桿的內(nèi)力變化卻較小，而支撐在循環(huán)往復(fù)荷載作用下，自定心力是由SMA桿卸載時(shí)的內(nèi)力提供的，故支撐的自定心能力改善不明顯.

由此可知，在設(shè)計(jì)SMA-SC-BRB時(shí)，當(dāng)初始預(yù)應(yīng)力大于奧氏體相變的結(jié)束應(yīng)力時(shí)，不應(yīng)通過(guò)繼續(xù)提高FP來(lái)提升支撐的自定心能力.

5.2 SMA桿的截面面積

分別取支撐中SMA預(yù)拉桿的總面積ASMA=1 464，2 200，2 800 mm2，建立 3 個(gè)分析模型，由流變模型計(jì)算得到3組滯回曲線(見(jiàn)圖9).

圖9 不同SMA桿截面面積下SMA-SC-BRB的滯回曲線

由圖9可知，隨著SMA桿截面面積的增加，SMA-SC-BRB的自定心能力有了明顯的提升.當(dāng)ASMA=2 800 mm2時(shí)，支撐已實(shí)現(xiàn)完全自定心.SMA桿自身存在耗能特性，當(dāng)ASMA增加時(shí)，支撐的滯回環(huán)面積也隨之增大，即耗能能力增強(qiáng).因此，在考慮經(jīng)濟(jì)性的前提下，可通過(guò)增加SMA桿的截面面積來(lái)提升支撐的自定心能力和耗能能力.

5.3 核心板截面面積

分別取支撐中BRB核心板截面面積ABRB=468，576，684 mm2，由流變模型計(jì)算出3 個(gè)支撐的滯回曲線(見(jiàn)圖10).

圖10 不同核心板截面面積下SMA-SC-BRB的滯回曲線

由圖10可知，隨著核心板截面面積的增加，SMA-SC-BRB的滯回環(huán)也逐漸擴(kuò)大，耗能能力明顯提升.但與此同時(shí)，由于ABRB的增加，為克服支撐殘余變形所需的力也隨之增加，在初始預(yù)張力不變的前提下，支撐的自定心能力逐漸減弱.

由此可見(jiàn)，在設(shè)計(jì)SMA-SC-BRB時(shí)，核心板的截面面積應(yīng)與自定心體系進(jìn)行協(xié)調(diào)，在保證支撐自定心能力的前提下，可通過(guò)增大核心板截面面積來(lái)增加支撐的耗能能力.

5.4 SMA桿的溫度

為分析SMA-SC-BRB的滯回性能隨溫度T的變化趨勢(shì)，在T=4，6，8℃三種情況下，分別計(jì)算并繪制SMA-SC-BRB的滯回曲線，結(jié)果見(jiàn)圖11.

圖11 不同溫度下SMA-SC-BRB的滯回曲線

由圖11可知，伴隨著溫度T的增加，支撐的自定心能力明顯提升.當(dāng)T=8℃時(shí)，支撐的殘余變形小，基本實(shí)現(xiàn)了完全自定心.造成這種變化的原因在于，溫度T的增加會(huì)使SMA的形狀記憶特性得到增強(qiáng).由此可見(jiàn)，在SMA-SC-BRB的使用過(guò)程中，對(duì)SMA桿加強(qiáng)保溫措施是十分必要的.

6 結(jié)論

1)將SMA分段線性本構(gòu)模型與流變理論結(jié)合，建立了SMA-SC-BRB滯回性能分析模型，其計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便，便于編制程序.

2)與文獻(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析表明:采用的SMA分段線性本構(gòu)模型能夠較準(zhǔn)確地描述SMA的非線性行為;SMA-SC-BRB的流變分析結(jié)果與試驗(yàn)的滯回曲線吻合較好，驗(yàn)證了所提方法的有效性.

3)SMA-SC-BRB參數(shù)分析結(jié)果表明:增加核心板截面面積，可提升支撐耗能能力，但自定心能力減弱;當(dāng)初始預(yù)應(yīng)力大于奧氏體相變的結(jié)束應(yīng)力時(shí)，繼續(xù)增加預(yù)張力對(duì)支撐自定心能力影響較小;增加SMA桿的截面面積，可以同時(shí)提升支撐的自定心能力和耗能能力;提高SMA桿的溫度T，可顯著提升SMA-SC-BRB的自定心能力.

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